（新课标）高三数学一轮复习 综合检测（一）理.docVIP

综合检测(一)(时间:120分钟满分:150分)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若ab0,集合m=x|bxa+b2,n=x|abxa,则集合mn等于(c)(a)x|bxab(b)x|bxa(c)x|abxa+b2(d)x|a+b2xa解析:因为b=b2aba+b20,b0)的离心率为2,一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为(a)(a)y=3x(b)y=32x(c)y=33x(d)y=32x解析:抛物线y2=16x的焦点坐标为(4,0),因此c=4,双曲线的离心率e=ca=4a=2,得a=2,所以b=c2-a2=23,因此双曲线的渐近线方程为y=bax=232x=3x,故选a.4.执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数:f(x)=sin x;f(x)=cos x;f(x)=1x;f(x)=x2.则输出的函数是(a)(a)f(x)=sin x(b)f(x)=cos x(c)f(x)=1x (d)f(x)=x2解析:若满足f(x)+f(-x)=0,则函数为奇函数,排除选项b、d,又存在零点,排除选项c,故选a.5.已知f()=cos(2+)sin(32-)cos(-)tan(-),则f（-253）的值为(a)(a)12(b)-12(c)32(d)-32解析:f()=-sin(-cos)-cos(-tan)=cos ,f（-253）=cos （-253）=cos 253=cos （8+3）=cos 3=12.故选a.6.某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形,则此四面体的外接球的体积为(d)(a)43(b)3(c)(d)32解析:由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形,所以此四面体一定可以放在正方体中,所以我们可以在正方体中寻找此四面体.如图所示,四面体abcd满足题意,所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球,由题意可知,正方体的棱长为1,所以外接球的半径为r=32,所以此四面体的外接球的体积为43（32）3=32,故选d.7.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,x10,其均值和方差分别为x和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为(d)(a)x,s2+1002(b)x+100,s2+1002(c)x,s2 (d)x+100,s2解析:由题得,每位员工月工资增加100元,则均值为x+100,(xi+100)-(x+100)=xi-x,所以方差不变,故选d.8. 若函数f(x)=2sin x(x0,)在点p处的切线平行于函数g(x)=2x（x3+1）在点q处的切线,则直线pq的斜率为(c)(a)1(b)12(c)83(d)2解析:设p(x1,y1),q(x2,y2),f(x)=2cos x2,g(x)=1x（x3+1）+2x3=x+1x2,当且仅当x=1时取“=”,又f(x1)=g(x2),则f(x1)=g(x2)=2.此时p(0,0),q（1,83）,所以kpq=83.故选c.9.已知函数f(x)=sin2x+3cos xcos（2-x）(0),且函数y=f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为2,则f（6）的值为(c)(a)12(b)32(c)1(d)3解析:由题意得f(x)=1-cos2x2+32sin 2x=sin（2x-6）+12,则t2=2,即t=,所以22=,即=1,从而f(x)=sin（2x-6）+12,故f（6）=sin（26-6）+12=sin 6+12=1.故选c.10.从集合2,3,4,5中随机抽取一个数a,从集合1,3,5中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为(a)(a)16(b)13(c)14(d)12解析:由题意可知m=(a,b)有(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5)共12个.mn即mn=0,所以a1+b(-1)=0,即a=b,有(3,3),(5,5)共2个满足条件.故所求概率为16.故选a.11.若曲线c1:x2+y2-2x=0与曲线c2:y(y-mx-m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是(b)(a)（-33,33）(b)（-33,0）（0,33）(c)-33,33(d)(-,-33)(33,+)解析:c1:(x-1)2+y2=1,c2:y=0或y=mx+m=m(x+1).当m=0时,c2:y=0,此时c1与c2显然只有两个交点;当m0时,要满足题意,需圆(x-1)2+y2=1与直线y=m(x+1)有两交点,当圆与直线相切时,m=33,即直线处于两切线之间时满足题意,则-33m0,或0m33.