高中数学 第3章 不等式 章末归纳总结课件 北师大版必修5.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修5 不等式 第三章 本章归纳总结 第三章 一 不等关系1 不等关系体现在日常生活中的方方面面 在数学意义上 不等关系可以体现 1 常量与常量之间的不等关系 2 变量与变量之间的不等关系 3 函数与函数之间的不等关系 4 一组变量之间的不等关系 2 实数比较大小的方法 作差法 1 a b 0 a b 2 a b 0 a b 3 a b 0 a b 要比较两个实数的大小 通常可以归结为判断它们的差的符号 仅判断差的符号 至于确切值是多少无关紧要 在具体判断两个实数 或代数式 的差的符号的过程中 常会涉及一些具体变形 如因式分解 配方法等 对于具体问题 如何采用恰当的变形方式来达到目的 要视具体问题而定 二 一元二次不等式1 一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集 一般地 使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解 一元二次不等式的所有解组成的集合 叫做这个一元二次不等式的解集 2 解一元二次不等式的步骤 常用数形结合法解一元二次不等式 步骤 1 当a 0时 解形如ax2 bx c 0 0 或ax2 bx c 0 0 的一元二次不等式 一般可分为三步 确定方程ax2 bx c 0的解 画出对应函数y ax2 bx c的简图 借助于图像的直观性写出不等式的解集 2 特别地 若a 0时 还可先运用不等式的性质将其化成正数 再解不等式 3 一元二次不等式的解法技巧 1 解一元二次不等式ax2 bx c 0 或0时 若相应一元二次方程的判别式 0 则求两根或分解因式 根据 大于在两边 小于夹中间 写出解 若 0或 0 这是特殊情形 利用相应一元二次函数的图像写出不等式的解集 2 对于含参不等式 在求解过程中 注意不要忽视对其中的参数恰当地分类讨论 尤其是涉及形式上看似二次不等式 而其中的二次项系数中又含有参变量时 往往需要针对这个系数是否为零进行分类讨论 并且如果对应的二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参变量时 还要再次针对这两根的大小进行分类讨论 分式不等式解法的实质是等价转化 把分式不等式转化为整式不等式来求解 需要注意分式有意义即分母不为零 也可将分式不等式转化为两个不等式组的并集 继而求出其解集 5 简单的一元高次不等式f x 0用数轴标根法 或称区间法 穿根法 求解 其步骤是 将f x 的最高次项的系数化为正数 将f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积 将每一个一次因式的根标在数轴上 从右上方依次用曲线把每个根串联起来 根据曲线呈现出f x 的值的符号变化规律 写出不等式的解集 奇次根依次穿过 偶次根穿而不过 2 利用基本不等式求最值 1 利用基本不等式求最值 利用均值不等式求最值常见的有 已知某些变量 正数 的积为定值 求和的最小值 已知某些变量 正数 的和为定值 求积的最大值 2 利用基本不等式应注意的问题 各数 或式 均为正 和 或 积 为定值 等号能成立 即 一正 二定 三相等 这三个条件缺一不可 3 基本不等式具有将 和式 转化为 积式 将 积式 转化为 和式 的放缩功能 常常用于比较数 式 的大小或证明不等式 解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点 选择好利用基本不等式的切入点 3 创设应用基本不等式的条件 1 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧 而 拆 与 凑 的目标在于使等号成立 且每项为正值 必要时需构造出 积为定值 或 和为定值 2 当多次使用基本不等式时 一定要注意每次是否能保证等号成立 并且要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 因此在利用基本不等式处理问题时 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤 而且也是检验转换是否有误的一种方法 四 简单线性规划1 判断二元一次不等式 组 表示区域的方法以线定界 以点 原点 定域 以ax by c 0 a 0 b 0 为例 以线定界 即画二元一次方程ax by c 0表示的直线定边界 其中 还要注意实线或虚线 以点定域 由于对在直线ax by c 0同侧的点 实数ax by