高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11.3 导数的综合应用课件 理.ppt

第三课时导数的综合应用 考向一利用导数研究函数的零点或方程的根 典例1 2015 全国卷 已知函数f x g x lnx 1 当a为何值时 x轴为曲线y f x 的切线 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x 0 讨论h x 零点的个数 解题导引 1 利用导数的几何意义 设切点为 x0 0 利用f x0 0 f x0 0列出方程组求解 2 首先理解min m n 表示m n中的最小值 然后按x 1 x 1 x 0 1 进行分类讨论 确定h x 零点的个数 规范解答 1 设曲线y f x 与x轴相切于点 x0 0 则f x0 0 f x0 0 即解得因此 当时 x轴为曲线y f x 的切线 2 当x 1 时 g x lnx 0 从而h x min f x g x g x 0 故h x 在 1 上无零点 当x 1时 若则f 1 0 h 1 min f 1 g 1 g 1 0 故x 1是h x 的零点 若则f 1 0 所以只需考虑f x 在 0 1 上的零点个数 i 若a 3或a 0 则f x 3x2 a在 0 1 上无零点 故f x 在 0 1 上单调 而所以当a 3时 f x 在 0 1 上有一个零点 当a 0时 f x 在 0 1 上没有零点 ii 若 3 a 0 则f x 在上单调递减 在上单调递增 故在 0 1 中 当时 f x 取得最小值 最小值为 若即f x 在 0 1 上没有零点 若即则f x 在 0 1 上有唯一零点 即由于所以当时 f x 在 0 1 上有两个零点 当时 f x 在 0 1 上有一个零点 综上 当时 h x 有一个零点 当时 h x 有两个零点 当时 h x 有三个零点 规律方法 利用导数研究方程根的方法 1 研究方程根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最小值 变化趋势等 2 根据题目要求 画出函数图象的走势规律 标明函数极 最 值的位置 3 通过数形结合的思想去分析问题 可以使问题的求解有一个清晰 直观的整体展现 变式训练 2015 北京高考 设函数f x k 0 1 求f x 的单调区间和极值 2 证明若f x 有零点 则f x 在区间上仅有一个零点 解析 1 f x 的定义域为 0 f x 因为k 0 所以令f x 0得列表如下 减区间为增区间为当x 时 取得极小值 2 当 1 即0 k 1时 f x 在上单调递增 f 1 所以f x 在区间上没有零点 当即1 k e时 f x 在上递减 在上递增 此时函数没有零点 当即k e时 f x 在上单调递减 所以f x 在区间上仅有一个零点 综上 若f x 有零点 则f x 在区间上仅有一个零点 加固训练 1 已知函数f x x r 其中a 0 若函数f x 在区间 2 0 内恰有两个零点 则a的取值范围是 解析 选a f x x2 1 a x a x 1 x a 由f x 0 得x 1或a a 0 当x变化时f x 与f x 的变化情况如表 故函数f x 的单调递增区间是 1 a 单调递减区间是 1 a 可知函数f x 在区间 2 1 内单调递增 在区间 1 0 内单调递减 从而函数f x 在区间 2 0 内恰有两个零点 当且仅当解得所以a的取值范围是 2 已知函数f x x2 xsinx cosx的图象与直线y b有两个不同的交点 则b的取值范围是 解析 设g x f x b x2 xsinx cosx b 令g x f x 0 x 2 cosx 0 得x 0 当x变化时 g x g x 的变化情况如表 所以函数g x 在区间 0 上单调递减 在区间 0 上单调递增 且g x 的最小值为g 0 1 b 当1 b 0时 即b 1时 g x 0至多有一个实根 曲线y f x 与y b最多有一个交点 不合题意 当1 b1时 有g 0 1 b4b 2b 1 b 0 所以y g x 在 0 2b 内存在零点 又y g x 在r上是偶函数 且g x 在 0 上单调递增 所以y g x 在 0 上有唯一零点 在 0 也有唯一零点 故当b 1时 y g x 在r上有两个零点 则曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 综上可知 如果曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 那么b的取值范围是 1 答案 1 3 已知函数f x 2 a x 2 1 lnx a 1 当a 1时 求f x 的单调区间 2 若函数f x 在区间上无零点 求a的最小值 解析 1 当a 1时 f x x 1 2lnx 则f x 定义域x 