高考数学 321精品系列专题15 几何证明选讲（教师版）.doc

2012版高考数学 3-2-1精品系列专题15 几何证明选讲（教师版）【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布2012考纲解读 考纲原文（1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理（2）会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理（3）会证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理考纲解读“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说,“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型1比例问题平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.近几年考点分布 几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:相似三角形的定义与性质;平行线截割定理;直角三角形射影定理;圆周角与圆心角定理;圆的切线的判定定理及性质定理;弦切角的性质;相交弦定理;圆内接四边形的性质定理和判定定理;切割线定理. 【名师点睛】平行线分线段成比例定理一方面可以判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比考点二、相似三角形判定与性质例2、在abc中，abac，d为腰ab上一点，addc，且ad2abbd，求证：a36.【证明】过点d作debc，交ac于e.edcbcd，bdce.ad2abbd，addc，abac，.又ecddca，ecddca，edca.又adcd，adce，bcdacda，bcabcdacd2a.又abac，bbca2a.abbca5a180，a36.【名师点睛】运用相似三角形性质解题的关键在于求出相似比，在具体论证过程中，往往是相似三角形的判定定理和性质定理结合运用，由判定三角形相似得到角相等或对应线段成比例的过程反复运用，从而达到解决问题的目的考点三、直角三角形射影定理例3、如图，在rtabc中，bac90，adbc于d，dfac于f，deab于e.试证明：(1)abacbcad；(2)ad3bccfbe.【证明】(1)rtabc中，adbc，sabcabacbcad.abacbcad.(2)rtadb中，deab，由射影定理可得bd2beab，同理cd2cfacbd2cd2beabcfac.又rtbac中，adbc，ad2bddc，ad4beabcfac，又abacbcad.即ad3bccfbe.考点五、圆的切线的性质及判定例5、在abc中，c90，be是角平分线，debe交ab于d，o是bde的外接圆求证：ac是o的切线【证明】连接oe，因为oeob，所以oebobe. 又因为be平分cbd，所以cbeobe，所以oebcbe，所以eocb.因为c90，所以aeo90，即acoe.因为oe为o的半径，所以ac是o的切线【名师点睛】证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连接圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点),则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径考点六、圆周角和弦切角例6、如图，已知圆上的弧，过c点的圆的切线与ba的延长线交于e点，证明：(1)acebcd；(2)bc2becd.【证明】(1)因为，所以bcdabc.又因为ec与圆相切于点c，故aceabc，所以acebcd.(2)因为ecbcdb，ebcbcd，所以bdcecb，故，即bc2becd.【名师点睛】(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角【名师点睛】涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似,在相似三角形中寻找比例线段;也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理【三年高考】10、11、12高考试题及其解析12高考试题及其解析一、填空题选择题 （2012年高考（天津文）如图,已知和是圆的两条弦,过点作圆的切线与的延长线相交于.过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,则线段的长为_.