广东省梅州市高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

广东省梅州市2015届高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）如果复数z=，则（）a|z|=2bz的实部为1cz的虚部为1dz的共轭复数为1+i2（5分）己知集合a=x|x22x0，b=x|x|，则（）aab=rbab=cabdab3（5分）己知向量=（1，1），=（3，m），（+），则m=（）a2b2c3d34（5分）已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：若mn，m，则n若m，m，则；若m，mn，n，则；若m，=n，则mn，其中不正确的命题的个数是（）a0个b1个c2个d3个5（5分）有3个学习兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）abcd6（5分）为了研究“晚上喝绿茶与失眠”有无关系，调查了100名人士，得到下面列联表：状况有无喝茶失眠不失眠合计晚上喝绿茶153550晚上不喝绿茶44650合计1981100由已知数据可以求得：k2=7.86，则根据下面临界值表：p（k2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828可以做出的结论是（）a在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”b在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”c在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”d在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”7（5分）设函数f（x）=sin（x+）+cos（x+）（0，|）是最小正周期为的偶函数，则（）af（x）在（0，）上单调递减bf（x）在（）上单调递减cf（x）在（0，）上单调递增df（x）在（）上单调递增8（5分）关于x的方程x2+（a+1）x+a+b+1=0（a0，a、br）的两实根为x1，x2，若0x11x22，则的取值范围是（）abcd二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（9-13题）9（5分）已知sinx=，x（，），则tan（x）=10（5分）如图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为；方差为11（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线y2=1的左焦点重合，则实数p=12（5分）己知数列an的通项为an=，则它的前项和sn=13（5分）定义“正数对”：ln+x=，现有四个命题：若a0，b0，则ln+（ab）=bln+a；若a0，b0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；若a0，b0，则；若a0，b0，则ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有（写出所有真命题的序号）(二)、选做题【坐标系与参数方程选做题】14（5分）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点o为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线c的极坐标方程为，则直线l和曲线c的公共点有个【几何证明选讲选做题】15如图，ab是圆o的直径，点c在圆o上，延长bc到d使bc=cd，过c作圆o的切线交ad于e若ab=6，ed=2，则bc=三、解答题：本大题共6小题，满分805.解答须写出文字说明、证明过穆和演算步骤16（12分）己知a，b，c分别是abc的三个内角a、b、c所对的边，a，b，c成等差数列（1）若a=1，b=，求sin c；（2）若a，b，c成差数列，求证：abc是等边三角形17（12分）有编号为1，2，3，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，n的n个座位每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，已知=2时，共有6种坐法（1）求n的值；（2）求随机变量的概率分布列和数学期望18（14分）在正三角形abc中，e、f、p分别是ab、ac、bc边上的点，满足ae：eb=cf：fa=cp：pb=1：2（如图1）将aef沿ef折起到a1ef的位置，使二面角a1efb成直二面角，连结a1b、a1p（如图2）（1）求证：a1e平面bep；（2）求二面角b一a1p一f的余弦值的大小19（14分）已知函数f（x）=xex（xr）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明当x1时，f（x）g（x）20（14分）已知直线y=x+1与椭圆=1（ab0）相交于a、b两点（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）若oaob（其中o为坐标原点），当椭圆的离率e时，求椭圆的长轴长的最大值21（14分）设函数fn（x）=xn+ax+b（nn*，a，br）（1）设n2，a=1，b=1，证明：fn（x）在区间（，1）内存在唯一的零点（2）设n=2，若对任意x1，x21，1，有|f（x1）f（x2）|4，求a的取值范围（3）在（1）条件下，设fn（x）在（，1）内零点，试说明数列x2，x3，xn的增减性广东省梅州市2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）如果复数z=，则（）a|z|=2bz的实部为1cz的虚部为1dz的共轭复数为1+i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：计算题分析：直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案解答：解：由z=，所以，z的实部为1，z的虚部为1，z的共轭复数为1+i，故选c点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（5分）己知集合a=x|x22x0，b=x|x|，则（）aab=rbab=cabdab考点：并集及其运算 