0 由f x 0 得x 2 由f x 0 得0 x 2 故f x 的单调递减区间为 0 2 单调递增区间为 2 2 f x 2 a x 1 2lnx 令m x 2 a x 1 x 0 h x 2lnx x 0 则f x m x h x 当a 2时 m x 在上为增函数 h x 在上为增函数 若f x 在上无零点 则即所以a 2 4ln2 所以2 4ln2 a 2 当a 2时 在上m x 0 h x 0 所以f x 0 所以f x 在上无零点 由 得a 2 4ln2 所以amin 2 4ln2 4 2014 全国卷 已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a 2 证明 当k 1时 曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 解析 1 因为f x x3 3x2 ax 2 所以f x 3x2 6x a f 0 a 设切点a 0 2 切线与x轴交点为b 2 0 则kab f 0 即所以a 1 2 当k 1时 令f x kx 2 x3 3x2 x kx 4 0 则令则g x 令h x 2x3 3x2 4 则h x 6x2 6x 6x x 1 所以当x 0 1 时 h x 0 h x 递减 当x 0 或 1 时 h x 0 h x 递增 且h 0 2时 h x 0 g x 0 g x 在 2 上递增 所以当x 0 2 2 时 g x g 2 1 当x 0 时 单调递减 且g x 所以当k 1时 g x k仅有一个根 图象如图所示 所以当k 1时 y f x 与y kx 2仅有一个交点 考向二利用导数研究不等式的有关问题 考情快递 考题例析 命题方向1 证明不等式 典例2 2016 唐山模拟 已知f x 1 x ex 1 1 求函数f x 的最大值 2 设g x x 1 且x 0 证明 g x 1 解题导引 1 先求导 然后结合函数的单调性求最值 2 构造函数h x f x x 结合函数的单调性证明 规范解答 1 f x xex 当x 0 时 f x 0 f x 单调递增 当x 0 时 f x 0 f x 单调递减 所以f x 的最大值为f 0 0 2 由 1 知 当x 0时 f x x 设h x f x x 则h x xex 1 当x 1 0 时 0 x 1 0 ex 1 则0 xex 1 从而当x 1 0 时 h x 0 h x 在 1 0 上单调递减 当 1h 0 0 即g x 1 综上 总有g x 1 命题方向2 不等式恒成立问题 典例3 2015 北京高考 已知函数f x 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求证 当x 0 1 时 f x 3 设实数k使得f x 对x 0 1 恒成立 求k的最大值 解题导引 1 求出切点 0 f 0 导数f 0 代入得到切线方程 2 构造函数f x ln 1 x ln 1 x 证明最小值大于0 3 构造函数t x x 0 1 求导 讨论k的取值情况从而确定k的最大值 规范解答 1 f x x 1 1 f x f 0 2 f 0 0 所以切线方程为y 2x 2 原命题等价于任意x 0 1 设函数f x ln 1 x ln 1 x f x 当x 0 1 时 f x 0 函数f x 在x 0 1 上是单调递增函数 f x f 0 0 因此任意x 0 1 f x 3 x 0 1 t x x 0 1 当k 0 2 t x 0 函数t x 单调递增 t x t 0 0显然成立 当k 2时 令t x0 0得 0 1 t x 的变化情况列表如下 t x0 t 0 0 显然不成立 当k 0时 显然k取不到最大值 综上可知 k的最大值为2 技法感悟 1 利用导数证明不等式的方法证明f x g x x a b 可以构造函数f x f x g x 如果f x 0 则f x 在 a b 上是减函数 同时若f a 0 由减函数的定义可知 x a b 时 有f x 0 即证明了f x g x 2 利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 1 首先要构造函数 利用导数研究函数的单调性 求出最值 进而得出相应的含参不等式 从而求出参数的取值范围 2 也可分离变量 构造函数 直接把问题转化为函数的最值问题 题组通关 1 2016 贵阳模拟 若关于x的不等式x3 3x2 9x 2 m对任意x 2 2 恒成立 则m的取值范围是 a 7 b 20 c 0 d 12 7 解析 选b 令f x x3 3x2 9x 2 则f x 3x2 6x 9 令f x 0 得x 1或3 舍去 因为f 1 7 f 2 0 f 2 20 所以f x 的最小值为f 2 20 故m 20 2 2016 石家庄模拟 设函数f x ax3 3x 1 x r 若对于任意x 