【推荐】2015年学年九年级下册北师大版数学全册教案及教学设计

九年级下册北师大版数学全册教案及教学设计 第一章 直角三角形的边角关系 1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时） 学习目标 : 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程 .理解正切的意义和与现实生活的联系 . 2.能够用 tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算 . 学习重点 : 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系 . 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系 . 学习难点 : 理解正切的意义，并用它来表示两边的比 . 学习方法 : 引导 探索 法 . 更多免费教案下载绿色圃中小学教育网 分站 学习过程 : 一、生活中的数学问题 : 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： 如图： 梯子 AB 和 EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 以下三组中， 梯子 AB和 EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、 直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） Rt AB1C1和 RtAB 2C2有什么关系 ? 222111B ACCBACC 和有什么关系？ 如果改变 B2在梯子上的位置 (如 B3C3)呢 ? 由此你得出什么结论 ? 三、例题： 例 1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡 ? 例 2、在 ABC中， C=90， BC=12cm， AB=20cm，求 tanA 和 tanB的值 . 四、随堂练习： 1、如图， ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出 tanC吗 ? 2、如图，某人从山脚下的点 A走了 200m后到达山顶的点 B，已知点 B到山脚的垂直距离为 55m，求山的坡度 .(结果精确到 0.001) 3、若某人沿坡度 i 3： 4 的斜坡前进 10 米，则他所在的位置比原来的位置升高 _米 . 4、菱形的两条对角线分别是 16和 12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为，则tan _. 5、如图， Rt ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡 AB 的长为 12 m，它的坡角为 45，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为 1： 1.5的斜坡 AD，求 DB 的长 .(结果保留根号 ) 五、课后练习： 1、 在 Rt ABC中 ,C=90,AB=3,BC=1, 则 tanA= _. 2、 在 ABC中 ,AB=10,AC=8,BC=6,则 tanA=_. 3、 在 ABC中 ,AB=AC=3,BC=4,则 tanC=_. 4、 在 Rt ABC中 ,C 是直角 ,A 、 B 、 C 的对边分别是 a、 b、 c,且 a=24,c= 25,求 tanA、 tanB的值 . 5、 若三角形三边的比是 25:24:7,求最小角 的 正切 值 . 6、 如图 ,在菱形 ABCD中 ,AEBC 于 E,EC=1,tanB=125, 求菱形的边长和四边形 AECD的周长 . EDBAC 7、 已知 :如图 ,斜坡 AB的倾斜角 a,且 tan =34,现有一小球从坡底 A处以 20cm/s 的速度向坡顶 B处移动 ,则小球以多大的速度向上升高 ? 8、 探究 : 、 a克糖水中有 b克糖 (ab0),则糖的质量与糖水质量的比为 _; 若再添加 c克糖 (c0),则糖的质量与糖水的质量的比为 _.生活常识告诉我们 : 添加的糖完全溶解后 ,糖水会更甜 ,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式 : _. 、 我们知道山坡的坡角越大 ,则坡越陡 ,联想 到课本中的结论 :tanA的值越大 , 则坡越陡 ,我们会得到一个锐角逐渐变大时 ,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律 ,请你写出这个规律 :_. 、 如图 ,在 RtABC 中 ,B=90,AB=a,BC=b(ab), 延长 BA、 BC,使 AE=CD=c, 直线 CA、 DE交于点 F,请运用 (2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式 . 1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第二课时） 学习目标： 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义 . 2.