江苏省南通市、连云港、淮安、扬州2015届高三第二次调研测试+数学+Word版答案.doc

南通市2015届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 命题“，”的否定是“ ”【答案】，2 设(为虚数单位，)，则的值为 【答案】03 设集合，则 I 1While I 7 S 2 I + 1 I I + 2End WhilePrint S（第4题）【答案】4 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 【答案】115 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 【答案】0.026 若函数的图象与轴相邻两个交点间的距离为2，则实数的值 为 【答案】7 在平面直角坐标系中，若曲线在(为自然对数的底数)处的切线与直线 垂直，则实数的值为 【答案】AA1B不C不B1不C1不D1不D不（第8题）8 如图，在长方体中，3 cm，2 cm，1 cm，则三棱锥 的体积为 cm3【答案】19 已知等差数列的首项为4，公差为2，前项和为 若()，则的值为 【答案】710设()是上的单调增函数，则的值为 【答案】611在平行四边形中，则线段的长为 BDC（第12题）A【答案】12如图，在ABC中，点在边上，45，则的值为 【答案】13设，均为大于1的实数，且为和的等比中项，则的最小值为 【答案】14在平面直角坐标系中，圆：，圆：若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，满足，则半径r的取值范围是 【答案】二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）ABCDMNQ（第15题）如图，在四面体中，平面平面，90，分别为棱，的中点 （1）求证：平面； （2）求证：平面平面证明：（1）因为，分别为棱，的中点， 所以， 2分 又平面，平面， 故平面 6分 （2）因为，分别为棱，的中点，所以， 又，故 8分 因为平面平面，平面平面， 且平面， 所以平面 11分又平面， 平面平面 14分 （注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“平面”，扣1分）16（本小题满分14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格某班50名学生参加测试的结果如下：等级优良中不及格人数519233（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为，2名女生记为，现从这5人中 任选2人参加学校的某项体育比赛 写出所有等可能的基本事件； 求参赛学生中恰有1名女生的概率解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件，“测试成绩为良”为事件，“测试成绩为中” 为事件，事件，是互斥的. 2分 由已知，有 4分 因为当事件，之一发生时，事件发生， 所以由互斥事件的概率公式，得 6分 （2） 有10个基本事件：， ， 9分 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件在上述等可能的10个基本事件中， 事件包含了， 故所求的概率为 答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为； （2）参赛学生中恰有1名女生的概率为 14分（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分事件包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分）17（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知向量(1，0)，(0，2).设向量()，其中. （1）若，求xy的值；（2）若xy，求实数的最大值，并求取最大值时的值. 解：（1）（方法1）当，时，()， 2分 则 6分 （方法2）依题意， 2分 则 6分 （2）依题意， 因为xy， 所以， 整理得， 9分 令， 则 . 11分 令，得或， 又，故.0极小值 列表： 故当时，此时实数取最大值. 14分 （注：第（2）小问中，得到，及与的等式，各1分）18（本小题满分16分）xyOPAF（第18题）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，右焦点为.为椭圆上一点，且.（1）若，求的值；（2）若，求椭圆的离心率；（3）求证：以为圆心，为半径的圆与椭圆的 右准线相切.解：（1）因为，所以，即， 由得，即, 3分 又， 所以，解得或(舍去) 5分 （2）当时,， 由得，即，故， 8分 所以，解得（负值已舍） 10分 （3）依题意，椭圆右焦点到直线的距离为，且， 由得，,即, 由得， 解得或(舍去). 13分 所以 ， 所以以为圆心，为半径的圆与右准线相切. 