高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法课件 理.ppt

第七章不等式 7 2一元二次不等式及其解法 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 三个二次 的关系 知识梳理 1 答案 2 x a x b 0或 x a x b 0型不等式的解法 x a x b 口诀 大于取两边 小于取中间 x x a x xa 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若不等式ax2 bx c0 2 不等式 0的解集是 1 2 3 若不等式ax2 bx c 0的解集是 x1 x2 则方程ax2 bx c 0的两个根是x1和x2 4 若方程ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 则不等式ax2 bx c 0的解集为r 5 不等式ax2 bx c 0在r上恒成立的条件是a 0且 b2 4ac 0 思考辨析 答案 返回 1 不等式x2 3x 10 0的解集是 解析解方程x2 3x 10 0得x1 2 x2 5 由y x2 3x 10的开口向上 所以x2 3x 10 0的解集为 2 5 2 5 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 设集合m x x2 3x 4 0 n x 0 x 5 则m n 解析 m x x2 3x 4 0 x 1 x 4 m n 0 4 0 4 解析答案 1 2 3 4 5 解得a 6 b 5 不等式x2 bx a 0即为x2 5x 6 0 解集为 2 3 2 3 解析答案 1 2 3 4 5 4 若关于x的不等式m x 1 x2 x的解集为 x 1x2 x的解集为 x 1 x 2 所以1 2一定是m x 1 x2 x的解 m 2 2 解析答案 1 2 3 4 5 5 若关于x的方程x2 ax a2 1 0有一正根和一负根 则a的取值范围为 解析由题意可知 0且x1x2 a2 1 0 故 1 a 1 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 命题点1不含参的不等式 例1求不等式 2x2 x 30 解方程2x2 x 3 0得x1 1 题型一一元二次不等式的求解 解析答案 命题点2含参不等式例2解关于x的不等式 x2 a 1 x a1时 x2 a 1 x a 0的解集为 x 1 x a 当a 1时 x2 a 1 x a 0的解集为 当a 1时 x2 a 1 x a 0的解集为 x a x 1 解析答案 将原不等式改为ax2 a 1 x 1 0 求不等式的解集 解析答案 引申探究 思维升华 解若a 0 原不等式等价于 x 11 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 含有参数的不等式的求解 往往需要对参数进行分类讨论 1 若二次项系数为常数 首先确定二次项系数是否为正数 再考虑分解因式 对参数进行分类讨论 若不易分解因式 则可依据判别式符号进行分类讨论 2 若二次项系数为参数 则应先考虑二次项系数是否为零 确定不等式是不是二次不等式 然后再讨论二次项系数不为零的情形 以便确定解集的形式 3 对方程的根进行讨论 比较大小 以便写出解集 求不等式12x2 ax a2 a r 的解集 跟踪训练1 解析答案 解 12x2 ax a2 12x2 ax a2 0 即 4x a 3x a 0 令 4x a 3x a 0 a 0时 x2 0 解集为 x x r且x 0 解析答案 综上所述 当a 0时 不等式的解集为 当a 0时 不等式的解集为 x x r且x 0 命题点1在r上恒成立 3 0 题型二一元二次不等式恒成立问题 解析答案 2 设a为常数 x r ax2 ax 1 0 则a的取值范围是 解析 x r ax2 ax 1 0 0 4 解析答案 命题点2在给定区间上恒成立 例4设函数f x mx2 mx 1 若对于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范围 解析答案 解要使f x m 5在x 1 3 上恒成立 即 有以下两种方法 解析答案 当m 0时 g x 在 1 3 上是增函数 所以g x max g 3 7m 6 0 当m 0时 6 0恒成立 当m 0时 g x 在 1 3 上是减函数 所以g x max g 1 m 6 0 所以m 6 所以m 0 解析答案 命题点3给定参数范围的恒成立问题 例5对任意的k 1 1 函数f x x2 k 4 x 4 2k的值恒大于零 则x的取值范围是 解析x2 k 4 x 4 2k 0恒成立 即g k x 2 k x2 4x 4 0 在k 1 1 时恒成立 x x3 解之得x3 解析答案 思维升华 思维升华 1 对于一元二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 2 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是主元 求谁的范围 谁就是参数 1 若不等式x2 2x 5 a2 3a对任意实数x恒成立 则实数a的取值范围为 解析x2 2x 5 x 1 2 4的最小值为4 所以x2 2x 5 a2 3a对任意实数x恒成立 只需a2 3a 4 解得 1 a 4 1 4 跟踪训练2 解析答案 2 已知函数f x x2 mx 1 若对于任意x m m 1 都有f x 0成立 则实数m的取值范围是 解析作出二次函数f x 的草图 对于任意x m m 1 都有f x 0 解析答案 1 设该商店一天的营业额为y 试求y与x之间的函数关系式y f x 并写出定义域 例6某商品每件成本价为80元 售价为100元 每天售出100件 若售价降低x成 1成 10 售出商品数量就增加x成 要求售价不能低于成本价 所以y f x 40 10 x 25 4x 定义域为x 0 2 题型三一元二次不等式的应用 解析答案 2 若再要求该商品一天营业额至少为10260元 求x的取值范围 解由题意得40 10 x 25 4x 10260 解析答案 思维升华 思维升华 求解不等式应用题的四个步骤 1 阅读理解 认真审题 把握问题中的关键量 找准不等关系 2 引进数学符号 将文字信息转化为符号语言 用不等式表示不等关系 建立相应的数学模型 3 解不等式 得出数学结论 要注意数学模型中自变量的实际意义 4 回归实际问题 将数学结论还原为实际问题的结果 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元 辆 出厂价为12万元 辆 年销售量为10000辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品质量 适度增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为x 0 x 1 则出厂价相应地提高比例为0 