专题：集合分析：分别求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出a与b的交集，并集，判断a与b的包含关系即可解答：解：由a中不等式变形得：x（x2）0，解得：x0或x2，即a=（，0）（2，+），由b中不等式解得：x，即b=（，），则ab=r，ab=（，0）（2，），故选：a点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键3（5分）己知向量=（1，1），=（3，m），（+），则m=（）a2b2c3d3考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：利用向量共线定理即可得出解答：解：=（2，1+m），（+），（1+m）2=0，解得m=3故选：d点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题4（5分）已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：若mn，m，则n若m，m，则；若m，mn，n，则；若m，=n，则mn，其中不正确的命题的个数是（）a0个b1个c2个d3个考点：平面与平面平行的判定 专题：综合题分析：从直线与平面平行和垂直的判定定理，以及性质定理，对四个选项逐一判断；判断时通过反例即可解答：解：真命题有直线与平面垂直的判定定理之一；两个平面平行的判定之一；直线与平面垂直推出平面与平面垂直判定是假命题，m、n可以是异面直线故选b点评：本题考查直线与平面平行与垂直，平面与平面垂直的判定，直线与直线平行的判定，是基础题5（5分）有3个学习兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）abcd考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：由题意可得总的可能性为9种，符合题意的有3种，由概率公式可得解答：解：总的可能性为33=9种，两位同学参加同一个兴趣小组的情况为3种，所求概率p=，故选：d点评：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题6（5分）为了研究“晚上喝绿茶与失眠”有无关系，调查了100名人士，得到下面列联表：状况有无喝茶失眠不失眠合计晚上喝绿茶153550晚上不喝绿茶44650合计1981100由已知数据可以求得：k2=7.86，则根据下面临界值表：p（k2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828可以做出的结论是（）a在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”b在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”c在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”d在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”考点：独立性检验的应用 专题：应用题；概率与统计分析：由已知数据可以求得：k2=7.86，根据临界值表，即可得出结论解答：解：由已知数据可以求得：k2=7.86，根据临界值表，由于7.866.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”故选：a点评：本题考查独立性检验的应用，这里不需要把观测值同临界值进行比较，是一个基础题7（5分）设函数f（x）=sin（x+）+cos（x+）（0，|）是最小正周期为的偶函数，则（）af（x）在（0，）上单调递减bf（x）在（）上单调递减cf（x）在（0，）上单调递增df（x）在（）上单调递增考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：利用两角和公式对函数解析式化简，利用周期公式求得，利用函数的奇偶性取得，得出函数的解析式，最后利用余弦函数的性质求得答案解答：解：f（x）=sin（x+）+cos（x+）=sin（x+），依题意知t=，=2，函数为偶函数，+=k+，=k+，kz，|，=，f（x）=sin（2x+）=cos2x，f（x）在（0，）上单调递减故选a点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质考查了学生的计算能力和细心程度8（5分）关于x的方程x2+（a+1）x+a+b+1=0（a0，a、br）的两实根为x1，x2，若0x11x22，则的取值范围是（）abcd考点：简单线性规划的应用 专题：常规题型；压轴题分析：先利用二次方程根的分布得出关于a，b的约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线op过可行域内的点a或点c时，z分别、取得最大或最小，从而得到的取值范围即可解答：解：设f（x）=x2+（a+1）x+a+b+1，则方程f（x）=0的两实根x1，x2满足0x11x22的充要条件是，作出点（a，b）满足的可行域为abc的内部，其中点a（2，1）、b（3，2）、c（4，5），的几何意义是abc内部任一点（a，b）与原点o连线的斜率，而，作图，易知故选d点评：本小题是一道以二次方程的根的分布为载体的线性规划问题，考查化归转化和数形结合的思想，能力要求较高二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（9-13题）9（5分）已知sinx=，x（，），则tan（x）=7考点：两角和与差的正切函数 专题：三角函数的求值分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanx的值，再利用两角差的正切公式求得tan（x）的值解答：解：sinx=，x（，），cosx=，tanx=，tan（x）=7，故答案为：7点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，两角差的正切公式，属于基础题10（5分）如图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为85；方差为考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差 