能够运用 sinA、 cosA 表示直角三角形两边的比 . 3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 . 4.理解锐角三角函数的意义 . 学习重点： 1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明 . 2.能用 sinA、 cosA表示直角三角形两边的比 . 3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算 . 学习难点： 用函数的观点理解正弦、余弦和正切 . 学习方法： 探索 交流法 . 学习过程： 一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图 (1)直角三角形 AB1C1和直角三角形 AB2C2有什么关系 ? (2) 2111 22BACABACA 和有什么关系 ? 211 2BABCBABC 和 呢 ? (3)如果改变 A2在梯子 A1B上的位置呢 ?你由此可得出什么结论 ? (4)如果改变梯子 A1B的倾斜角的大小呢 ?你由此又可得出什么结论 ? 请讨论后回答 . 二、由图讨论 梯子的倾斜程度与 sinA和 cosA的关系： BACBDACEFBA C三、例题： 例 1、如图，在 Rt ABC中， B=90， AC 200.sinA 0.6，求 BC 的长 . 例 2、做一做： 如图，在 Rt ABC 中， C=90， cosA1312， AC 10， AB 等于多少 ?sinB呢 ?cosB、 sinA呢 ?你还能得出类似例 1的结论吗 ?请用一般式表达 . 四、随堂练习： 1、在等腰三角形 ABC中， AB=AC 5， BC=6，求 sinB， cosB， tanB. 2、在 ABC中， C 90， sinA54， BC=20，求 ABC 的周长和面积 . 3、 在 ABC中 . C=90，若 tanA=21，则 sinA= . 4、已知：如图， CD是 Rt ABC的斜边 AB 上的高，求证： BC2 AB BD.(用正弦、余弦函数的定义证明 ) 五、课后练习： 1、 在 RtABC 中 , C=90,tanA= 34,则 sinB=_,tanB=_. 2、 在 RtABC 中 ,C=90,AB=41,sinA= 941,则 AC=_,BC=_. 3、 在 ABC 中 ,AB=AC=10,sinC=45,则 BC=_. 4、在 ABC 中 ,已知 AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是 ( ) A.sinA=34B.cosA=35C.tanA=34D.cosB=35DBA C5、如图 ,在 ABC 中 ,C=90,sinA= 35,则 BCAC等于 ( ) A.34B.43C.35D.456、 RtA BC 中 ,C=90, 已知 cosA=35,那么 tanA等于 ( ) A.43B.34C.45D.547、在 ABC中， C=90 ,BC=5,AB=13,则 sinA的值是 A135B1312C125D5128、 已知甲、乙两坡的坡角分别为 、 , 若甲坡比乙坡更徒些 , 则下列结论正确的是 ( ) A.tan cos 9、 如图 ,在 RtABC 中 ,CD是斜边 AB 上的高 ,则下列线段的比中不等于 sinA的是 ( ) A.CDACB.DBCBC.CBABD.CDCB10、 某人沿倾斜角为 的斜坡前进 100m,则他上升的最大高度是 ( )m A. 100sinB.100sin C. 100cosD. 100cos 11、 如图 ,分别求 ,的正弦 ,余弦 ,和正切 . 12、 在 ABC 中 ,AB=5,BC=13,AD是 BC 边上的高 ,AD=4.求 :CD,sinC. 13、在 RtABC 中 ,BCA=90,CD 是中线 ,BC=8,CD=5.求 sinACD,cosACD 和 tanACD. 14、在 RtABC 中 ,C=90,sinA 和 cosB有什么关系 ? 15、 如图 ,已知四边形 ABCD 中 ,BC=CD=DB, ADB=90,cos ABD=45.求 ： s ABD： s BCD 1.2 30、 45、 60角的三角函数值 学习目标： 1.经历探索 30、 45、 60角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理 .进一步体会三角函数的意义 . BDAC 2.能够进行 30、 45、 60角的三角函数值的计算 . 3.能够根据 30、 45、 60的三角函数值说明相应的锐角的大小 . 学习重点： 1.探索 30、 45 、 60角的三角函数值 . 2.能够进行含 30、 45、 60角的三角函数值的计算 . 3.比较锐角三角函数值的大小 . 学习难点： 进一步体会三角函数的意义 . 学习方法： 自主探索法 学习过程： 一、问题引入 问题 为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：含 30和 60两个锐角的三角尺；皮尺 .请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度 . 二、新课 问题 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角 ?它们分别等于多少度 ? 