（新高考）2020高考数学小题考法专训（七）圆锥曲线的方程与性质.docx

小题考法专训（七） 圆锥曲线的方程与性质A级保分小题落实练一、选择题1一个焦点为(，0)且与双曲线1有相同渐近线的双曲线方程是()A.1B.1C.1 D1解析：选B设所求双曲线方程为t(t0)，因为一个焦点为(，0)，所以|13t|26.又焦点在x轴上，所以t2，即双曲线方程为1.2若抛物线y24x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则OFP的面积为()A. B1C. D2解析：选B设P(x0，y0)，依题意可得|PF|x012，解得x01，故y41，解得y02，不妨取P(1,2)，则OFP的面积为121.3(2020届高三江西七校联考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为()Ay2x ByxCyx Dyx解析：选D因为双曲线中c2a2b2，所以e，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.故选D.4已知m是3与12的等比中项，则圆锥曲线1的离心率是()A2 BC. D2或解析：选D因为m是3与12的等比中项，所以m231236，解得m6.若m6，则曲线的方程为1，该曲线是双曲线，其离心率e2；若m6，则曲线的方程为1，该曲线是椭圆，其离心率e.综上，所求离心率是2或.5已知双曲线x21 的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|BF1|，则|AB|()A2 B3C4 D21解析：选C设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a1，由双曲线的定义可得|AF2|AF1|2a2，|BF1|BF2|2a2，又|AF1|BF1|，故|AF2|BF2|4，又|AB|AF2|BF2|，故|AB|4.6已知F1，F2是双曲线E的左、右焦点，点P在双曲线E上，F1PF2且()0，则双曲线E的离心率e()A.1 B1C. D解析：选D由题意知，F2PF1是等腰三角形，|F1F2|F2P|2c，因为F1PF2，所以|PF1|2c，由双曲线的定义，可得2c2c2a，所以双曲线E的离心率e，故选D.7(2019大连二模)焦点在x轴上的椭圆方程为1(ab0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为()A. BC. D解析：选C由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得2cb(2a2c)，得a2c，即e，故选C.8已知双曲线1(a0，b0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k23，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2x解析：选C设点P(x，y)，由题意知k1k23，所以其渐近线方程为yx，故选C.9已知直线l的倾斜角为45，直线l与双曲线C：1(a0，b0)的左、右两支分别交于M，N两点，且MF1，NF2都垂直于x轴(其中F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为()A. BC.1 D解析：选D根据题意及双曲线的对称性，可知直线l过坐标原点，|MF1|NF2|.设点M(c，y0)，则N(c，y0)，1，即|y0|.由直线l的倾斜角为45，且|MF1|NF2|y0|，得|y0|c，即c，整理得c2aca20，即e2e10，解得e或e(舍去)，故选D.10(2019石家庄模拟)已知椭圆1(ab0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为()A. BC. D解析：选BFP的斜率为，FPl，直线l的斜率为.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，即.AB的中点为M，a22bc，b2c22bc，bc，ac，椭圆的离心率为，故选B.11(2019合肥模拟)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的焦点到准线的距离为()A4或8 B2或4C2或8 D4或16解析：选C抛物线C的方程为y22px(p0)，F，准线方程为x.如图，设准线与x轴的交点为K，则|KF|p.过M作MP平行于x轴交准线于P，则|MP|MF|5.取MF的中点为N，过N作NQ平行于x轴交准线于Q，交y轴于A，则|NQ|，|AN|NQ|，以MF为直径的圆与y轴相切，A为切点，A(0,2)，N，故M，162p，p210p160，p2或p8，故选C.12已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c,0)，P是椭圆上一点，|PF2|F1F2|2c，若PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围是()A. BC. D解析：选D根据题意有|PF1|2a2c，|PF2|F1F2|2c，则cosPF2F12，因为PF2F1，所以cosPF2F1，所以12，又e0，所以23e，故选D.