3.1.1空间向量及其加减运算

空间向量及其运算例1已知点A(1，1,3)，B(2，2)，C(3，3,9)三点共线，则实数_.变式1下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是()A.32B.C.0D.0例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点试用、表示向量.变式2如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcB. abcC. abcDabc例3已知ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，1，5)，C(3,2，5)(1)求ABC的面积； (2)求ABC中AB边上的高变式3如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.求DP与CC所成角的大小A级1下列说法中正确的是()A若|a|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反B若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|C空间向量的减法满足结合律D在四边形ABCD中，一定有2对于向量a、b、c和实数，下列命题中的真命题是()A若ab0，则a0或b0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若abac，则bc3如图，在四棱柱的上底面ABCD中，则下列向量相等的是()A.与 B.与C.与 D.与4已知向量a、b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA、B、DBA、B、CCB、C、D DA、C、D5若a(1，2)，b(2，1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则_.6已知向量a(1,0,1)，b(1,2,3)，kR，若kab与b垂直，则k_.7已知点A(1,3,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若2，则|的值是_B级8已知a、b是异面直线，A、Ba，C、Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a与b所成的角是()A30 B45 C60 D909已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60，则此平行六面体的对角线AC1的长为()A. B2 C. D.10已知A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形11对于空间中的非零向量、，有下列各式：；|；|.其中一定不成立的是_12如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是_13在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，几何体EFGABC为三棱台，EGAC12，若M是线段AD的中点，求证：GM平面ABFE；详解答案典型例题例10解析因为(1,1，23)，(2，2,6)，若A，B，C三点共线，则，即，解得0，0，所以0.变式1D由于M、A、B、C四点共面xyz(x，y，zR)且xyz1，选项A、B、C都不正确由于0，所以存在x1，y1，使xy，共面由于M为公共点，M、A、B、C四点共面，故选D.例2解()().变式2A()c(ab)abc，故选A.例3解(1)由已知得(1，3,2)，(2,0，8)，|，|2，12(3)02(8)14，cos，sin， .SABC|sin，2 3.(2)设AB边上的高为CD，则|3.变式3解如图，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)，连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，|cos，可得2m.解得m，所以(，1)可得cos，所以，即DP与CC所成角的大小为.强化提高1B|a|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量ba，故|a|b|，从而B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有，只有平行四边形才能成立故A、C、D均不正确2B对于A，可举反例：当ab时，ab0；对于C，a2b2，只能推得|a|b|，而不能推出ab；对于D，abac可以移项整理推得a(bc)3D4.A52或解析因为ab12(1)226，又因为ab|a|b|cosa，b，所以6，解得2或.6772解析设点P(x，y，z)，则由2，得(x1，y3，z1)2(1x,3y,4z)，则解得即P(1,3,3)，则|2.8C，()201201，又|2，|1.cos，.a与b所成的角是60.9D10C(3,4，8)，(2，3,1)，(5,1，7)，于是10370，而|，|5，所以ABC是直角三角形11解析根据空间向量的加减法运算，对于：恒成立；对于：当、方向相同时