专题：计算题分析：根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差解答：解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的平均数为；方差为故答案为：85；点评：茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是2015届高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数11（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线y2=1的左焦点重合，则实数p=4考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先分别求出抛物线和双曲线的焦点，让二者相等即可得到答案解答：解：抛物线的焦点f为（，0），双曲线y2=1的左焦点f2（2，0），由已知得=2，p=4故答案为：4点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，考查双曲线的简单性质、抛物线的简单性质属基础题12（5分）己知数列an的通项为an=，则它的前项和sn=4考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：数列an的通项为an=，它的前项和sn=1+，=+，=1+=2，sn=4故答案为：4点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（5分）定义“正数对”：ln+x=，现有四个命题：若a0，b0，则ln+（ab）=bln+a；若a0，b0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；若a0，b0，则；若a0，b0，则ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假解答：解：（1）对于，由定义，当a1时，ab1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（ab）=bln+a；当a1时，ab1，故ln+（ab）=0，又a1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（ab）=bln+a，故正确；（2）对于，此命题不成立，可令a=2，b=，则ab=，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）ln+a+ln+b，故错误；（3）对于，i1时，此时0，当ab1时，ln+aln+b=lnalnb=，此时则，命题成立；当a1b0时，ln+aln+b=lna，此时，lna，则，命题成立；当1ab0时，ln+aln+b=0，成立；ii1时，同理可验证是正确的，故正确；（4）对于，当a1，b1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），a+b2ab=aab+bab=a（1b）+b（1a）0，a+b2ab，ln（a+b）ln（2ab），ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2当a1，0b1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+2=lna+ln2=ln（2a），a+b2a=ba0，a+b2a，ln（a+b）ln（2a），ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2当b1，0a1时，同理可证ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2当0a1，0b1时，可分a+b1和a+b1两种情况，均有ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2故正确故答案为点评：本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错(二)、选做题【坐标系与参数方程选做题】14（5分）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点o为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线c的极坐标方程为，则直线l和曲线c的公共点有1个考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程 专题：直线与圆分析：把参数方程化为普通方程，得到方程表示一条直线把曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程，表示一个圆圆心到直线的距离等于半径，可得直线和圆相切，从而得到结论解答：解：把直线l的参数方程（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为 xy+4=0，表示一条直线曲线c的极坐标方程为，即 2=4（+），即 x2+y2=4y+4x，即 （x2）2+（y2）2=8，表示以（2，2）为圆心，以r=2为半径的圆圆心到直线的距离等于 d=2=半径r，故直线和圆相切，故直线l和曲线c的公共点的个数为 1，故答案为 1点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的判定，属于基础题【几何证明选讲选做题】15如图，ab是圆o的直径，点c在圆o上，延长bc到d使bc=cd，过c作圆o的切线交ad于e若ab=6，ed=2，则bc=考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：利用ab是圆o的直径，可得acb=90即acbd又已知bc=cd，可得abd是等腰三角形，可得d=b再利用弦切角定理可得ace=b，得到aec=acb=90，进而得到cedacb，利用相似三角形的性质即可得出解答：解：ab是圆o的直径，acb=90即acbd又bc=cd，ab=ad，d=abc，eac=bacce与o相切于点c，ace=abcaec=acb=90cedacb，又cd=bc，点评：本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等基础知识，需要较强的推理能力三、解答题：本大题共6小题，满分805.