问题 2、 sin30等于多少呢 ?你是怎样得到 的 ?与同伴交流 . 问题 3、 cos30等于多少 ?tan30呢 ? 问题 4、我们求出了 30角的三个三角函数值，还有两个特殊角 45、 60，它们的三角函数值分别是多少 ?你是如何得到的 ? 结论： 三角函数 角度 sin co tan 30 45 60 例 1计算： (1)sin30 +cos45； (2)sin260 +cos260 -tan45 . 例 2一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5 m，当秋千向两 边摆动时，摆角恰好为 60，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差 .(结果精确到 0.01 m) 三、随堂练习 1.计算： (1)sin60 -tan45； (2)cos60 +tan60； (3) 22sin45 +sin60 -2cos45； 13230sin 1 ； ( 2 +1)-1+2sin30 - 8 ； (1+ 2 )0- 1-sin30 1+(21)-1； sin60 + 60tan1 1； 2-3-( 0032 + )0-cos60 -21 1. 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30 .高为 7 m，扶梯的长度是多少 ? 3 如 图为住宅区内的两幢楼，它们的高 AB CD=30 m，两楼问的距离 AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况 .当太阳光与水平线的夹角为 30时，求甲楼的影子在乙楼上有多高 ?(精确到 0.1 m， 2 1.41，3 1.73) 四、课后练习： 1、 Rt ABC中， 8,60 cA ，则 _ _ _ _ _, ba ； 2、在 ABC中，若 2,32 bc ,，则 _tan B ，面积 S ； 3、在 ABC中， AC： BC 1： 3 ， AB 6， B ， AC BC 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是 3:2 ，则顶角为 （ ） （ A） 600 （ B） 900 （ C） 1200 （ D） 1500 5、有一个角是 30 的直角三角形，斜边为 cm1 ，则斜边上的高为 （ ） （ A） cm41（ B） cm21（ C） cm43（ D） cm236、 在 ABC 中， 90C ，若 AB 2 ，则 tanA等于（ ） （ A） 3 （ B）33（ C）23 （ D）217、 如果 a是等边三角形的一个内角，那么 cosa的值等于（ ） （ A）21（ B）22（ C）23 （ D） 1 8、 某市在 “ 旧城改造 ” 中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 a元，则购买这种草皮至少要（ ） （ A） 450a元 （ B） 225a元 （ C） 150a元 （ D） 300a元 9、计算： 、 60c os60sin 22 、 30c o s30s in260s in 、 45c os30sin 2 、 3245c o s2 15020 米 30 米、 00 45c o s360s in2 、 130sin5 60cos3 00、 30sin2 2 60cos30tan tan60 、 30tan45sin 22 10、请设计一种方案计算 tan15的值。 1.4 船有触礁的危险吗 学习目标： 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用 . 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明 . 学习重点： 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用 . 2.发展学生数学应用意 识和解决问题的能力 . 学习难点： 根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图 . 学习方法： 探索 发现法 学习过程： 一、问题引入： 海中有一个小岛 A，该岛四周 10海里内有暗礁 .今有货轮由西向东航行，开始在 A岛南偏西 55的 B处，往东行驶 20 海里后，到达该岛的南偏西 25的 C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 ?你是如何想的 ?与同伴进行交流 . 二、解决问题： 1、如图，小明想测量塔 CD 的高度 .他在 A处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往塔的方向前进 50m至 B处 .测得仰角为 60 .那么该塔有多高 ?(小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m) 2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由 40减至 35，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面 ?(结果精确到0.0l m) 三、 随堂练习 1.