综上知-33m0或0m33.故选b.12.已知函数f(x)满足f(x)=f(-x),且当x(-,0时,f(x)+xf(x)bc(b)cba(c)cab(d)acb解析:构造函数g(x)=xf(x),则g(x)=f(x)+xf(x),当x(-,0时,不等式f(x)+xf(x)0恒成立,g(x)0,即g(x)在x(-,0上单调递减.又函数y=f(x)满足f(x)=f(-x),是定义在实数集r上的偶函数,g(x)=xf(x)是定义在实数集r上的奇函数,函数g(x)在实数集r上为减函数,a=g(20.1),b=g(ln 2),c=g(log218)=g(-3),又-3ln2ba,故选b.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知(2x3-1x)n的展开式的常数项是第7项,则正整数n的值为.解析:依题意,二项式(2x3-1x)n的展开式的通项是tr+1=cnr(2x3)n-r(-1x)r=cnr2n-r(-1)rx3n-4r,于是有3n-46=0,得n=8.答案:814.若a0,b0,且当x0,y0,x+y1时,恒有ax+by1,则以a,b为坐标点p(a,b)所形成的平面区域的面积等于.解析:由ax+by1恒成立知,当x=0时,by1恒成立,0b1,同理0a1,以a,b为坐标点p(a,b)所形成的平面区域是一个正方形,所以面积为1.答案:115.在abc中,已知ab=4,cos b=78,ac边上的中线bd=342,则sin a=.解析:如图,由bd=12(ba+bc),得bd2=14(ba2+bc2+2babc),即|bd|2=14(|ba|2+|bc|2+2|ba|bc|cos b),(342)2=14(42+a2+24acos b),化简得a2+7a-18=0,解得a=2.由cos b=a2+c2-b22ac,得b=6.所以cos a=b2+c2-a22bc=368,所以sin a=108.答案:10816.已知函数f(x)=log2x,x0,3x,x0,且关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是.解析:如图,在同一坐标系中分别作出y=f(x)与y=-x+a的图象,其中a表示直线在y轴上截距,由图可知,当a1时,直线y=-x+a与y=f(x)只有一个交点.答案:a1三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知等差数列an中,a1=1,a3=-3.()求数列an的通项公式;()若数列an的前k项和sk=-35,求k的值.解:()设等差数列的公差为d,则2d=a3-a1=-4,d=-2,2分an=1+(n-1)(-2)=3-2n.6分()由()an=3-2n,sn=n1+(3-2n)2=2n-n2,8分若sk=-35可得k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5,又kn*,故k=7.12分18.(本小题满分12分)某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表:网购金额(单位:千元)频数频率(0,0.530.05(0.5,1xp(1,1.590.15(1.5,2150.25(2,2.5180.30(2.5,3yq合计601.00若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为32.()试确定x,y,p,q的值;()该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法选取10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查.设为选取的3人中“网购达人”的人数,求的分布列和数学期望.解:()根据题意,有3+x+9+15+18+y=60,18+y3+x+9+15=23,解得x=9,y=6,2分p=0.15,q=0.10. 5分()用分层抽样的方法,从中选取10人,则其中“网购达人”有1025=4人,“非网购达人”有1035=6人.6分故的可能取值为0,1,2,3,p(=0)=c40c63c103=16,p(=1)=c41c62c103=12,p(=2)=c42c61c103=310,p(=3)=c43c60c103=130.10分所以的分布列为0123p1612310130e()=016+112+2310+3130=65.12分19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥pabcd中,pd底面abcd,且底面abcd为正方形,ad=pd=2,e,f,g分别为pc,pd,cb的中点.()求证:ap平面efg;()求二面角gefd的大小.()证明:如图,以d为原点,以da,dc,dp为方向向量,建立空间直角坐标系dxyz,则p(0,0,2),c(0,2,0),g(1,2,0),e(0,1,1),f(0,0,1),a(2,0,0).ap=(-2,0,2),ef=(0,-1,0),eg=(1,1,-1).2分设平面efg的法向量为n=(x,y,z)nef=0,neg=0,即-y=0,x+y-z=0.x=z,y=0.