高考数学大一轮复习 第十章 解析几何初步 59 直线与圆的综合问题课件 文.ppt

第十章解析几何初步 第59课直线与圆的综合问题 课前热身 激活思维 2 必修2p115复习题20改编 若集合m x y x2 y2 4 n x y x 1 2 y 1 2 r2 r 0 当m n n时 实数r的取值范围是 3 必修2p100习题9改编 已知p x y 是直线kx y 4 0 k 0 上一点 pa是圆c x2 y2 2y 0的一条切线 a为切点 若pa长度的最小值为2 则k的值为 2 1 与圆有关的最值和范围的讨论常用以下方法 1 结合圆的方程的特点确定几何量之间的大小关系 2 函数值域求解法 即把所讨论的参数作为一个函数 一个适当的参数作为自变量来表示这个函数 通过讨论函数的值域来求参数的取值范围 3 利用不等式 若能将问题转化为 和为定值 或 积为定值 则可以用基本不等式求解 知识梳理 2 定点问题的求解步骤 1 选参变量 需要证明过定点的动直线 曲线 往往随着某一个量的变化而变化 可以选择这个量为参变量 当涉及到的参变量较多时 也可以选择多个参变量 2 求动直线 曲线 方程 求出只含上述参变量的动直线 曲线 方程 并由其他条件减少参变量的个数 最终使方程中只含一个参变量 课堂导学 如图 设圆x2 y2 1的一条切线与x轴 y轴分别交于点a b 则线段ab长的最小值为 思维引导 直线与圆中有关长度的问题主要包括弦长 切线长及直线被坐标轴截得的长度等 其中弦长 切线长都可以与半径构造直角三角形来求解 最值 范围问题 例1 例1 2 精要点评 本题方法一在建立函数时 没有选择用点d的坐标建立函数 而是选择 oab为自变量来建立函数 这种方法对于二元函数来说 有利于求解 变式1 8 变式2 变式2 2015 苏北四市期末 如图 在平面直角坐标系xoy中 已知点a 3 4 b 9 0 c d分别为线段oa ob上的动点 且满足ac bd 1 若ac 4 求直线cd的方程 定点问题 例2 例2 2 求证 ocd的外接圆恒过定点 异于原点o 解答 设c 3m 4m 0 m 1 则oc 5m 所以ac oa oc 5 5m 因为ac bd 所以od ob bd 5m 4 所以点d的坐标为 5m 4 0 又设 ocd的外接圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 所以 ocd的外接圆的方程为x2 y2 5m 4 x 10m 3 y 0 整理得x2 y2 4x 3y 5m x 2y 0 所以 ocd的外接圆恒过定点 2 1 如图 在平面直角坐标系xoy中 已知圆c1 x 1 2 y2 1 圆c2 x 3 2 y 4 2 1 设动圆c同时平分圆c1 圆c2的周长 1 求证 动圆圆心c在一条定直线上运动 解答 设圆心c x y 由题意 得cc1 cc2 化简得x y 3 0 即动圆圆心c在定直线x y 3 0上运动 变式 变式 2 动圆c是否经过定点 若经过 求出定点的坐标 若不经过 请说明理由 解答 圆c过定点 设c m 3 m 则动圆c的半径为于是动圆c的方程为 x m 2 y 3 m 2 1 m 1 2 3 m 2 整理 得x2 y2 6y 2 2m x y 1 0 如图 已知圆c x2 y 3 2 4 一动直线l过点a 1 0 与圆c相交于p q两点 m是pq的中点 l与直线m x 3y 6 0相交于点n 1 求证 当l与m垂直时 l必过圆心c 定值问题 例3 例3 解答 当直线l与x轴垂直时 易知x 1 符合题意 当直线l与x轴不垂直时 设直线l的方程为y k x 1 即kx y k 0 所以直线l 4x 3y 4 0 从而所求的直线l的方程为x 1或4x 3y 4 0 当l的斜率存在时 设直线l的方程为y k x 1 精要点评 一般地 涉及到圆的切线或考虑其弦长问题时 若需要求直线的方程 则务必要全面考虑问题 即要考虑直线的斜率存在与不存在两种情况 已知圆c x 3 2 y 4 2 4 直线l1过定点a 1 0 1 若l1与圆相切 求直线l1的方程 解答 若直线l1的斜率不存在 即直线为x 1 符合题意 