16分 （注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线的距离为，得1分；直接使用焦半 径公式扣1分）19（本小题满分16分）设，函数 （1）若为奇函数，求的值； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）当时，求函数零点的个数解：（1）若为奇函数，则， 令得，即， 所以，此时为奇函数 4分（2）因为对任意的，恒成立，所以 当时，对任意的，恒成立，所以； 6分 当时，易得在上是单调增函数，在上 是单调减函数，在上是单调增函数， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以a不存在； 当时，解得， 所以； 综上得，或 10分（3）设， 令则，第一步，令， 所以，当时，判别式， 解得，； 当时，由得，即， 解得； 第二步，易得，且， 若，其中， 当时，记，因为对称轴， ，且，所以方程有2个不同的实根； 当时，记，因为对称轴， ，且，所以方程有1个实根， 从而方程有3个不同的实根； 若，其中， 由知，方程有3个不同的实根； 若， 当时，记，因为对称轴， ，且，所以方程有1个实根； 当时，记，因为对称轴， ，且， ， 14分 记，则， 故为上增函数，且， 所以有唯一解，不妨记为，且， 若，即，方程有0个实根； 若，即，方程有1个实根； 若，即，方程有2个实根， 所以，当时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根； 当时，方程有3个实根 综上，当时，函数的零点个数为7； 当时，函数的零点个数为8； 当时，函数的零点个数为9 16分（注：第（1）小问中，求得后不验证为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分）20（本小题满分16分）设是公差为的等差数列，是公比为()的等比数列记（1）求证：数列为等比数列；（2）已知数列的前4项分别为4，10，19，34 求数列和的通项公式； 是否存在元素均为正整数的集合，(，)，使得数列 ，为等差数列？证明你的结论解：（1）证明：依题意， ， 3分 从而，又， 所以是首项为，公比为的等比数列 5分 （2） 法1：由（1）得，等比数列的前3项为， 则， 解得，从而， 7分 且 解得， 所以， 10分 法2：依题意，得 7分 消去，得 消去，得 消去，得， 从而可解得， 所以， 10分 假设存在满足题意的集合，不妨设，且， ，成等差数列， 则， 因为，所以， 若，则， 结合得， 化简得， 因为，不难知，这与矛盾， 所以只能， 同理， 所以，为数列的连续三项，从而， 即， 故，只能，这与矛盾， 所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合 16分（注：第（2）小问中，在正确解答的基础上，写出结论“不存在”，就给1分）南通市2015届高三第二次调研测试数学（附加题）A选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）BACPO（第21 - A题）如图，从圆外一点引圆的切线及割线，为切点 求证：证明：因为PC为圆的切线， 所以， 3分 又， 故， 7分 所以， 即 10分B选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）设是矩阵的一个特征向量，求实数的值解：设是矩阵属于特征值的一个特征向量， 则， 5分 故解得 10分C选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线与曲线相交于，两点，求线段中点的极坐标 解：（方法1）将直线化为普通方程得， 将曲线化为普通方程得，, 4分 联立并消去得， 解得， 所以AB中点的横坐标为，纵坐标为， 8分 化为极坐标为 10分 （方法2）联立直线与曲线的方程组 2分 消去，得， 解得， 6分 所以线段中点的极坐标为，即 10分 （注：将线段中点的极坐标写成的不扣分）D选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 设实数，满足，求证：证明：由柯西不等式，得， 6分 因为， 故， 8分 当且仅当，即，时取“” 10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上 （1）求，的值；（2）过点作垂直于轴，为垂足，直线与抛物线的另一交点为，点在直线B （第22题）yxOACPM 上若，的斜率分别为，且，求点的坐标解：（1）将点代入， 得， 2分 将点代入，得， 因为，所以 4分 （2）依题意，的坐标为， 直线的方程为， 联立并解得， 6分 所以， 代入得， 8分 从而直线的方程为， 联立并解得 10分23（本小题满分10分）设A，B均为非空集合，且AB，AB，(3，)记A，B中元素的个数分别为a，b，所有满足“aB，且b”的集合对(A，B)的个数为 （1）求a3，a4的值； （2）求解：（1）当3时，AB1，2，3，且AB， 若a1，b2，则1，2，共种； 若a2，b1，则2，1，共种， 所以a3； 2分 当4时，AB1，2，3，4，且AB，0极小值 若a1，b3，则1