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文档简介

蚂蚁怎样走最近 有这样一个有趣的问题：如图1所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm。在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点的食物，需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？（的值取3）图1 这个问题最终的解决，是把圆柱的侧面沿着它的一条母线剪开展成一个长方形（如图2所示），从而把曲面上的路线问题转化为平面上A、B两点间的路线问题。像这种，将空间问题转化为平面问题的方法，对发展我们的空间观念是很有好处的。图2 上面我们是规定蚂蚁必须沿圆柱的侧面从A到B，那么无论圆柱的形状如何，上述的走法路线一定是最短的。但是，如果问题没有规定，结论就不一定了。例如：我们把圆柱的形状加以改变：高是7厘米，底面半径为8厘米，此时从A到B的最短路线还是图2中的线段AB吗？ 我们可以很容易算得，但是，若从A沿着圆柱母线以上底面的C，再到B，这时蚂蚁所走过的距离为。图2中的线段AB已经不是从A到B的最短路线了，为什么会这样呢？ 其实把圆柱展开，点B的对应点是不惟一的，如图3所示，都是圆柱上B点的对应点。所以在把圆柱中由A到B这样一个曲面路线问题转化为平面上的路线问题时，应考虑到A，B两点间的线段是不惟一的，A，B间的最短路线问题，应通过比较的长度进而作出判断。图3 看来，这个“最短路线”与圆柱的形状有关，也就是说，圆柱的高h与底面半径r的大小关系会影响最短路线的选择。下面我们作进一步的探讨： 一般的，我们设圆柱的高为h，底面半径为r，则 如果我们取，则 其实，在这个问题中，对于AB2，大家不难想到，而对于AB2的考虑又能很好的巩固圆柱的表面展开图，发展大家的空间观念，更能使得问题的考虑变得全面。 下面我们把圆柱换成长方体，再来讨论“最短路线”的问题： 例：如图4所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5，3，4。在点A处有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对的C点的食物，沿长方体表面需要爬行的最短路程是多少？图4 若把长方体的6个面分别称为上面、下面、前面、后面、左面、右面。显然，从A到C的最短路线一定是从A出发，经过长方体两个面到达C。具体来说，它可能有“前上”、“前右”、“左上”、“左后”、“下右”、“下后”6种不同的情况（当然，“下右”、“下后”2种情况，在实际问题中不具有可行性）。在这6种情况中，共有3种长度结果： 第一种结果：如图5所示，；（“前上”、“下后”）图5 第二种结果：如图6所示，；（“左上”、“下右”）图6 第三种结果：如图7所示，；（“前右”、“左后”）图7 综上，最短路程应为，路线如图5所示。 对于这个问题我们还可以作进一步的推广，设题中的长方形
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