反例教学——中学数学探究性学习的重要环节.pdf

上海中学数学 2 0 1 4 年第7 8 期 反例教学 中学数学探究性学习的重要环节 3 6 1 0 0 0 福建省厦门市湖滨中学程金元 众所周知 要判断一个命题是真命题 必须经过 严格的证明 而判断一个命题是假命题 只要举出一 个反例 所谓举反例就是举出符合命题的题设 而不 满足命题结论的例子 因其具有构造性 所以举反例 实际上是一种创造性思维的体现 但在中学数学的 教学中 强调证明有余 而对反例教学却明显重视不 判断H F 与A B 是否垂直 并说明理由 分析 可以运用由果索因的方法逆推 如图1 4 嚣 嚯 图1 4 对模型图还可以思考下列问题 1 题目已知条件是否全部用上 2 所用的模型图是否是最简洁的 是否存在 一题多解 3 结论H F 上A B 是否可以与四个题设中 A C 上B C C D 上A B D E 上A C 么1 么2 1 8 0 的一 个任意互换 4 几何图形能否变化 三 用模型图法改变辅导学生的方式 利用模型图法改变数学个别辅导的方式 过去 当学生完成一道应用题或几何题有困难时 来请教 师帮助 教师一般的做法是 对于应用题 怎样设未 知数 如何列方程或方程组 对于平面几何题 先证 什么 再证什么 最后证什么 然后亲切地问学生 你 听懂了吗 学生一般会说 老师我懂了 其实学生 听懂的是这道题的解题过程 离问题解决策略和方 法还有一段距离 波利亚说过 学习任何知识的最 佳途径是由自己去发现 因为这种发现理解最深 也 最容易掌握其中的规律 性质 联系 一个有责任 心的老师与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题 目 还不如选择一题有意义又不太复杂的题目 去帮 助学生发觉题目的各个方面 在指导学生解题的过 够 其实 反例和证明在知识发现的过程中具有同等 地位 是 观察 归纳 猜想 证明 反例 这一数学知识探究过程中的重要环节 可以说 反例 是数学探究方法之一 是数学发现方式之一 在科学 发展史上 构造反例与完成证明一样推动着数学的 发展 反例在培养学生质疑 探究 发现等理科精神方 程中 提高他们的能力 因为学生在学习中碰到的困难非常多 教师不 可能也没有精力一一作出解答 根据波利亚的理论 教师辅导的只是思路和方法 纠正学生认识上的错 误 具体完成还得靠学生自己 例如应用题 教师可 提醒学生首先列出带有文字说明的文本框 得到一 个或两个等量关系 要完成这一步 学生须仔细阅题 理解问题 寻找等量关系 确定设未知数是直接的或 是间接的 最后列出方程或方程组 如果此时学生还 不能完成 教师应及时指出学生思维上的问题 直到 学生自己搞清楚为止 例如平面几何 首先提示学生 画出数学分析模型图 师生共同对模型图进行研究 因果关系是否成立 使用的概念和性质是什么 由 于初中数学一般是基础题 学生自己通过这一番探 索 问题基本能自己解决 教师辅导个别学生 不能 只是帮助学生完成此题的解决 求量而弃质 而是要 引导学生掌握问题解决的策略 养成良好的学习习 惯与方法 才能达到事半功倍的效果 数学教学中的模型图法应用 是数形结合的体 现 在应用题教学中 有利于做好中小学算术与代数 间的衔接过渡 它是一种学生动手做数学的学习方 式 在探索中形成了经验体会 掌握的知识容易活 用 把模型图作为一个研究平台 在教学中能降低难 度 提高学生的参与度 作为知识的生长点提升拓 展 有利于培养学生的思维能力 它改变了学生个别 辅导的方式 是数学教学有效向高效转化的一种教 学方法 参考文献 1 方燕萍 王兄 新加坡数学课程中模型图法的应用 算术 与代数间的衔接 J 上海中学数学 2 0 1 2 1 2 2 张丰 从问题到建议 中小学教育研究行动指南 M 教育科学出版社 