1 1 都有f x 0成立 则实数a的值为 解析 若x 0 则不论a取何值 f x 0显然成立 当x 0 即x 0 1 时 f x ax3 3x 1 0 可化为设g x 则g x 所以g x 在区间上单调递增 在区间上单调递减 因此g x max 从而a 4 当x 0 即x 1 0 时 同理 g x 在区间 1 0 上单调递增 所以g x min g 1 4 从而a 4 综上 可知a 4 答案 4 3 2016 长沙模拟 已知f x xlnx g x x2 ax 3 1 对一切x 0 2f x g x 恒成立 求实数a的取值范围 2 证明 对一切x 0 恒成立 解析 1 由题意知2xlnx x2 ax 3对一切x 0 恒成立 则设h x 则h x 当x 0 1 时 h x 0 h x 单调递减 当x 1 时 h x 0 h x 单调递增 所以h x min h 1 4 对一切x 0 2f x g x 恒成立 所以a h x min 4 即实数a的取值范围是 4 2 问题等价于证明 x 0 又f x xlnx f x lnx 1 当x 时 f x 0 f x 单调递增 所以 设m x x 0 则m x 易知m x max m 1 从而对一切x 0 恒成立 考向三利用导数研究生活中的优化问题 典例4 2016 黄冈模拟 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的体积为立方米 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元 半球形部分每平方米建造费用为4千元 设该容器的总建造费用为y千元 1 将y表示成r的函数f r 并求该函数的定义域 2 讨论函数f r 的单调性 并确定r和l为何值时 该容器的建造费用最小 并求出最小建造费用 解题导引 1 该组合体是由两个半球和一个圆柱体构成的 利用公式求出每部分的表面积 2 利用导数求出函数的最值 规范解答 1 因为容器的体积为立方米 所以解得所以圆柱的侧面积为2 rl 两端两个半球的表面积之和为4 r2 所以y f r 又所以定义域为 2 因为所以令y 0 得令y 0 得0 r 2 当r 时 f r 为增函数 当r 0 2 时 f r 为减函数 所以当r 2 时 该容器的建造费用最小为96 千元 母题变式 1 若典例条件不变 试求该容器表面积的最小值 解析 因为容器的体积为立方米 所以解得所以圆柱的侧面积为 两端两个半球的表面积之和为4 r2 故该容器的表面积则令y 0 解得易知当r 米时 表面积取得最小值 ymin 平方米 2 若由于场地的限制 使典例中该容器的半径要限制在范围内 则求容器建造费用的最小值 解析 由例题得所以令y 0 得令y 0 得0 r 2 故当r 时 函数单调递减 故当时 规律方法 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 回归实际问题 结合实际问题作答 变式训练 2016 孝感模拟 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解析 1 因为x 5时 y 11 所以 2 由 1 可知 该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 从而 f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如表 由上表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 加固训练 1 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 a 13万件b 11万件c 9万件d 7万件 解析 选c 因为y x2 81 所以当x 9时 y 0 当x 0 9 时 y 0 所以函数在 9 上单调递减 在 0 9 上单调递增 所以x 9是函数的极大值点 又因为函数在 0 上只有一个极大值点 所以函数在x 9处取得最大值 2 2016 吉林模拟 某蔬菜基地有一批黄瓜进入市场销售 通过市场调查 预测黄瓜的价格f x 单位 元 kg 与时间x 单位 天 x 0 8 且x n 的数据如表 1 根据上表数据 从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f x 与上市时间x的变化关系 f x ax b f x ax2 bx c f x a bx 其中a 0 并求出此函数 2 在日常生活中 黄瓜的价格除了与上市日期相关 与供给量也密不可分 已知供给量h x x n 在供给量的限定下 黄瓜实际价格g x f x h x 求黄瓜实际价格g x 的最小值 解析 1 根据表中数据 表述黄瓜价格f x 与上市时间x的变化关系的函数不是单调函数 这与函数f x