解答须写出文字说明、证明过穆和演算步骤16（12分）己知a，b，c分别是abc的三个内角a、b、c所对的边，a，b，c成等差数列（1）若a=1，b=，求sin c；（2）若a，b，c成差数列，求证：abc是等边三角形考点：正弦定理 专题：解三角形分析：（1）利用等差数列、三角形的内角和定理可得b，利用正弦定理可得a，进而得到c；（2）利用等差数列与余弦定理即可得出解答：解：（1）由又0ab，sinc=1（2）证明：由2b=a+c，得4b2=a2+2ac+c2又b2=a2+c2ac4（a2+c2ac）=a2+2ac+c2化为3（ac）2=0，abc是等边三角形点评：本题考查了等差数列、三角形的内角和定理、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（12分）有编号为1，2，3，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，n的n个座位每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，已知=2时，共有6种坐法（1）求n的值；（2）求随机变量的概率分布列和数学期望考点：离散型随机变量及其分布列 专题：计算题分析：（1）解题的关键是=2时，共有6种坐法，写出关于n的表示式，解出未知量，把不合题意的舍去（2）学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，由题意知的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，理解变量对应的事件，写出分布列和期望解答：解：（1）当=2时，有cn2种坐法，cn2=6，即，n2n12=0，n=4或n=3（舍去），n=4（2）学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，由题意知的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，当变量是3时表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同，当变量是4时表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同，的概率分布列为：点评：培养运用从具体到抽象、从特殊到一般的观点分析问题的能力，充分体现数学的化归思想启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳的能力18（14分）在正三角形abc中，e、f、p分别是ab、ac、bc边上的点，满足ae：eb=cf：fa=cp：pb=1：2（如图1）将aef沿ef折起到a1ef的位置，使二面角a1efb成直二面角，连结a1b、a1p（如图2）（1）求证：a1e平面bep；（2）求二面角b一a1p一f的余弦值的大小考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）利用线面垂直的判定定理即可证明a1e平面bep；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角b一a1p一f的余弦值的大小解答：解：不妨设正三角形abc 的边长为 3（1）在图1中，取be的中点d，连结dfae：eb=cf：fa=1：2，af=ad=2（2分）而a=60，adf是正三角形又ae=de=1，efad（4分）在图2中，a1eef，beef，a1eb为二面角a1efb的平面角由题设条件知此二面角为直二面角，a1ebe又beef=e，a1e平面bef，即a1e平面bep（6分）（2）由（1）知，即a1e平面bep，beef以e为原点，以eb、ef、ea1分别为x、y、z轴建立如图3所示的坐标系如图，（7分）（8分）（9分），（10分），（11分），（12分），（13分）因为二面角ba1pf为钝角，（14分）点评：本题主要考查空间线面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键19（14分）已知函数f（x）=xex（xr）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明当x1时，f（x）g（x）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值 专题：综合题；导数的概念及应用分析：（1）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间，从而可求函数的极值；（2）构造函数f（x）=f（x）g（x），证明函数f（x）在1，+）上是增函数，即可证得结论解答：（1）解：求导函数，f（x）=（1x）ex，令f（x）=0，解得x=1由f（x）0，可得x1；由f（x）0，可得x1函数在（，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数函数在x=1时取得极大值f（1）=；（2）证明：由题意，g（x）=f（2x）=（2x）ex2，令f（x）=f（x）g（x），即f（x）=xex（2x）ex2，f（x）=（x1）（e2x21）ex，当x1时，2x20，e2x210，ex，0，f（x）0，函数f（x）在1，+）上是增函数f（1）=0，x1时，f（x）f（1）=0当x1时，f（x）g（x）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查不等式的证明，构造函数，确定函数的单调性是关键20（14分）已知直线y=x+1与椭圆=1（ab0）相交于a、b两点（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）若oaob（其中o为坐标原点），当椭圆的离率e时，求椭圆的长轴长的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：计算题；压轴题分析：（1）利用椭圆的离心率公式求出椭圆中的参数a，利用椭圆中三个参数的关系求出b，代入椭圆的方程求出椭圆的标准方程（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理求出两个交点的横、纵坐标之积；利用向量垂直的充要条件将oaob用交点的坐标表示，得到椭圆的三个参数的一个等式，再利用椭圆的三个参数本身的关系得到参数a与离心率的关系，利用离心率的范围求出a的范围，得到椭圆的长轴长的最大值解答：解（1）e=又2c=2，解得a=，则b=椭圆方程为：+=1（2）由消去y得（a2+b2）x22a2x+a2（1b2）=0，由=（2a2）24a2（a2+b2）（1b2）0，整理得a2+b21设a（x1，y1，），b（x2，y2），则x1+x2=y1y2=（x1+1）（x2+1）=x1x2（x1+x2）+1oaob（其中o为坐标原点），x1x2+y1y2=0，即2x1x2（x1+x2）+1=0+1=0整理得a2+b22a2b2=0b2=a2c2=a2a2e2，代入上式得2a2=1+，a2=e，2，3，适合条件a2+b21，由此得，故长轴长的最大值为点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的