如图，一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定， CD 与地面成 40夹角，且 DB 5 m，现再在 C 点上方 2m 处加固另一条钢缆 ED，那么钢缆 ED 的长度为多少 ? 2.如图 ,水库大坝的截面是梯形 ABCD.坝顶 AD 6m，坡长 CD 8m.坡底 BC 30m， ADC=135 . (1)求 ABC的大小： (2)如果坝长 100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料 ?(结果精确到 0.01 m3) 3如图，某货船以 20海里时的速度将一批重要物资由 A处运往正西方向的 B处，经 16小时的航行到达，到达后必须立即卸货 .此时 .接到气象部门通知，一台风中心正以 40 海里时的速度由 A 向北偏西 60方向移动，距台风中心 200海里的圆形区域 (包括边界 )均受到影响 . (1)问： B处是否会受到台风的影响 ?请说明理由 . (2)为避免受到台风的影响，该船应 在多少小时内卸完货物 ?(供选用数据： 2 1.4， 3 1.7) 四、课后练习： 1. 有一拦水坝是等腰楼形 ,它的上底是 6米 ,下底是 10米 ,高为 2 3 米 ,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角 . 2.如图 ,太阳光线与地面成 60 角 ,一棵大树倾斜后与地面成 36 角 , 这时测得大树在地面上的影长约为 10米 ,求大树的长 (精确到 0.1 米 ). 太阳光线B60 DA36 C3.如图 ,公路 MN 和公路 PQ在点 P处交汇 ,且 QPN=30, 点 A处有一所学校 ,AP=160 米 ,假设拖拉机行驶时 ,周围 100 米以内会受到噪声的影响 ,那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响 ?请说明理由 . NQAMP4.如图 ,某地为响应市政府 “ 形象重于生命 ” 的号召 ,在甲建筑物上从点 A 到点 E 挂一长为 30 米的宣传条幅 ,在乙建筑物的顶部 D点测得条幅顶端 A点的仰角为 40, 测得条幅底端 E的俯角为 26, 求甲、乙两建筑物的水平距离 BC 的长 (精确到 0.1 米 ). BDACEF5.如图 ,小山上有一座铁塔 AB,在 D 处测得点 A 的仰角为 ADC=60, 点 B 的仰角为 BDC=45; 在 E 处测得 A的仰角为 E=30, 并测得 DE=90 米 , 求小山高 BC 和铁塔高 AB(精确到 0.1米 ). 6.某民航飞机在大连海域失事 ,为调查失事原因 ,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子 ,如图所示 ,一潜水员在 A处以每小时 8海里的速度向正东方向划行 ,在 A处测得黑匣子 B在北偏东 60 的方向 ,划行半小时后到达C 处 ,测得黑匣子 B 在北偏东 30 的方向 ,在潜水员继续向东划行多少小时 ,距离黑匣子 B最近 ,并求最近距离 . 7.以申办 2010年冬奥会 ,需改变哈尔滨市的交通 状况 ,在大直街拓宽工程中 , 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以 B 为圆心 ,半径与 AB 等长的圆形危险区 ,现在某工人站在离 B 点 3米远的 D处测得树的顶点 A的仰角为 60, 树的底部 B点的俯角为 30, 如图所示 ,问距离B 点 8米远的保护物是否在危险区内 ? 8.如图 ,某学校为了改变办学条件 ,计划在甲教学楼的正北方 21米处的一块空地上 (BD=21米 ),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼 (甲教学楼的高 AB=20米 ),设计要求冬至正午时 ,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面 5米高的二楼窗口处 , 已知该地区冬至正午时太阳偏南 ,太阳光线与水平线夹角为 30, 试判断 : 计划所建的乙教学楼是否符合设计要求 ?并说明理由 . 9.如图 ,两条带子 ,带子 的宽度为 2cm,带子 b 的宽度为 1cm,它们相交成 角 ,如果重叠部分的面积为 4cm2,求 的度数 . 1.5 测量物体的高度 BDACEB30DA60CEba乙教学楼甲教学楼B30 DA C南F30 北A60 C1.下表是小明同学填写活动报告的部分内容 : 课题 在两岸近似平行的河段上测量河宽 测量目 标图示 BD ACE测得数据 CAD=60,AB=30m,CBD=45,BDC=90 请你根据以上的条件 ,计算出河宽 CD(结果保留根号 ). 2.下 面是活动报告的一部分 , 请填写 “ 测得数据 ” 和 “ 计算 ” 两栏中未完成的部分 . 课题 测量旗杆高 测量示意图 B DA CE测得数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 BD 的长 24.19m 23.97m 测倾器的高 CD=1.23m CD=1.19m 倾斜角 a=3115 a=3045 a=31 计算 旗杆高 AB(精确到 0.1m) 3.学习完本节内容后 , 某校九年级数学老师布置一道利用测倾器测量学校旗杆高度的活动课题 ,下表是小明同学填写的活动报告 ,请你根据有关测量数据 , 求旗 杆高 AB(计算过程填在下表计算栏内 ,用计算器计算 ). 