2 0 1 3 万方数据 上海中学数学 2 0 1 4 年第7 8 期 5 7 面具有特殊的魅力 起着重要的作用 一 反例与探究性学习 举反例就是构造符合命题的题设而不符合命题 结论的例子 其本质是判断命题的不成立 在中学数 学探究性学习中 学生在教师的引导下 收集信息 分析问题 解决问题 通过 观察 比较 分 析 归纳 猜想 证明 这一基本过程 充分 感悟体验数学思想 方法以及数学知识的形成过程 形成科学的学习方法和探究方法 它以教材为基本 的探究内容 尤其在形成猜想基本阶段 反例为学生 提供充分的表达 质疑 讨论的机会 通过探究学习 学生不仅能获得知识 更重要的是 还能培养他们的 探究和创新能力 增加他们的情感体验 在探究学习 中 举反例能力的培养和知识的获得同样重要 为此 教师在学生初一下学期学习 命题 定理 证明 时 不仅要重视对反例概念的引入介绍与教 学 而且还应该多介绍数学发展史上利用反例促进 数学发展的例子 从而渗透和培养学生运用反例进 行质疑发现的精神 既能说明反例的巨大作用 又能 为学生理解接受的著名反例有欧拉方程猜想 1 7 6 9 年 欧拉证明了费马方程T 3 y 3 一z 3 无非平凡整数 解后 也提出了一个猜想 方程 r i z z 一 一T 咒 4 无正整数解 当时 欧拉的名气使得这一 命题被许多人认为不容置疑 但仅两个世纪后 美国 数学家费里奇和美籍华人吴子乾举反例发现 2 7 5 8 4 1 1 0 5 1 3 3 5 1 4 4 5 推翻了猜想 数学发展史 上 反例通常确保了数学的严谨性 使数学的发展少 走弯路 而在数学探究性学习中的很多时候 知识的 发现要通过学生收集分析信息 通过观察 类比 归 纳 猜想才能实现 而猜想的结论未必正确 教师要 引导学生做好正确与错误的两手准备 或首先举出 反例否定反驳 或其次给予演绎证明充分肯定 正如 美国数学家盖尔鲍姆和奥姆斯特德指出 数学有两 大类 证明和反例组成 而数学发现也是朝着两 个主要目标 提出证明和构造反例 二 反例在探究性学习中的作用 一 运用反例创设情境 在数学探究性学习中 教师通过创设问题情境 让学生获得学习材料和自由开放的体验空间 利用 各种条件 从已有的生活经验出发 把学生带人情 境 通过质疑 探究 讨论问题 让他们在这种情境中 感受体验 主动地获取知识并应用知识解决实际问 题 从而在创新能力 情感态度及价值观等方面得到 充分发展 如在学习完全平方公式时 教师这样设置 情境 有人认为 口 6 2 一口2 6 2 聪明的你认为对 吗 然后引导学生观察构造反例 像这样在引入新 课时 教师故意设置错误命题 让学生反例探究 不 仅能让学生克服思维定势 防止和纠正易犯错误 而 且还充分调动学生探求新知识的强烈愿望 这种故 设路障 拷问学生心灵 启发智慧的引入方法 在高 中数学探究性学习中也比比皆是 如在三角函数教 学中 设置 s i n z 歹 一s i n r s i n y 对吗9 的情境 教师的引入看似将学生引入歧途 但是 很快学生就 会在反例探究中迷途知返 反例教学能很好地解决 学生在学习过程中被动模仿 机械记忆等思维障碍 符合探究性学习的精神 二 有助于学生有效地形成概念 数学概念是数学的细胞 数学的砖瓦 离开数学 概念 数学大厦根本无法建设 数学的学习过程 就 是不断地建立各种数学概念的过程 探究性学习数 学概念的关键是数学概念的形成与数学概念的同 化 学习数学概念的过程可以说是一种再创造过程 学生通过对低层次活动本身的分析 把低层次的概 念变为高层次的常识 再经过提炼和组织而形成更 高层次的概念 如此循环往复 其探究过程可简述 为 观察实例 归纳实例的共同点 揭示概念的本质 属性 找出新概念与原认知结构中的知识联系 形成 新概念 纳入概念体系 而反例教学是优化上述过程 