高考数学一轮复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件精品学案 .doc

2013版高考数学一轮复习精品学案：第一章集合与常用逻辑用语第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件【高考新动向】一、考纲点击1、理解命题的概念；2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。二、热点、难点提示1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。【考纲全景透析】1、命题定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。2、四种命题及其关系（1）四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若，则逆否命题若，则（2）四种命题间的相互关系（3）四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。3、充分条件与必要条件（1）“若p，则q”为真命题，记，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。（2）如果既有，又有，记作，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件。【热点难点全析】一、命题的关系与真假的判断1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。2、例题解析例1】(1)(2012苏州模拟)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是_.(2)(2012岳阳模拟)命题“若ab，则a-1b-1”的否命题是_.(3)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是_.【解题指导】(1)、(2)先分清原命题的条件和结论，再根据四种命题的概念，写出逆命题、否命题.(3)在判断四种命题的真假时，可根据原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.【解析】(1)逆命题是将原命题的结论与条件互换位置，故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故该命题的否命题是“若ab，则a-1b-1”.(3)原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题；原命题的逆命题为：若y=f(x)的图象不过第四象限，则函数y=f(x)是幂函数，此命题为假命题，又因为逆命题与否命题同真同假，所以否命题为假命题，故真命题的个数是1.答案：(1)若一个数的平方是正数，则它是负数(2)若ab，则a-1b-1(3)1例2以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题内接于圆的四边形的对角互补；已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd；分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题解析：对：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”对：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“ab，cd”是条件，“acbd”是结论所以：逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab，cd”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab或cd，则acbd”(注意“ab，cd”的否定是“ab或cd”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd则ab或cd”逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若acbd则ab，cd两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理试一试：写出命题“当c0时，若ab，则acbc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假二、充分条件与必要条件的判定1、相关链接（1）利用定义判断若，则p是q的充分条件；注：“p是q的充分条件”是指有p就有q，但无p也可能有q如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件若，则p是q的必要条件；注： “q是p的必要条件”是指有q才能有p，但有q未必有p如，一个偶数未必能被6整除(q：为偶数，p：能被6整除)，即无必然无，可见对于来说必不可少。若且，p是q的充要条件；p是q的必要而不充分条件（2）利用集合判断记条件p、q对应的集合分别为a、b，则：若若，则p是q的充分不必要条件；若若，则p是q的必要不充分条件；若a=b，则p是q的充要条件；若，且，则是的既不充分也不必要条件。注：p与q之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。2、例题解析例1(1)设集合a=xr|x-20, b=xr|x0,则“xab”是“xc”的( )(a)充分而不必要条件(b)必要而不充分条件(c)充分必要条件(d)既不充分也不必要条件(2012驻马店模拟)已知条件p:(1-x)(x+1)0，条件有意义，则的( )(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充要条件(d)既不充分也不必要条件【解题指导】(1)求出集合c及ab，根据两集合的关系判断.(2)化简条件p、q，求出与后根据集合间的关系判断.解析：(1)选c.