若直线l1斜率存在 设直线l1的方程为y k x 1 即kx y k 0 变式 2 若l1与圆相交于p q两点 线段pq的中点为m 又l1与l2 x 2y 2 0的交点为n 判断am an是否为定值 若是 请求出定值 若不是 请说明理由 解答 方法一 直线与圆相交 斜率必定存在 且不为0 可设直线方程为kx y k 0 方法二 直线与圆相交 斜率必定存在 且不为0 可设直线方程为kx y k 0 得 1 k2 x2 2k2 8k 6 x k2 8k 21 0 变式 如图 在平面直角坐标系xoy中 已知曲线c由圆弧c1和圆弧c2相接而成 两相接点m n均在直线x 5上 圆弧c1的圆心是坐标原点o 半径为r1 13 圆弧c2过点a 29 0 存在性问题 例4 例4 1 求圆弧c2所在圆的方程 解答 由题意得圆弧c1所在圆的方程为x2 y2 169 令x 5 解得m 5 12 n 5 12 又c2过点a 29 0 设圆弧c2所在圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 所以圆弧c2所在圆的方程为x2 y2 28x 29 0 解答 假设存在这样的点p x y 则由pa po 得 x 29 2 y2 30 x2 y2 即x2 y2 2x 29 0 当 13 x 5时 当5 x 29时 精要点评 对于存在性问题 可先假设满足条件的点或其他量是存在的 然后把其存在性作为条件构造关系式 然后求解关系式中的量来确定其存在性 2016 南京 盐城一模 如图 a b是两个垃圾中转站 b在a的正东方向16km处 直线ab的南面为居民生活区 为了妥善处理生活垃圾 政府决定在ab的北面建一个垃圾发电厂p 垃圾发电厂p的选址拟满足以下两个要求 a b p可看成三个点 垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比 比例系数相同 垃圾发电厂应尽量远离居民生活区 这里参考的指标是点p到直线ab的距离要尽可能大 现估测得a b两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30t和50t 问 垃圾发电厂p该如何选址才能同时满足上述要求 例5 例5 例5 则当x 17时 点p到直线ab的距离最大 最大值为15km 所以点p的选址应满足在上述坐标系中 坐标为 17 15 即可 精要点评 本题的本质是阿波罗尼斯圆的应用 即已知在平面直角坐标系中 a b是平面内两个定点 动点p满足ap bp 0且 1 则点p的轨迹是一个圆 如图 在平面直角坐标系xoy中 点a 0 3 直线l y 2x 4 设圆c的半径为1 圆心在直线l上 1 若圆心c也在直线y x 1上 过点a作圆c的切线 求切线的方程 因为圆c的半径为1 所以圆c的方程为 x 3 2 y 2 2 1 由题知切线的斜率一定存在 设所求圆c的切线方程为y kx 3 即kx y 3 0 变式 变式 2 若圆c上存在点m 使ma 2mo 求圆心c的横坐标a的取值范围 解答 因为圆c的圆心在直线l y 2x 4上 所以设圆心c a 2a 4 则圆c的方程为 x a 2 y 2a 4 2 1 所以点m应该既在圆c上又在圆d上 即圆c和圆d有交点 课堂评价 1 2016 苏州十中 若有一组圆ck x k 1 2 y 3k 2 2k4 k n 其圆心在定直线l上 则该直线的方程为 y 3 x 1 x 1 2 2016 宜兴中学 圆x2 y2 2x 6y 15 0与直线 1 3m x 3 2m y 4m 17 0的交点个数是 解析 直线 1 3m x 3 2m y 4m 17 0可化为x 3y 17 m 3x 2y 4 0 则其恒过点 2 5 又圆x2 y2 2x 6y 15 0的标准方程为 x 1 2 y 3 2 25 由 2 1 2 5 3 2 13 25 得点 2 5 在圆内 所以圆x2 y2 2x 6y 15 0与直线 1 3m x 3 2m y 4m 17 0相交 交点个数是2 2 3 2016 南师附中 已知m n r 若直线 m 1 x n 1 y 2 0与圆 x 1 2 y