c的值的符号都相同 故为了确定ax by c的值的符号 可采用取特殊点法 如取坐标原点 0 0 等 2 最优解的确定方法最优解可有两种确定方法 1 将目标函数的直线平行移动 最先通过或最后通过的顶点便是最优解 2 利用围成可行域的直线的斜率来判断 若围成可行域的直线l1 l2 ln的斜率分别为k1 k2 kn 而且目标函数的直线的斜率为k 则当ki k ki 1时 直线li与li 1相交的点一般是最优解 3 若实际问题要求的最优解是整数解 而我们利用图解法得到的解为非整数解 近似解 此时应当作适当的调整 其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据 在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点 不要在用图解法所得到的近似解附近寻找 如果可行域中的整点数目不多 可采用逐个检验的办法确定 3 利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 1 作出可行域 将约束条件中的每一个不等式当作等式 作出相应的直线 并确定原不等式表示的区域 然后求出所有区域的交集 2 作出目标函数的等值线 等值线是指目标函数过原点的直线 3 求出最终结果 在可行域内平行移动目标函数等值线 从图中能判定问题有唯一最优解 或者是有无穷最优解 或是无最优解 4 利用线性规划解实际问题的一般步骤 1 认真分析并掌握实际问题的背景 收集有关数据 2 将影响问题的各项主要因素作为决策量 设为未知数 3 根据问题特点 写出约束条件 4 根据问题特点 写出目标函数 并求出最优解或其他要求的解 解不等式 方法总结 高次不等式可化为一边为零的不等式后 再将另一边分解因式 然后利用穿针引线法求解 分式不等式也可化为一边为零的不等式 再根据分子 分母同号或异号转化为整式不等式求解 但要注意 分母不为零 利用基本不等式求最值 例2 已知x 0 y 0 且xy 4x y 12 求xy的最小值 方法总结 对于通过方程求条件的最值 一般有两种思路 一是通过不等式的放缩将其变为不等式 一是转化为函数问题 比较来看 方法一运算量小 但对x y的范围有限制 且要求取到 方法二的适用范围更广 更好地体现了函数的思想 解含参数的不等式 由于解答过程中的不确定因素 常需进行分类讨论 如一元二次不等式的二次项系数 含参数时分系数等于0 不等于0两类 不等式两边同乘以 或除以 一个数时 要讨论这个数的符号 解一元二次不等式对应方程根的情况不定或有实根但大小不定时要讨论等 解含参数的不等式 例3 解关于x的不等式 x2 a a2 x a3 0 分析 先将不等式的左边分解因式 由此得方程x2 a a2 x a3 0的两根 然后由a的取值范围比较两根的大小 从而写出不等式的解集 方法总结 含参数的不等式的解题步骤为 1 将二次项系数转化为正数 2 判断相应方程是否有根 如果有可以直接分解因式 可省去此步 3 根据根的情况写出相应的解集 若方程有相异根 为了写出解集还要分析根的大小 另外 当二次项含有参数时 应先讨论二次项系数是否为0 这决定着不等式是否为一元二次不等式 对于不等式恒成立求参数取值范围问题常见类型及解法有以下几种 1 变更主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元 一般知道取值范围的变量要看作主元 不等式的恒成立问题 2 分离参数法 若ag x 恒成立 则a g x max 3 数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化 答案 c f x ax2 ax 1在r上满足f x 0 求a的取值范围 求目标函数在约束条件下的最优解 一般步骤为 一是寻求约束条件和目标函数 二是作出可行域 三是在可行域内求目标函数的最优解 特别注意目标函数z ax by c在直线ax by 0平移过程中的变化规律和图中直线斜率的关系 简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛的应用也是高考的热点 二元线性规划问题 已知甲 乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨 需经过东车站和西车站两个车站运往外地 东车站每年最多能运280万吨煤 西车站每年最多能运360万吨煤 甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元 吨和1 5元 吨 乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0 8元 吨和1 6