集合c的解集是x|x2,ab=x|x2,ab=c，故选c.(2)选b.由(1-x)(x+1)0,得-1x1，即条件p:-1x1，则或x1.由得-1x1.即条件q:-1x1，则或x1. 但是的必要不充分条件，故选b.例2已知p：x1，x2是方程x25x60的两根，q：x1x25，则p是q的 a充分但不必要条件b必要但不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件分析：利用韦达定理转换解析：x1，x2是方程x25x60的两根，x1，x2的值分别为1，6，x1x2165因此选a说明：判断命题为假命题可以通过举反例三、充要条件的证明例1（12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a0或a=1.分析：（1）讨论a 的不同取值情况；（2）利用根的判别式求a的取值范围. 解答：充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0,其根为x=,方程只有一个负根；当a=1时，方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1,方程只有一个负根。当a0,方程有两个不相等的根，且0,方程有一正一负根。必要性：若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根。当a=0时，适合条件。当a0时，方程ax2+2x+1=0有实根，则=4（1-a）0，a1,当a=1时，方程有一个负根x=-1.若方程有且仅有一负根，则 a1”是“x0”的充分不必要条件(c)若p且q为假命题，则p、q均为假命题(d)命题p：“xr使得x2+x+10”,则p：“xr均有x2+x+10”4.（预测题）若集合a=x|2x3，b=x|(x+2)(x-a)0，则“a=1”是“ab=”的( )(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充要条件(d)既不充分也不必要条件5.已知条件p:x1，条件q:1，则p是q成立的( )(a)充分不必要条件 (b)必要不充分条件(c)充要条件 (d)既不充分也不必要条件6.(2012郑州模拟)若a1x2+b1x+c10和a2x2+b2x+c20的解集分别为集合m和n，(ai,bi,ci(i=1，2)均不为零)，那么“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“m=n”的( )(a)充分不必要条件 (b)必要不充分条件(c)充要条件 (d)既不充分也不必要条件二、填空题(每小题6分，共18分)7.有三个命题：(1)“若x+y=0，则x,y互为相反数”的逆命题；(2)“若ab，则a2b2”的逆否命题；(3)“若x-3，则x2+x-60”的否命题.其中真命题的个数为_.8.（2012南平模拟）设命题甲为：0x5,命题乙为|x-2|3,则甲是乙的_条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）9.(2012安庆模拟)若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为_.三、解答题(每小题15分，共30分)10.设p:2x2-3x+10,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.11.求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.【探究创新】(16分)已知集合a=y|y=x2-x+1,x,2,b=x|x+m21.若“xa”是“xb”的充分条件,求实数m的取值范围.答案解析1.【解析】选d.“都是”的否定是“不都是”，故其否命题是：“若x,y不都是偶数，则x+y不是偶数”.2.【解析】选d.若f(x)=x2，则满足f(0)=0，但f(x)是偶函数；若f(x)=，则函数f(x)是奇函数，但f(0)没有意义，故选d.3.【解析】选c.若p且q为假命题，则p与q至少有一个为假命题.4.【解析】选a.当a=1时，b=x|-2x1，满足ab=，反之若ab=，只需a2即可，故“a=1”是“ab=”的充分不必要条件.5.【解析】选b.由1得0,x0或x1,q:0x1.x|0x1x|x1,p是q的必要不充分条件.【变式备选】已知p:x2-x0，那么p的一个必要不充分条件是( )(a)0x1 (b)-1x1(c)x (d)x2【解析】选b.由x2-x0得0x1,当x|0x1a时，xa是p的必要不充分条件，故选b.6.【解题指南】“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”等价于“=k”，当k0时，m=n，当k0时，mn；若m=n，则a1b2=a2b1且a1c2=a2c1不一定成立.【解析】选d.若a1b2=a2b1且a1c2=a2c1，则有=k，当k0时，mn;反之，若m=n,则a1b2=a2b1且a1c2=a2c1不一定成立,故“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“m=n”的既不充分也不必要条件.7.【解析】命题(1)为“若x,y 互为相反数，则x+y=0”是真命题；因为命题“若ab，则a2b2”是假命题，故命题(2)是假命题；命题(3)为“若x-3，则x2+x-60”，因为x2+x-60-3x2，故命题(3)是假命题，综上知真命题只有1个.答案：18.【解析】由x-23解得-1x5,由x(0,5)知x(-1,5),反之不成立，0x5是|x-2|1且a或a+11且a.0a.11.【证明】必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,则x=1满足方程ax2+bx+c=0,a+b+c=0.充分性：若a+b+c=0,则b=-a-c,ax2+bx+c=0可化为ax2-(a+c)x+c=0,(ax-c)(x-1)=0,当x=1时，ax2+bx+c=0,x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根.【方法技巧】充要