的有效手段 如在不同概念的教学中设置命题 不相 交的两条直线是平行线 若一条直线垂直于平面 内的无数直线 则这条直线就垂直于这个平面 一 组对边平行的四边形是平行四边形 让学生构造反 例进行反复辨析 就一定能揭示概念的内涵与外延 使学生深刻理解概念 牢固掌握概念 灵活运用概 念 达到理解 巩固 系统 会用的目的 概念教学中 运用变式变形极为重要 例如 对方程的概念 应通 过各种变式 使学生认识含有未知数与等式这两个 关键特征 三角形的高 应通过锐角三角形 直角三 角形 钝角三角形的不同形状的三角形来认识 既要 通过正例来揭示 又要通过反例排除非本质特征的 干扰 加之交待规范的名称 符号 表示方法和概念 间的关系等 只有这样 才能使学生明确概念的科学 内涵 三 加深学生对所学性质 公式等的理解 学生对于性质 公式 定理 法则等的认识是一 个由浅人深 循序渐进的过程 在学习中 很多学生 自以为对它们的意义和条件十分清楚 但在实际运 用时 经常会忽视条件而犯错误 究其原因 还是学 生在学习公式 法则 定理时探究不够 往往侧重于 记忆其结论 不注意它们的使用范围 以致使用时生 搬硬套 错误百出 教师应有意识地改变 如增加 减 少 变换 性质 公式 定理 法则中的条件 引导学生 探究 在构造假命题的反例的过程中 体会理解领悟 核心概念的每一个条件的严密性 如 两边及一角对 万方数据 5 8 上海中学数学 2 0 1 4 年第7 8 期 应相等的两个三角形全等 a 6 c 日 6 c 若一条直线平行于平面内的一条直线 则这 条直线平行于这个平面 等 四 提升学生思维的深刻性 反例教学能帮助学生更加深刻地分析计算问题 中的条件和结论 进一步提升学生思维的完备性和 深刻性 例1 数列的前7 2 项和为S 一日 一1 n o 则 这个数列是 A 等比数列B 等差数列 C 等比或等差数列D 非等差数列 经常运用反例探究的学生不大可能立即进行计 算说明 而是采用反例思考得到答案 既然n o 不 妨让口一1 则S 一0 即n 一o 是等差数列 再运用 公式 口 S 一S 一1 一 口 一1 一 n 一1 1 一乜一1 盘 一1 口 0 在口 1 时 是等比数列 因为兰L 一 参 篆三告一丑 常数盘 o 故选c 反例探究能分清解题中的充分条件和必要条 件 将有助于对知识的理解 也有助于问题的研究 例2 2 0 0 5 北京 m 一 是 直线 m 2 z 3 m 了 1 一 与直线 m 一2 z m 2 y 一3 一 相互垂直 的 A 充分必要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 当m 一 时 走1 一一 矗 一詈 忌 忌 一一1 两 直线垂直 充分性满足 但是 两直线垂直时一定能 有m 一 吗 反例探究 取优一一2 时 两直线为y 一 z 一 两直线也垂直 说明必要性不满足 故选B 例3 A B C 的底边B C 一1 6 A C 和A B 两边 上中线长之和为3 0 求此三角形重心G 的轨迹和顶 点A 的轨迹 一学生分析并解答为 1 由已知可得I G C l I G B l 一2 0 再利用椭圆定义求解 2 由G 的轨迹方 程G A 坐标的关系 利用代入法求A 的轨迹方程 解 1 以B C 所在的直线为z 轴 B C 中点为 原点建立直角坐标系 设G 点坐标为 z 了 由I G C I I G B l 2 0 知G 点的轨迹是以B C 为焦点的椭 圆 且除去轴上两点 因乜一1 0 c 一8 有6 6 故其 叩2 2 方程为蠡 彘一1 2 设A z y G r 7 y 7 则蒜 等一1 由 H 一等 题意有 代入上式 得A 的轨迹方程为蒜 y 芎 2 勃一1 其轨迹是椭圆 教师点拨 两个方程都对吗 可否用反例探究 