活动报告 课题 利用测倾器测量学校旗杆的高 测量示意图 B DA CE测量数据 BD的长 BD=20.00m 测倾器的高 CD=1.21m 倾斜角 =28 计算 旗杆高 AB的计算过程 (精确到 0.1m) 4.某市为促进本地经济发展 ,计划修建跨河大桥 ,需要测出河的宽度 AB, 在河边一座高度为 300米的山顶观测 A B 太 阳 光 线 C D E 点 D处测得点 A,点 B的俯角分别为 =30, =60, 求河的宽度 (精确到 0.1米 ) BDA C5.为了测量校园内一棵不可攀的树的 高度 , 学校数学应用实践小组做了如下的探索 : 实践一 :根据自然科学中光的反射定律 ,利用一面镜子和一根皮尺 , 设计如图 (1)的测量方案 :把镜子放在离树 (AB)8.7(米 )的点 E处 ,然后沿着直线 BE 后退到点 D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点 A,再用皮尺量得 DE=2.7米 ,观察者目高 CD=1.6米 ,请你计算 树 AB的高度 (精确到 0.1米 ) 实践二 :提供选用的测量工具有 : 皮尺一根 ; 教学用三角板一副 ; 长为 2. 5 米的标杆一根 ; 高度为 1.5米的测角仪一架 ,请根据你所设计的测量方案 , 回答下列问题 : (1)在你设计的方案中 ,选用的测量工具是 _. (2)在图 (2)中画出你的测量方案示意图 ; (3)你需要测得示意图中哪些数据 ,并分别用 a,b,c, , 等表示测得的数据 _. (4)写出求树高的算式 :AB=_. B( 1)DACEB( 2)6.在 1:50000的地图上 ,查得 A点在 300m的等高线上 ,B点在 400m的等高线上 , 在地图上量得 AB的长为 2.5cm,若要在 A、 B之间建一条索道 ,那么缆索至少要多长 ? 它的倾斜角是多少 ? (说明 :地图上量得的 AB的长 ,就是 A,B两点间的水平距离 AB, 由 B向过 A 且平行于地面的平面作垂线 ,垂足为 B, 连接 AB, 则 A 即是缆索的倾斜角 .) 10 0m2.5cm 50 00 0BA B 7、 为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索： 实践一：根据自然科学中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（ AB） 8.7 米的点 E 处，然后沿着 直线 BE 后退到点 D，这是恰好在 镜子里看到树梢顶点 A，再用皮尺量得 DE=2.7米，观察者目高 CD=1.6米，请你计算树（ AB）的高度 （精确到 0.1米） 300 350 400 A B 实践二：提供选用的测量工具有：皮尺一根；教学用三角板一副；长为 2.5米的标杆一根；高度为 1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架。请根据你所设计的测量方案，回答下列问题： （ 1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工 具的序号填写） （ 2）在右图中画出你的测量方案示意图； （ 3）你需要测得示意图中的哪些数据 ，并分别用 a、 b、 c、等表示测得的数据： （ 4）写出求树高的算式： AB= 第一章回顾与思考 1、 等腰三角形的一腰长为 cm6 ，底边长为 cm36 ，则其底角为（ ） A 030 B 060 C 090 D 0120 2、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度 3:1i ，坝外斜坡的坡度 1:1i ，则两个坡角的和为 （ ） A 090 B 060 C 075 D 0105 3、 如图，在矩形 ABCD中， DEAC 于 E，设 ADE= ，且53cos , AB = 4, 则 AD 的长为（ ） （ A） 3 （ B）316（ C）320（ D）5164、 在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为 450 2cm ，则对角线所用的竹条至少需（ ） （ A） cm230 （ B） 30cm （ C） 60cm （ D） cm260 5、 如果 是锐角，且 135c oss in 22 ，那么 6、 如图，在坡度为 1： 2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是 6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米 7、 如图 ,P是 的边 OA上一点 , 且 P点坐标为 (3,4),则 sin = , cos =_. 8、 支离旗杆 20 米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为 ，如果测角仪高为 1.5米那么旗杆的有为 米（用含 的三角比表示） 9、 在 Rt ABC 中 A B ， CM是斜边 AB上的中线，将 ACM 沿直线 CM 折叠，点 A落在点 D处，如果 CD恰好与 AB垂直，那么 A 等于 度 A B Poyx34AB CDE555.8 m10m10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形 .