【解析】如图连结bc,be,则1=2,2=a,又b=b,代入数值得bc=2,ac=4,又由平行线等分线段定理得,解得cd=. （2012年高考（陕西文）如图,在圆o中,直径ab与弦cd垂直,垂足为e,垂足为f,若,则_. 【解析】,在中,4 （2012年高考（江西理）在直角三角形abc中,点d是斜边ab的中点,点p为线段cd的中点,则=（）a2b4c5d10【解析】特殊的等腰直角三角形,不妨令,则, , ,所以.5 （2012年高考（北京理）如图,acb=90,cdab于点d,以bd为直径的圆与bc交于点e,则（）acecb=addbbcecb=adab cadab= dceeb= 【解析】由切割线定理可知,在直角中,则由射影定理可知,所以. （2012年高考（陕西理）如图,在圆o中,直径ab与弦cd垂直,垂足为e,垂足为f,若,则_.【解析】,在中,cbado.（2012年高考（湖北理）(选修4-1:几何证明选讲)如图,点d在的弦ab上移动,连接od,过点d 作的垂线交于点c,则cd的最大值为_. 【解析】 (由于因此,线段长为定值, 即需求解线段长度的最小值,根据弦中点到圆心的距离最短,此 时为的中点,点与点重合,因此. （2012年高考（广东理）(几何证明选讲)如图3,圆的半径为1,、是圆周上的三点,满足,过点作圆的切线与的延长线交于点,则_.【解析】连接,则,因为,所以. 二、解答题（2012年高考（辽宁文）选修41:几何证明选讲如图,o和相交于两点,过a作两圆的切线分别交两圆于c,d两点,连接db并延长交o于点e.证明();() .【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。证明：（1）由与相切于，得，同理，所以。从而，即 4分（2）由与相切于，得，又，得从而，即，综合（1）的结论， 10分（2012年高考（新课标理）选修4-1:几何证明选讲如图,分别为边的中点,直线交的外接圆于两点,若,证明:(1);(2)【解析】(1), (2) （2012年高考（辽宁理）选修41:几何证明选讲 如图,o和相交于两点,过a作两圆的切线分别交两圆于c,d两点,连接db并延长交o于点e.证明();() .【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。证明：（1）由与相切于，得，同理，所以。从而，即 4分（2）由与相切于，得，又，得从而，即，综合（1）的结论， 10分【点评】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质,考查推理论证能力和数形结合思想,重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握,难度较小. 11年高考试题及解析一、选择题 （2011北京理5）如图，ad，ae，bc分别与圆o切于点d，e，f，延长af与圆o交于另一点g。给出下列三个结论：ad+ae=ab+bc+ca；afag=adaeafb adg其中正确结论的序号是a bc d【答案】a二、填空题1.（天津理12）如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且若与圆相切，则线段的长为_.【答案】5.（广东理15）（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,，且=7，是圆上一点使得=5，=, 则= 。【答案】6.（辽宁理22）如图，a，b，c，d四点在同一圆上，ad的延长线与bc的延长线交于e点，且ec=ed（i）证明：cd/ab；（ii）延长cd到f，延长dc到g，使得ef=eg，证明：a，b，g，f四点共圆证明：（i）因为ec=ed，所以edc=ecd.因为a，b，c，d四点在同一圆上，所以edc=eba.故ecd=eba，所以cd/ab.5分（ii）由（i）知，ae=be，因为ef=fg，故efd=egc从而fed=gec.连结af，bg，则efaegb，故fae=gbe，又cd/ab，edc=ecd，所以fab=gba.所以afg+gba=180.故a，b，g，f四点共圆 10分x2=12.故 ad=2，ab=12.取ce的中点g，db的中点f，分别过g，f作ac，ab的垂线，两垂线相交于h点，连接dh.因为c，b，d，e四点共圆，所以c，b，d，e四点所在圆的圆心为h，半径为dh.由于a=900，故ghab，hfac. hf=ag=5，df= (12-2)=5.故c，b，d，e四点所在圆的半径为2010年高考试题及解析一、填空题1.（2010北京理）如图，的弦ed，cb的延长线交于点a。