75x 同时预计年销售量增加的比例为0 6x 已知年利润 出厂价 投入成本 年销售量 1 写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式 解y 1 0 75x 12 1 x 10 1 0 6x 10000 6000 x2 2000 x 20000 即y 6000 x2 2000 x 20000 0 x 1 跟踪训练3 解析答案 2 为使本年度的年利润比上年度有所增加 则投入成本增加的比例x应在什么范围内 解上年利润为 12 10 10000 20000 y 20000 0 即 6000 x2 2000 x 0 解析答案 返回 思想与方法系列 典例 1 已知函数f x x2 ax b a b r 的值域为 0 若关于x的不等式f x c的解集为 m m 6 则实数c的值为 思维点拨考虑 三个二次 间的关系 思想与方法系列 13 转化与化归思想在不等式中的应用 解析答案 思维点拨 f x 的值域为 0 解析由题意知f x x2 ax b 解析答案 答案9 思维点拨将恒成立问题转化为最值问题求解 温馨提醒 解析答案 返回 思维点拨 即当x 1时 a x2 2x g x 恒成立 而g x x2 2x x 1 2 1在 1 上单调递减 g x max g 1 3 故a 3 实数a的取值范围是 a a 3 答案 a a 3 温馨提醒 温馨提醒 1 本题的解法充分体现了转化与化归思想 函数的值域和不等式的解集转化为a b满足的条件 不等式恒成立可以分离常数 转化为函数值域问题 2 注意函数f x 的值域为 0 与f x 0的区别 返回 思想方法感悟提高 1 三个二次 的关系是解一元二次不等式的理论基础 一般可把a0时的情形 2 f x 0的解集即为函数y f x 的图象在x轴上方的点的横坐标的集合 充分利用数形结合思想 3 简单的分式不等式可以等价转化 利用一元二次不等式解法进行求解 方法与技巧 1 对于不等式ax2 bx c 0 求解时不要忘记讨论a 0时的情形 2 当 0 a 0 的解集为r还是 要注意区别 3 含参数的不等式要注意选好分类标准 避免盲目讨论 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 不等式 x 1 2 x 0的解集为 解析由 x 1 2 x 0可知 x 2 x 1 0 所以不等式的解集为 x 1 x 2 x 1 x 2 解析答案 解析方法一当x 0时 x 2 x2 1 x 0 当x 0时 x 2 x2 0 x 1 由 得原不等式的解集为 x 1 x 1 方法二作出函数y f x 和函数y x2的图象 如图 由图知f x x2的解集为 1 1 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 若集合a x ax2 ax 1 0 则实数a的取值范围是 解析由题意知a 0时 满足条件 得0 a 4 所以0 a 4 0 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 已知不等式x2 2x 3 0的解集是a 不等式x2 x 6 0的解集是b 不等式x2 ax b 0的解集是a b 那么a b 解析由题意 a x 1 x 3 b x 3 x 2 a b x 1 x 2 则不等式x2 ax b 0的解集为 x 1 x 2 由根与系数的关系可知 a 1 b 2 所以a b 3 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 设a 0 不等式 c ax b c的解集是 x 2 x 1 则a b c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 c0 不等式的解集为 x 2 x 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案2 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 若不等式mx2 2mx 4 2x2 4x对任意x都成立 则实数m的取值范围是 解析原不等式等价于 m 2 x2 2 m 2 x 4 0 当m 2时 对任意x不等式都成立 当m 2 0时 4 m 2 2 16 m 2 0 2 m 2 综合 得m 2 2 2 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则不等式2x2 bx a 0 即2x2 2x 12 0 其解集为 x 2 x 3 答案 x 2 x 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 f x 3 f x f 2 f 1 3 f 1 f 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 设二次函数f x ax2 bx c 函数f x f x x的两个零点为m n m0的解集 解由题意知 f x f x x a x m x n 当m 1 n 2时 不等式f x 0 即a x 1 x 2 0 当a 0时 不等式f x 0的解集为 x x2 当a0的解集为 x 1 x 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解f x m f x x m a x m x n x m x m ax an 1 x m0 f x m 0 即f x m 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 已知函数f x ax 1 x b 如果不等式f x 0的解集是 1 3 则不等式f 2x 3或 2x 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若不等式f x a f x 的解集为a 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 当a 0时 显然不符合条件 2 当a 0时 画出函数y f x 和y f x a 的图象大致如图 1 由图 1 可知 当a 0时 y f x a 的图象在y f x 图象的上边 故a 0不符合条件 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 当a 0时 画出函数y f x 和y f x a 的图象大致如图 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 已知函数f x x2 ax b2 b 1 a r b r 对任意实数x都有f 1 x f 1 x 成立 当x 1 1 时 f x 0恒成立 则b的取值范围是 解析由f 1 x f 1 x 知f x 图象的对称轴为直线x 1 由f x 的图象可知f x 在 1 1 上为增函数 x 1 1 时 f x min f 1 1 2 b2 b 1 b2 b 2 令b2 b 2 0 解得b2 b2 解析答案