学生马上能构造重心及A 点在z 轴上的反例 从而 两个方程都得加上3 J o 的条件 才能符合题意 三 如何构造反例 反例的构造与产生 有时是直觉思维的体现 但 更多时候与获得证明的方法一样 也需要经过观察 试误 归纳 分析 综合 概括 抽象等深层次思维活 动 教师不妨经常教育学生 举反例是一项创造性劳 动和智慧的体现 激发学生参与到反例探究中并形 成反例思索的习惯 既然反例是探究的重要手段 反 例教学是探究性教学方式的重要形式 那么 中学数 学教学就得教会学生构造反例的方法 一 概念构造 即从概念本身构造反例 在概念的学习中 有些 学生不善于抓住概念的本质属性 不注意领会定义 中的关键性词句 经常出现理解上的混淆或应用上 的失误 对此 教师固然可以用正面的例子加以阐 述 而从定义本身的严密性构造反例 也是一种经常 的方式 借助反例的具有说服力的否定来澄清学生 的片面认识 强化对概念的理解 如 总有少数学生 错误认为 无限小数是无理数 如果一条直线平行 于平面内的一条直线 那么这条直线平行于这个平 面 遇到这种情况 教师不妨引导学生从相关定义构 造反例 强化说明 纠正错误 从而正确掌握相关概念 二 特例构造 即运用特殊化思想构造反例 特殊化思想被广 泛运用到数学解题之中 有时候 有些题运用直接求 解策略解答难度较大 费时且易出错 而运用特殊化 构造反例策略则能达到准确 迅速解题的目的 在否 定一个备选答案时 只要举出一个反例就够了 基于 这一原理 在解选择题时 可以通过取一些特殊数 值 特殊点 特殊函数 特殊数列 特殊图形 特殊位 置 特殊向量等对选项进行验证 从而可以否定和排 除不符合题目要求的选项 间接得到符合题目要求 的选项 这是一种解选择题的特殊化策略 如广东 2 0 1 3 年压轴题也采用了这种特殊化的办法 例4 若函数厂 z 一一 h c 有极值点z z 2 且 厂 T 1 T 1 则关于z 的方程3 z 1 2 2 厂 z 6 一 的不同实根个数是 A3B4C 5D 6 万方数据 上海中学数学 2 0 1 4 年第7 8 期 5 9 回归教材立足教材高于教材 例谈圆锥曲线的二轮复习 2 4 2 0 0 0安徽省宣城市第二中学汪智源 高考的二轮复习与系统的一轮复习相比 具有 时间短 知识综合性强 思维要求高等特点 圆锥曲 线属于二轮复习的主干知识体系 在试卷中一般分 布在试卷的后三题 是高考的难题 所以 圆锥曲线 的二轮复习有时成了一些教师的 鸡肋 复习 怕没 有效果 不复习 丢如此多分太可惜 造成整个数学 考试成绩不理想 解 设z 1 1 T 2 一一1 则厂 z 一3 T 一1 z 1 一3 r 2 3 所以厂 r 一 r 3 3 T c 厂 z 一 T 1 6 一一3 c 一一3 厂 T 一z 3 3 z 一3 3 厂 T 1 2 2 厂 z 6 一O z 3 3 z 一3 0 厂 z 一z 3 3 T 一3 在 一 一1 和 1 单 调递增 在 一1 1 上单调递减 不同实根有3 个 运用特殊值反例从而否定备选答案B C D 例5 2 0 0 8 北京 已知数列 口竹 对任意的p q N 满足n p 一n p 且n 2 一一6 那么口l o 等于 A 一1 6 5B 一3 3C 一3 0D 一2 1 解 取n 一是行 是 o 容易计算满足题设口 一a D a 又口2 一一6 是一一3 即n 一一3 佗 丑1 0 一一3 0 故否定A B D 选C 本题的直接求解策略比较难于下笔 选取一个 符合题目要求的特殊数列可以把抽象问题具体化 从而迅速破解 运用特殊化策略构造反例解题时要 注意 所选取的特例一定要简单 且符合题设条 件 特殊只能否定一般 不能肯定一般 当选取 某一特例出现两个或两个以上的选项都正确时 要 根据题设要求选择另外的特例代人检验 直到排除