若bdae，ab4, bc2, ad3,则de ；ce 。【答案】5 2.（2010天津文）（11）如图，四边形abcd是圆o的内接四边形，延长ab和dc相交于点p。若pb=1，pd=3，则的值为 。【答案】【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题。因为a,b,c,d四点共圆，所以,因为为公共角，所以pbcpab,所以= 【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。3.（2010天津理）如图，四边形abcd是圆o的内接四边形，延长ab和dc相交于点p，若,则的值为 。4.（2010广东理）（几何证明选讲选做题）如图3，ab，cd是半径为a的圆o的两条弦，它们相交于ab的中点p，pd=，oap=30，则cp_.【答案】因为点p是ab的中点，由垂径定理知， .在中，.由相交线定理知，即，所以二、简答题6.（2010江苏卷）21.选做题本题包括a、b、c、d四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。a 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）ab是圆o的直径，d为圆o上一点，过d作圆o的切线交ab延长线于点c，若da=dc，求证：ab=2bc。解析 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。（方法一）证明：连结od，则：oddc， 又oa=od，da=dc，所以dao=oda=dco， doc=dao+oda=2dco，所以dco=300，doc=600，所以oc=2od，即ob=bc=od=oa，所以ab=2bc。（方法二）证明：连结od、bd。因为ab是圆o的直径，所以adb=900，ab=2 ob。因为dc 是圆o的切线，所以cdo=900。又因为da=dc，所以dac=dca，于是adbcdo，从而ab=co。即2ob=ob+bc，得ob=bc。故ab=2bc。5.3.（2012年丰台二模理11）如图所示，ab是圆的直径，点c在圆上，过点b，c的切线交于点p，ap交圆于d，若ab=2，ac=1，则pc=_，pd=_ 答案：，。4.（2012年昌平二模理12）如图，是的直径，切于点，切于点，交的延长线于点.若，则=_;=_.答案：1，。5.（2012年东城二模理12） 如图，直线与相切于点，割线经过圆心，弦于点，则 答案：6.（2012年海淀二模理12）如图， 圆o的直径与弦交于点，则_.答案：。7、【广东省肇庆市2012届高三第一次模拟理】15（几何证明选讲选做题）如图2，点是o外一点，为o的一切线,是切点，割线经过圆心o，若，则 8、【广东省肇庆市2012届高三上学期期末理】14.（几何证明选讲选做题）如图3,pab、pcd为o的两条割线,若 pa=5,ab=7,cd=11,，则bd等于 9、【广东省镇江一中2012高三10月模拟理】（14（几何证明选讲选做题）如图，ab是圆o的直径，直线和圆o相切于点于c，于d，若1，则圆o的面积是 edbaoc【答案】10、【广东省肇庆市2012届高三第二次模拟理】15.（几何证明选讲选做题）如图3，ab的延长线上任取一点c，过c作圆的切线cd，切点为d，的平分线交ad于e,则 . 【答案】45.【解析】连接，与相交于点，设，,，而，45.11【广东省云浮中学2012届高三第一次模拟理】15（几何证明选讲选做题）如图，点为的弦上的一点，连接.，交圆于，若，则 . 【答案】12【广东省镇江二中2012高三第三次月考理】15（几何证明选讲）如图，圆的直径，为圆周上一点，过作圆的切线，过作直线的垂线，为垂足， 与圆交于点，则线段的长为 14【广东省粤西北九校2012届高三联考理】14（几何证明选讲选做题）如图，已知：内接于，点在的延长线上，是的切线，若， ，则的长为 。【答案】415【广东省深圳市松岗中学2012届高三理科模拟（4）】14（几何证明选讲选做题）如图，在中，是的边上的高，于点，于点，则 的大小为 17【广东省深圳高级中学2012届高三上学期期末理】15（几何证明选讲选做题）如图，ab是圆o的直径，直线ce和圆o相切于点c，于d，若ad=1，则圆o的面积是_。 【答案】【解析】，因为直线ce和圆o相切于点c，连接oc，则,又，所以oc/ad,又，在直角三角形acb中，,三角形aoc为正三角形，所以,所以,所以,所以圆的面积为。