按工程设计要求路面宽度为 10 米，坡角为 55 ，路基高度为 5.8米，求路基下底宽（精确到 0.1米） . 11、 “ 曙 光中学 ” 有一块三角形形状的花 圃 ABC，现可 直 接测量到 ，A 30 AC = 40米 ， BC = 25米， 请 你求出这块花 圃 的面积 . 12、 如图，在小山的东侧 A处有一热气球，以每分钟 28米的速度沿着与垂直方向夹角为 30 的方向飞行，半小时后到达 C处，这时气球上的人发现，在 A处的正西方向有一处着火点 B， 5分钟后，在 D处测得着火点 B的俯角是 15 ，求热气球升空点 A与着火点 B的距离 13、 如图，一勘测人员从 B 点出发，沿坡角为 15 的坡面以 5千米 /时的速度行至 D 点，用了 12 分钟，然后沿坡角为 20 的坡面以 3 千米 /时的速度到达山顶 A 点，用了 10 分钟 .求山高（即 AC 的长度）及 A、 B 两点的水平距离 （即 BC的长度）（精确到 0.01千米） . 14、 为申办 2010 年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵数 AB，在地面上事先划定以 B为圆心，半径与 AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离 B点 3米远的 D处测得树的顶端 A点的仰角为 60 ，树的底部 B点的俯角为 30 （如图） .为距离 B点 8米远的保护物是否在危险区内？ 15、 如图， MN 表示某引水工程的一段设计路线，从 M 到 N 的走向为南偏东 30. 在 M 的南偏东 60 方向上有一点 A,以 A 为圆心、 500m 为半径的圆形区域为居民区 .取 MN 上另一点 B,测得 BA 的方向为南偏东 75. 已知 MB = 400m,通过计算回答 ,如果不改变方向 ,输水路线是否会穿过居民区 ? 3015 .ABC D1520AB CD E6030BDCAABNM 东北 16、 如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地 A的正东方向且距 A地的正东方向且距 A地 40海里的 B地训练 .突然接到基地命令，要该军舰前往 C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治 .已知 C 岛在 A 的北偏东 60 方向，且在 B 的北偏西 45 方向，军舰从 B 处出发，平均每小时行驶 20 海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到 0.1小时） 17、 如图，客轮沿折线 ABC 从 A 出发经 B 再到 C 匀速直线航行，将一批物品送达客轮两船同时起航，并同时到达折线 ABC 上的某点 E 处已知 AB = BC =200 海里， ABC = 90 ，客轮速度是货轮速度的 2倍 （ 1）选择：两船相遇之处 E 点（ ） A在线段 AB上 B在线段 BC上 C可以在线段 AB上，也可以在线段 BC上 （ 2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号） 第二章 二次函数 2.1 二次函数所描述的关系 学习目标 : 1.探索并归纳二次函数的定义 . 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系 . 学习重点 : 1.经历探索二次函数关系的过程 ,获得用二次函数表示变量之间关系的体验 . 2.能够表示简单变量之间的二次函数 . 学习难点 : 经历探索二次函数关系的过程 ,获得用二次函数表示变量之间关系的体验 . 学习方法 : 讨论探索法 . 学习过程 : 【例 1】 函数 y=（ m 2） x 22m 2x 1 是二次函数，则 m= 【例 2】 下列函数中是二次函数的有（ ） 60 45A B北 北ABCD . y=xx1； y=3（ x 1） 2 2； y=（ x 3） 2 2x2； y=21x x A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【例 3】正方形的边长是 5，若边长增加 x，面积增加 y，求 y 与 x 之间的函数表达式 1、 已知正方形的周长为 20，若其边长增加 x，面积增加 y，求 y 与 x 之间的表达式 2、 已知正方形的周长是 x，面积为 y，求 y 与 x 之间的函数表达式 3、已知正方形的边长为 x，若边长增加 5，求面积 y 与 x 的函数表达式 【例 4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动 按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的 20%作为利息税请你写出两年后支付时的本息和 y（元）与年利率 x 的函数表达式 【例 5】某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出 300 套据市场调查发现，这种服装每提高 1 元售价，销量就减少 5 套，如果商场将售价定为 x，请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表达式 【例 6】如图 2-1-1，正方形 ABCD 的边长为 4， P 是 BC 边上一点， QP