全国各地中考数学试题分类解析汇编 定值问题.doc

(精编版)2012全国各地中考数学试题分类解析汇编定值问题1. （2012江西南昌8分）如图，已知二次函数l1：y=x24x+3与x轴交于ab两点（点a在点b左边），与y轴交于点c（1）写出二次函数l1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数l2：y=kx24kx+3k（k0）写出二次函数l2与二次函数l1有关图象的两条相同的性质；若直线y=8k与抛物线l2交于e、f两点，问线段ef的长度是否发生变化？如果不会，请求出ef的长度；如果会，请说明理由【答案】解：（1）抛物线，二次函数l1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，1）。（2）二次函数l2与l1有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2；都经过a（1，0），b（3，0）两点。线段ef的长度不会发生变化。直线y=8k与抛物线l2交于e、f两点，kx24kx+3k=8k，k0，x24x+3=8。解得：x1=1，x2=5。ef=x2x1=6。线段ef的长度不会发生变化。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质。【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a0时，抛物线的开口向上；a0时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。（2）新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。联立直线和抛物线l2的解析式，先求出点e、f的坐标，从而可表示出ef的长，若该长度为定值，则线段ef的长不会发生变化。2. （2012江苏苏州9分）如图，正方形abcd的边ad与矩形efgh的边fg重合，将正方形abcd以1cm/s的速度沿fg方向移动，移动开始前点a与点f重合.在移动过程中，边ad始终与边fg重合，连接cg，过点a作cg的平行线交线段gh于点p，连接pd.已知正方形abcd的边长为1cm，矩形efgh的边fg、gh的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段gp的长为y（cm），其中0x2.5. 试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；记dgp的面积为s1，cdg的面积为s2试说明s1s2是常数；当线段pd所在直线与正方形abcd的对角线ac垂直时，求线段pd的长.【答案】解：（1）cgap，cgd=pag，则。gf=4，cd=da=1，af=x，gd=3x，ag=4x。，即。y关于x的函数关系式为。当y =3时，解得:x=2.5。（2），为常数。（3）延长pd交ac于点q.正方形abcd中，ac为对角线，cad=45。pqac，adq=45。gdp=adq=45。dgp是等腰直角三角形，则gd=gp。，化简得：，解得：。0x2.5，。在rtdgp中，。【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据题意表示出ag、gd的长度，再由可解出x的值。（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出s1、s2，然后作差即可。（3）延长pd交ac于点q，然后判断dgp是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在rtdgp中，解直角三角形可得出pd的长度。3. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于a(2，o)、b(2，0)、c(0，l)三点，过坐标原点o的直线y=kx与抛物线交于m、n两点分别过点c、d(0，2)作平行于x轴的直线、 (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以on为直径的圆与直线相切； (3)求线段mn的长(用k表示)，并证明m、n两点到直线的距离之和等于线段mn的长【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2bxc，则 解得。抛物线对应二次函数的解析式 所以。 （2）设m(x1，y1)，n(x2，y2)，因为点m、n在抛物线上， ，x22=4(y2+1)。又，。又y2l，on=2y2。设on的中点e，分别过点n、e向直线作垂线，垂足为p、f， 则 ，on=2ef，即on的中点到直线的距离等于on长度的一半，以on为直径的圆与相切。（3）过点m作mhnp交np于点h，则，又y1=kx1，y2=kx2，（y2y1)2=k2(x2x1)2。mn2=(1+k2)(x2一xl)2。又点m、n既在y=kx的图象上又在抛物线上，即x24kx4=0，x2x1=4k，x2x1=4。mn2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2) (x2xl)24x2xl =16(1+k2)2。mn=4(1+k2)。延长np交于点q，过点m作ms交于点s，则msnq=y12y22= ms+nq=mn，即m、n两点到距离之和等于线段mn的长。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。（2）要证以on为直径的圆与直线相切，只要证on的中点到直线的距离等于on长的一半即可。（3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出mn和m、n两点到直线的距离之和，相比较即可。4. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线交于点a（3，6）（1）求直线y=kx的解析式和线段oa的长度；（2）点p为抛物线第一象限内的动点，过点p作直线pm，交x轴于点m（点m、o不重合），交直线oa于点q，再过点q作直线pm的垂线，交y轴于点n试探究：线段qm与线段qn的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点b为抛物线上对称轴右侧的点，点e在线段oa上（与点o、a不重合），点d（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足bae=bed=aod继续探究：m在什么范围时，符合条件的e点的个数分别是1个、2个？【答案】解：（1）把点a（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。 y=2x。（2）线段qm与线段qn的长度之比是一个定值，理由如下：如图1，过点q作qgy轴于点g，qhx轴于点h当qh与qm重合时，显然qg与qn重合，此时。当qh与qm不重合时，qnqm，qgqh不妨设点h，g分别在x、y轴的正半轴上，mqh=gqn。又qhm=qgn=90，qhmqgn。当点p、q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得。线段qm与线段qn的长度之比是一个定值。（3）如图2，延长ab交x轴于点f，过点f作fcoa于点c，过点a作arx轴于点r。aod=bae，af=of。oc=ac=。aro=fco=90，aor=foc，aorfoc。of=。点f（，0）。设点b（x，），过点b作bkar于点k，则akbarf。，即。解得x1=6，x2=3（舍去）。点b（6，2）。bk=63=3，ak=62=4。ab=5。在abe与oed中，bae=bed，abe+aeb=deo+aeb。abe=deo。bae=eod，abeoed。设oe=x，则ae=x （），由abeoed得，即。顶点为。如图3，当时，oe=x=，此时e点有1个；当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时e点有2个当时，e点只有1个，当时，e点有2个。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。【分析】（1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据a点坐标用勾股定理求出线段oa的长度。（2）如图1，过点q作qgy轴于点g，qhx轴于点h，构造相似三角形qhm与qgn，将线段qm与线段qn的长度之比转化为相似三角形的相似比，即为定值需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立。（3）由已知条件角的相等关系bae=bed=aod，可以得到abeoed。在相似三角形abe与oed中，运用线段比例关系之前需要首先求出ab的长度，如图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得ab的长度。设oe=x，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式，这是一个二次函数借助此二次函数图象（如图3），可见m在不同取值范围时，x的取值（即oe的长度，或e点的位置）有1个或2个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。5. （2012广西玉林、防城港12分）如图，在平面直角坐标系o中，矩形aocd的顶点a的坐标是（0,4），现有两动点p、q，点p从点o出发沿线段oc（不包括端点o，c）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点c运动，点q从点c出发沿线段cd（不包括端点c，d）以每秒1个单位长度的速度匀速向点d运动.点p，q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时pq=.（1）求点d的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接aq并延长交轴于点e,把ae沿ad翻折交cd延长线于点f,连接ef，则aef的面积s是否随t的变化而变化？若变化，求出s与t的函数关系式；若不变化，求出s的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形apqf是梯形？【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，op=4，cq=2，在rtpcq中，由勾股定理得：pc=4，oc=op+pc=4+4=8。又矩形aocd，a（0，4），d（8，4）。t的取值范围为：0t4。（2）结论：aef的面积s不变化。aocd是矩形，adoe，aqdeqc。，即，解得ce=。由翻折变换的性质可知：df=dq=4t，则cf=cd+df=8t。s=s梯形aocfsfcesaoe=（oa+cf）oc+cfceoaoe= 4（8t）8+（8t）4（8）。化简得：s=32为定值。所以aef的面积s不变化，s=32。（3）若四边形apqf是梯形，因为ap与cf不平行，所以只有pqaf。由pqaf可得：cpqdaf。cp：ad=cq：df，即82t：8= t：4t，化简得t212t16=0，解得：t1=6+2，t2=。由（1）可知，0t4，t1=6+2不符合题意，舍去。当t=秒时，四边形apqf是梯形。【考点】动点和翻折问题，矩形的性质，勾