20【广东省茂名市2012年第二次高考模拟理】15. （几何证明选做题）如图，已知是o外一点，为o的切线，为切点，割线经过圆心，若，则o的半径长为 【答案】421【广东省梅州中学2012届高三第二次月考试理】15（几何证明选讲选做题）如图，已知：内接于，点在的延长线上，是的切线，若，则的长为 【答案】22【广东省韶关市2012届高三模拟理】14（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，,则 ; 图324【广东省江门市2012届高三调研测试（理）】（几何证明选讲选做题）如图3，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于点， ，则 【答案】 25【广东省惠州市2012届高三一模（四调）考试（理数）】15（几何证明选讲选做题）如图，已知直角三角形中，以为直径作圆交于，则_第15题图【答案】【解析】为直径所对的圆周角，则，在中，由等面积法有，故得26【广东省佛山一中2012届高三上学期期中理】15.如图，eb、ec是o的两条切线，b、c是切点，a、d是o上两点，如果e460，dcf320，则a的大小为 【答案】28【广东省佛山市2012届高三第二次模拟理科二】15.(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦与相交于点,是延长线上一点,且,若与圆相切,则线段的长为 【答案】29【2012届广东韶关市高三第一次调研考试理】15（几何证明选讲选做题）已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，则切线的长为_.（第15小题）【答案】30【2012广东高三第二学期两校联考理】15（几何证明选做题）如图，四边形abcd内接于，bc是直径，mn切于a，则 . abdcomn【答案】115032【2012广州一模理】14（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为，点是弦的中点，弦过点，且，则的长为 poabcd图3【答案】33【广东省执信中学2012届高三上学期期末理】14、（几何证明选讲选做题）如图， 与圆相切点，为圆的割线，并且不过圆心，已知，则 ；圆的半径等于 34【广东省执信中学2012届高三3月测试理】15、如图，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于点，则的长为 【答案】35【2012年广东罗定市罗定中学高三下学期第二次模拟理】22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲已知ad是abc的外角eac的平分线，交bc的延长线于点d，延长da交abc的外接圆于点f，连结fb，fc.（1）求证：fb=fc；（2）若ab是abc外接圆的直径， eac=120，bc=6，求ad的长.36、（2012河南豫南九校2012届高三第四次联考试题） 已知abc中，ab=ac, d是 abc外接圆劣弧ac弧上的点（不与点a,c重合），延长bd至e。acpdoef b37、（陕西省高新一中2012届高三第十一次大练习题）(几何证明选讲选做题) 如图，的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为上一点，弧，交于，且，则_338、（东北三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）2012届高三下学期第二次模拟）如图，o的半径ob垂直于直径ac，m为ao上一点，bm的延长线交o于n,过n点的切线交ca的延长线于p。 （1）求证：pm2=papc（2）若o的半径为，oa=om求：mn的长解：() 连结on，则，且为等腰三角形，则， ，3分由条件，根据切割线定理，有 ，所以5分()，在中，延长bo交于点d，连结dn由条件易知，于是，即，得 8分所以. 10分2011模拟试题及答案1、(2011朝阳二模理13)如图，与圆相切点，为圆的割线，并且不过圆心，已知，则 12 ；圆的 半径等于 7 2、（2011昌平二模理12）、如图，中的弦与直径相交于 点，为延长线上一点，为的切线，为切点，若，则_4_, abcdo4、（2011丰台二模理10）如图所示，db，dc是o的两条切线，a是圆上一点，已知d=46，则a= 67 5、（2011海淀二模理12）如图，已知的弦交半径于点，若，且为的中点，则的长为 .6、（2011顺义二模理11）.如图，ab,cd是半径的圆o的两条弦，它们相交于ab的中点p，,则_.oabpdc7、（2011西城二模理11）如图，是圆的直径，在的延长线上，切圆于点.已知圆半径为，则_；的大小为_.8、（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研理科）（几何证明选讲）如图，割线经过圆心o，绕点逆时针旋120到，连交圆于点，则 .