AP 交 DC 于 Q，如果 BP=x， ADQ的面积为 y，用含 x 的代数式表示 y 【例 7】某高科技发展公司投资 500 万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500 万元，进行批量生产已知生产每件产品的成本为 40 元在销售过程中发现，当销售单价定为 100 元时，年销售量为 20 万件；销售单价每增加 10 元，年销售量将减少 1 万件设销售单价为 x（元），年销售量为 y（万件），年获利（年获利 =年销售额生产成本投资）为 z（万元） （ 1）试写出 y 与 x 之间的函数表达式（不必写出 x 的取值范围）；（ 2）试写出 z 与 x 之间的函数表达式（不必写出 x 的取值范围）；（ 3）计算销售单 价为 160 元时的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？（ 4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于 1130 万元请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价 x（元）应确定在什么范围内？ 【例 6】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题： （ 1）在第 n 个图中，第一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖（均用含 n 的代数式表示）； （ 2）设铺设 地面所用瓷砖的总块数为 y，请写出 y 与（ 1）中的 n 的函数表达式（不要求写出自变量 n的取值范围）； （ 3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了 506 块瓷砖，求此时 n 的值； （ 4）若黑瓷砖每块 4 元，白瓷砖每块 3 元，在问题（ 3）中，共需花多少元购买瓷砖？ （ 5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？ 课后练习 : 1已知函数 y=ax2 bx c（其中 a， b， c 是常数），当 a 时，是二次函数；当 a ， b 时，是一次函数；当 a ， b ， c 时，是正比例函数 2当 m 时， y=（ m 2） x 22m 是二次函数 3已知菱形的一条对角线长为 a，另一条对角线为它的 3 倍，用表达式表示出菱形的面积 S 与对角线a 的关系 4已知：一等腰直角三角形的面积为 S，请写出 S 与其斜边长 a 的关系表达式，并分别求出 a=1， a= 2 ，a=2 时三角形的面积 5在物理学内容中，如果某一物体质量为 m，它运动时的能量 E 与它的运动速度 v 之间的关系是 E=21 mv2（ m 为定值） （ 1）若物体质量为 1，填表表示物体在 v 取下列值时， E 的取值： v 1 2 3 4 5 6 7 8 E （ 2）若物体的运动速度变为原来的 2 倍，则它运动时的能量 E 扩大为原来的多少倍？ 6下列不是二次函数的是（ ） A y=3x2 4 B y= 31 x2 C y= 52 x D y=（ x 1）（ x 2） 7函数 y=（ m n） x2 mx n 是二次函数的条件是（ ） A m、 n 为常数，且 m 0 B m、 n 为常数，且 m n C m、 n 为常数，且 n 0 D m、 n 可以为任何常数 8半径为 3 的圆，如果半径增加 2x，则面积 S 与 x 之间的函数表达式为（ ） A S=2（ x 3） 2 B S=9 x C S=4 x2 12x 9 D S=4 x2 12x 9 9下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax2 bx c（ a 0）模型的是（ ） A在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D圆的周长与圆的半径之间的关系 10下列函数中，二次函数是（ ） A y=6x2 1 B y=6x 1 C y= x6 1 D y=26x 1 11如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为 135的两面墙，另外两边是总长为30 米的铁栅栏（ 1）求梯形的面积 y 与高 x 的表达式；（ 2）求 x 的取值范围 12在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R，通过的电流强度为 I，则导线在单位时间所产生的热量 Q=RI2若某段导线电阻为 0 5 欧姆，通过的电流为 5 安培，则我们可以算出这 段导线单位时间产生的热量 Q= 13某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 100 件现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高 1 元，其销售量就要减少 10 件若他将售出价定为 x 元，每天所赚利润为 y 元，请你写出 y 与 x 之间的函数表达式？ 14某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为 a（ m），则正方体需要涂漆的表面积 S（ m2）如何表示？ 