二、填空题13抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为_解析：抛物线的焦点坐标为，准线方程为y，准线方程与双曲线方程联立可得1，解得x .因为ABF为等边三角形，所以|AB|p，即2p，解得p6.则抛物线焦点坐标为(0,3)，因为双曲线渐近线方程为yx，所以抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为.答案：614已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_.解析：化双曲线的方程为1，则ab，c2，因为|PF1|2|PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF1|PF2|2a2，解得|PF1|4，|PF2|2，根据余弦定理得cosF1PF2.答案：15已知F1，F2是双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点，点M在双曲线E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则双曲线E的离心率为_解析：由题意知F1(c,0)，因为MF1与x轴垂直，且M在椭圆上，所以|MF1|.在RtMF2F1中，sinMF2F1，所以tanMF2F1，即，又b2c2a2，所以c2a22ac0，两边同时除以a2，得e22e0，又e1，所以e.答案：16(2019武汉调研)已知F为椭圆C：1(ab0)的右焦点，O为坐标原点，M为线段OF的垂直平分线与椭圆C的一个交点，若cosMOF，则椭圆C的离心率为_解析：设F(c,0)，M，将M代入椭圆C的方程得1，即b2y.设E为线段OF的垂直平分线与x轴的交点，则MOE为直角三角形，由于cosMOF，所以不妨设3，则|OM|7，c6.由勾股定理可得|ME|y0|2，即b240，得b240，又a2b236，所以a485a23240，解得a281或a24c236(舍去)，故a9，椭圆C的离心率e.答案：B级拔高小题提能练1多选题已知O是坐标原点，A，B是抛物线yx2上不同于O的两点，OAOB，下列四个结论中，所有正确的结论是()A|OA|OB|2B|OA|OB|2C直线AB过抛物线yx2的焦点DO到直线AB的距离小于等于1解析：选ABD设A(x1，x)，B(x2，x)，则0，即x1x2(1x1x2)0，所以x2.对于A，|OA|OB|2，当且仅当x11时取等号，故A正确；对于B，|OA|OB|22，故B正确；对于C，直线AB的方程为yx(xx1)，不过点，故C错误；对于D，O到直线AB：xy10的距离d1，故D正确2已知双曲线1(a0，b0)的两顶点分别为A1，A2，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上(不含端点)存在两点P1，P2，使得A1P1A2A1P2A2，则双曲线的渐近线斜率k的平方的取值范围是()A. BC. D解析：选A不妨设点F为双曲线的左焦点，点B在y轴正半轴上，则F(c,0)，B(0，b)，直线BF的方程为bxcybc.如图，以O为圆心，A1A2为直径，作圆O，则P1，P2在圆O上，由图可知即解得12，即双曲线的渐近线斜率k的平方的取值范围是，故选A.3已知以圆C：(x1)2y24的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x28y上任意一点，BM与直线y2垂直，垂足为M，则|BM|AB|的最大值为()A1 B2C1 D8解析：选A易知抛物线C1的焦点为(1,0)，所以抛物线C1的方程为y24x.由及点A位于第一象限可得点A(1,2)因为抛物线C2：x28y的焦点F(0,2)，准线方程为y2，所以由抛物线的定义得|BM|BF|.如图，在平面直角坐标系中画出抛物线C2及相应的图形，可得|BM|AB|BF|AB|AF|(当且仅当A，B，F三点共线，且点B在第一象限时，不等式取等号)故所求最大值为|AF|1，故选A.4(2018北京高考)已知椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_解析：法一：如图，双曲线N的渐近线方程为yx，tan 60，双曲线N的离心率e1满足e14，e12.由得x2.设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|2xc，4x2c2.a2b2，得3a46a2b2b40，320，解得23.椭圆M的离心率e142.e21.法二：双曲线N的渐近线方程为yx，则tan 60.又c12m，双曲线N的离心率为2.如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形边长为1，则|FC|2c22，即c21.又E为椭圆M上一点，则|EF|EC|2a，即12a，a.椭圆M的离心率为1.答案：125已知M为双曲线C：1(a0，b0)的右支上