【解析】在中，又因为，所以abcdo9（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研文科）（几何证明选讲）如图，是半圆的直径，是半圆上异于的点，垂足为，已知，则 15. 【解析】根据射影定理得10、(广东省江门市2011年高考一模文科)（几何证明选讲选做题）如图3，是圆的切线，是圆的割线，若，则圆的半径 13(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考理科)（几何证明选讲）如图所示，ac和ab分别是圆o的切线，b、c 为切点,且oc = 3，ab = 4，延长oa到d点，则abd的面积是_ 14. (广东省东莞市2011年高三一模理科)（几何证明选讲选做题）已知从圆外一点作直线交圆于两点，且,则此圆的半径为 2 . 15(广东省东莞市2011年高三一模文科)（几何证明选讲选做题）如图，的割线过圆心，弦交于点，且,，则 3 .16（广东省揭阳一中2011年高三一模理科）（几何证明选做题）如右图所示，ac和ab分别是圆o的切线，且oc=3，ab=4，延长ao到d点，则abd的面积是 。17. (广东执信中学2011年2月高三考试文科)（几何证明选做题）如图,已知:内接于圆，点在的延长线上，是圆的切线，若,则的长为 4 .18(广东省遂溪县2011年高考第一次模拟数学文科)（几何证明选讲选做题）一个等腰三角形abc的底边ac的长为6，abc的外接圆的半径长为5，则abc的面积是 _3或2720 (湖南省怀化市2011年高三第一次模拟理科)如图，pa切于点a，割线pbc经过o, ob=pb=1, 0a绕着点0逆时针旋转600到0d，pd交于点e则pe的长为_.21、（黑龙江省哈三中等四校2011年高三第一次高考模拟联考文科）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线经过上的点，并且交直线于，连接（）求证：直线是的切线；（）若的半径为，求的长22、（辽宁省锦州市2011年1月高三考试理科）（本小题10分）选修41：几何证明选讲如图，设为o的任一条不与直线l垂直的直径，是o与l的公共点,l，l，垂足分别为，且，求证：（i）l是o的切线；（ii）平分abd证明：（）连结op，因为acl，bdl，所以ac/bd 又oa=ob，pc=pd，所以op/bd，从而opl因为p在o上，所以l是o的切线5分（）连结ap，因为l是o的切线，所以bpd=bap又bpd+pbd=90，bap+pba=90，所以pba=pbd，即pb平分abd10分20090602（第二问的证明也可：连结op，角opb等于角dbp；而等腰三角形opb中，角opb等于角obp；故pb平分角abd）23、(辽宁省沈阳市2011年高三第二次模拟理科)（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图6，直线ab过圆心o，交圆o于a、b，直线af交圆o于f（不与b重合），直线与圆o相切于c，交ab于e，且与af垂直，垂足为g，连接ac求证：（）； （）证明：（）连结，是直径，【一年原创】 1、如图所示，过o外一点p作一条直线与o交于a，b两点，已知pa=2，点p到o的切线长pt=4，则弦ab的长为 【答案】62、如图，在四边形abcd中，efbc，fgad，则的值为_.【解析】由已知得答案:13、.如图，在abc中，acb=90,cdab,d为垂足，若cd=6 cm，addb=12，则ad的值是_.【解析】设ad=x cm,db=2x cm,36=2x2,x2=18,x=,ad= cm.答案:6、如图，abc是o的内接正三角形，弦ef经过bc的中点d，且efab，若ab=2，则de的长是_.【解析】由图知dedf=bdcd=1，同理egfg=1.又dg=ab=1，de(1+fg)=1，fg(1+de)=1，答案:7、如图，已知p是o外一点，pd为o的切线，d为切点，割线pef经过圆心o，若pf=12,pd=,则efd=_.9、如图，已知四边形abcd内接于圆，延长ab和dc相交于e，eg平分aed，且与bc、ad分别相交于f、g，若aed=40，cfg=80，则a=_.【解析】eg平分aed，fec=20，fce=cfg-fec=60.四边形abcd内接于圆，a=fce=60.答案:6010、如图，四边形abcd是圆o的内接四边形，延长ab和dc相交于点p.若则的值为_.11、已知，如图，aeec，ce平分acb，debc，bc=10，ac=6，则de=_.【解析】aeec，ce平分acb，ac=cf,ae=ef,又debc， de=(bc-ac)=(10-6)=2.答案:212、四边形a