15已知：如图菱形 ABCD 中， A=60，边长为 a，求其面积 S 与边长 a 的函数表达式 菱形 ABCD，若两对角线长 a： b=1： 3 ，请你用含 a 的代数式表示其面积 S 菱形 ABCD， A=60，对角线 BD=a，求其面积 S 与 a 的函数表达式 16如图，在矩形 ABCD 中， AB=6cm， BC=12cm点 P 从点 A 开始沿 AB 方向向点 B 以 1cm/s 的速度移动，同时，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向 C 以 2cm/s 的速度移动如果 P、 Q 两点分别到达 B、 C 两点停止移动，设运动开始后第 t 秒钟时，五边形 APQCD 的面积为 Scm2，写出 S 与 t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围 17已知：如图，在 Rt ABC 中， C=90， BC=4， AC=8点 D 在斜边 AB 上，分别作 DE AC，DF BC，垂足分别为 E、 F，得四边形 DECF设 DE=x， DF=y （ 1） AE 用含 y 的代数式表示为： AE= ； （ 2）求 y 与 x 之间的函数表达式，并求出 x 的取值范围； （ 3）设四边形 DECF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式 2.2 结识抛物线 学习目标 : 经历探索二次函数 y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验掌握利用描点法作出 y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数 y=x2的性质能够作为二次函数 y= x2的图象，并比较它与 y=x2图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系 学习重点 : 利用描点法作出 y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数 y=x2的性质，这是掌握二次函数 y=ax2 bx c（ a 0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始，只有很好的掌握，才会把二次函数学好只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节 学习难点 : 函数图象的画法，及由图象概括出二次函数 y=x2性质，它难在由 图象概括性质，结合图象记忆性质 学习方法 : 探索 总结 运用法 . 学习过程 : 一、作二次函数 y=x2 的图象。 二、议一议： 1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。 2.图象与 x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？ 3.当 x0时呢？ 4.当 x取什么值时， y的值最小？ 5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。 三、 y=x2 的图象的性质： 三、例题： 【例 1】求出函数 y=x 2 与函数 y=x2 的图象的交点坐标 【例 2】已知 a 1，点（ a 1， y1）、（ a， y2）、（ a 1， y3）都在函数 y=x2 的图象上，则（ ） A y1 y2 y3 B y1 y3 y2 C y3 y2 y1 D y2 y1 y3 四、练习 1函数 y=x2 的顶点坐标为 若点（ a， 4）在其图象上，则 a 的值是 2若点 A（ 3， m）是抛物线 y= x2 上一点，则 m= 3函数 y=x2 与 y= x2 的图象关于 对称，也可以认为 y= x2，是函数 y=x2 的图象绕 旋转得到 五、课后练习 1若二次函数 y=ax2（ a 0），图象过点 P（ 2， 8），则函数表达式为 2函数 y=x2 的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点 3点 A（ 21 ， b）是抛物线 y=x2 上的一点，则 b= ；点 A 关于 y 轴的对称点 B 是 ，它在函数 上；点 A 关于原点的对称 点 C 是 ，它在函数 上 4求直线 y=x 与抛物线 y=x2的交点坐标 5若 a 1，点（ a 1， y1）、（ a， y2）、（ a 1， y3）都在函数 y=x2 的图象上，判断 y1、 y2、 y3 的大小关系？ 6如图， A、 B 分别为 y=x2 上两点，且线段 AB y 轴，若 AB=6，则直线 AB 的表达式为（ ） A y=3 B y=6 C y=9 D y=36 2.3 刹车距离与二次函数 学习目标 : 1经历探索二次函数 y=ax2 和 y=ax2 c 的图象的作法和性质的过程， 进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验 2会作出 y=ax2和 y=ax2 c 的图象，并能比较它们与 y=x2 的异同，理解 a 与 c 对二次函数图象的影响 3能说出 y=ax2 c 与 y=ax2 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 4体