令x=1,则n=(1,0,1).4分nap=1(-2)+00+12=0,nap.又ap平面efg,ap平面efg.6分()解:底面abcd是正方形,addc,又pd平面abcd,adpd,又pdcd=d,ad平面pcd.8分向量da是平面pcd的一个法向量,da=(2,0,0)又由()知平面efg的法向量n=(1,0,1).10分cos =dan|da|n|=222=22.二面角gefd的大小为45.12分20.(本小题满分12分)如图所示,直线l:y=x+b(b0),抛物线c:y2=2px(p0),已知点p(2,2)在抛物线c上,且抛物线c上的点到直线l的距离的最小值为324.()求直线l及抛物线c的方程;()过点q(2,1)的任一直线(不经过点p)与抛物线c交于a,b两点,直线ab与直线l相交于点m,记直线pa,pb,pm的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在实数,使得k1+k2=k3?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.解:()法一点p(2,2)在抛物线c上,p=1.2分设与直线l平行且与抛物线c相切的直线l的方程为y=x+m,由y=x+m,y2=2x,得x2+(2m-2)x+m2=0,=(2m-2)2-4m2=4-8m,由=0,得m=12,则直线l的方程为y=x+12.两直线l、l间的距离即为抛物线c上的点到直线l的最短距离,有|b-12|2=324,解得b=2或b=-1(舍去).直线l的方程为y=x+2,抛物线c的方程为y2=2x.6分法二点p(2,2)在抛物线c上,p=1,抛物线c的方程为y2=2x.2分设f（t22,t）(tr)为抛物线c上的任意一点,点f到直线l的距离为d=|t22-t+b|2,根据图象,有t22-t+b0,d=122(t-1)2+2b-1,tr,d的最小值为2b-122,由2b-122=324,解得b=2.因此,直线l的方程为y=x+2,抛物线c的方程为y2=2x.6分()直线ab的斜率存在,设直线ab的方程为y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1,由y=kx-2k+1,y2=2x,得ky2-2y-4k+2=0,设点a、b的坐标分别为a(x1,y1)、b(x2,y2),则y1+y2=2k,y1y2=2-4kk,k1=y1-2x1-2=y1-2y122-2=2y1+2,k2=2y2+2,8分k1+k2=2y1+2+2y2+2=2(y1+y2)+8y1y2+2(y1+y2)+4=22k+82-4kk+22k+4=4k+239分由y=kx-2k+1,y=x+2,得xm=2k+1k-1,ym=4k-1k-1,k3=4k-1k-1-22k+1k-1-2=2k+13,10分k1+k2=2k3.因此,存在实数,使得k1+k2=k3成立,且=2.12分21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-(a+1)ln x-ax(ar),g(x)=12x2+ex-xex()当x1,e时,求f(x)的最小值;()当a1时,若存在x1e,e2,使得对任意的x2-2,0,f(x1)g(x2)恒成立,求a的取值范围.解:()f(x)的定义域为(0,+),f(x)=(x-1)(x-a)x2(ar)当a1时,x1,e,f(x)0,f(x)为增函数,f(x)min=f(1)=1-a.2分当1ae时,x1,a,f(x)0,f(x)为减函数,xa,e,f(x)0,f(x)为增函数,f(x)min=f(a)=a-(a+1)ln a-1.3分当ae时,x1,e,f(x)0,f(x)为减函数,f(x)min=f(e)=e-(a+1)-ae4分综上,当a1时,f(x)min=1-a,当1ae时,f(x)min=a-(a+1)ln a-1,当ae时,f(x)min=e-(a+1)-ae.6分()若存在x1e,e2,使得对任意的x2-2,0,f(x1)g(x2)恒成立,即f(x1)ming(x2)min,8分当a1时,由()可知,x1e,e2,f(x)为增函数,f(x1)min=f(e)=e-(a+1)-ae10分g(x)=x+ex-xex-ex=x(1-ex),当x2-2,0时,g(x)0,g(x)为减函数,g(x2)min=g(0)=1,e-(a+1)-aee2-2ee+1,a（e2-2ee+1,1）.12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,pa为o的切线,a为切点,pbc是过圆心o的割线,pa=10,pb=5.求:()o的半径;()sin bap的值.解:()pa为o的切线,pa2=pbpc,又pa=10,pb=5,pc=20,bc=20-5=152分bc为o的直径,o的半径为7.5.4分()pa为o的切线,acb=pab,5分又p=p,pabpca,abac=pbpa=510=127分设ab=k,则ac=2k,bc为o的直径,aba