矩阵的运算ppt课件.ppt

矩阵的加法 主要内容 数与矩阵相乘 矩阵的乘法 方阵的幂 第二节矩阵的运算 矩阵的转置 方阵的行列式 矩阵乘积的意义 1 定义定义2设A aij m n与B bij m n 矩阵A与矩阵B的和 记为A B 规定为 即A B aij bij m n 一 矩阵的加法 A B A B 称为A的负矩阵 显然有 定义矩阵的差为 比如 设矩阵 记 A aij 2 运算规律设A B C为同型矩阵 则 1 A B B A 加法交换律 2 A B C A B C 加法结合律 3 A O O A A 4 A A O 其中O与A是同型矩阵 例1设 1 问三个矩阵中哪些能进行加法运算 并求其和 哪些不能进行加法运算 说明原因 2 求C的负矩阵 1 A与B能进行加法运算 阵 A和B都是3 2矩阵 C是2 2矩阵 B与C不能进行加法运算 因为它们不是同型矩 而A与C 解 2 C的负矩阵为 1 定义定义3设A aij m n k是一个数 则 为数k与矩阵A的数量乘积 简称数乘 记为kA 称矩阵 二 数与矩阵相乘 根据矩阵数乘运算的定义 显然 就是 1与A的数乘积 数量矩阵就是数与单位矩阵的数乘积 或 2 运算规律设A B为同型矩阵 k l为常数 则 1 1A A 2 k lA kl A 3 k A B kA kB 4 k l A kA lA 矩阵相加与数乘矩阵 统称为矩阵的线性运算 例2设 且 求矩阵X 在 两端同加上 得 解 两端乘以 得 定义4设矩阵A aij m p B bij p n i 1 2 m j 1 2 n 注意 只有当第一个矩阵 左矩阵 的列数等于第 二个矩阵 右矩阵 的行数时 两个矩阵才能相乘 cij ai1b1j ai2b2j aipbpj 矩阵A与B的乘积C AB cij m n 其中 三 矩阵与矩阵相乘 例3已知 讨论AB及BA是否有意义 如果有并计算其结果 解 例4已知 讨论AB及BA是否有意义 如果有并计算其结果 因为A是2 4矩阵 B是4 3矩阵 A 定义有 其乘积AB C是一个2 3矩阵 由矩阵乘积的 的列数等于B的行数 所以矩阵A与B可以相乘 解 例5求矩阵 的乘积AB及BA 解 由定义有 定义了矩阵的乘法运算后 对于线性方程组 若令 则上述线性方程组可写成如下矩阵形式 AX b 关于矩阵的乘法运算 需要注意以下几点 1 矩阵的乘法运算不满足交换律 A左乘B 或 B右乘A 所以 在作乘法时 应指明它们相乘的次序 如AB读作 即使AB与BA都有定义 它们也不一定相等 AB有定义 BA不一定有定义 如 如 3 矩阵的乘法不满足消去律 即如果 但A C 例如 AB CB B O 不一定能推出A C 2 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 例如本节 中A O B O 但BA O 3 运算规律 1 Ok mAm p Ok p Am pOp n Om n 2 设A是m n矩阵 Em是m阶单位矩 6 k AB kA B A kB B C A BA CA 3 AB C A BC 4 A B C AB AC EmA A AEn A 阵 En是n阶单位矩阵 则 数量矩阵与任何方阵都是可交换的 5 kE A kA A kE 四 方阵的幂 如果A是n阶方阵 那么 AA有意义 也有意义 因此有下述定义 另外还规定 定义 0 E 相乘称为 的m次幂 记为 m 即 定义设A是n阶方阵 m是正整数 m个 2 运算规律设A为方阵 k l为正整数 则 阶方阵A与B 一般来说 AB k AkBk 又因矩阵乘法一般不满足交换律 所以对于两个n AkAl Ak l Ak l Akl 例设 计算 五 矩阵的转置 1 定义定义5把矩阵A的行换成同序数的列得到 例如矩阵 的转置矩阵为 一个新矩阵 叫做A的转置矩阵 记作AT或A 2 运算规律设A B C A1 A2 Ak是矩阵 且 A1A2 Ak T AkT A2TA1T 1 AT T A 2 B C T BT CT 3 kA T kAT 4 AB T BTAT 它们的行数与列数使相应运算有意义 k是数 则 5 若A为n阶矩阵 则 Am T AT m m为正整数 例7已知 求 AB T 解法1先乘积后转置 所以 因为 例7已知 求 AB T 解法2先转置后乘积 AB T BTAT 设A为n阶方阵 如果满足 即 那么A称为对称矩阵 简称对称阵 对称矩阵的特点是 它的元素以对角线为对称轴对应相等 六 方阵的行列式 1 定义 定义6由n阶方阵A的元素所构成的行列 式 各元素的位置不变 叫做方阵A的行列式 记 作 A 或detA 比如 方阵与行列式是两个不同的概念 n阶 方阵是n2个数按一定方式排成的数表 而n阶行 列式则是这些数 也就是数表A 按一定的运算法 则所确定的一个数 注意 2 运算规律 设A B为n阶方阵 为数 则有 1 AT A 2 A n A 3 AB A B 注意 2 说明一个数乘以方阵所得方阵的行列式等 于这个数的n次幂乘以该方阵的行列式 这个数不 能直接提出来 同学们一定要注意这一点 由 3 可知 对于n阶方阵A B 一般来说 AB BA 但总有 AB BA 1 即为行列式的性质1 1 AT A 2 A n A 3 AB A B 例8行列式 A 的各个元素的代数余子