九年级数学证明二《回顾与思考》课件

九年级上证明 二 回顾与思考 九江县二中汤恒初 2 推论 等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高线互相重合 三线合一 1 AB AC 1 2 已知 BD CD AD BC 等腰三角形三线合一 2 AB AC BD CD 已知 1 2 AD BC 等腰三角形三线合一 3 AB AC AD BC 已知 BD CD 1 2 等腰三角形三线合一 轮换条件 1 2 AD BC BD CD 可得三线合一的三种不同形式的运用 知识要点 1 定理 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 4 等边三角形的判定 结论4 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半 结论5 等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 3 等腰三角形有关知识要点 结论1 等腰三角形两底角的平分线相等 结论2 等腰三角形两腰上的中线相等 结论3 等腰三角形两腰上的高相等 3 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形 1 三条边都相等的三角形是等边三角形 2 三个角都相等的三角形是等边三角形 5 定理 在直角三角形中 如果一个锐角等于300 那么这个锐角所对直角边等于斜边的一半 它的逆命题 ACB 900 A 300 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么这条直角边所对的锐角等于300 ACB 900 A 300 6 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 它的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 7 直角三角形全等的判定定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简称 HL 8 写出命题 等腰三角形的两个底角相等 的逆命题 有两个角相等的三角形是等腰三角形 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 9 线段的垂直平分线 PC垂直平分AB PC AB AC BC或P在AB的垂直平分线上 PA PB 它的逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 PC垂直平分AB PC AB AC BC或P在AB的垂直平分线上 PA PB 10 角平分线 定理 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 1 2 PD OA PE OB PD PE 1 2 OP是角平分线或P在 AOB的平分线上 逆命题 在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 1 2 PD OA PE OB PD PE 11 定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 并且这一点到三个顶点的距离相等 12 定理 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三条边的距离相等 这一点叫做三角形的外心 三角形外接圆的圆心 这一点叫做三角形的内心 三角形内切圆的圆心 名题探究 例1 在 ABC中 AB 2AC 1 2 DA DB求证 DC AC E F 证明 取AB的中点E 连结DE DA DB AE BE DE AB 等腰三角形三线合一 AB 2AC E为AB的中点 AE AC在 AED和 ACD中 AE AC 1 2 AD AD AED ACD SAS AED ACD 900即AC DC 或用延长法 延长AC至F使CF AC 连结DF 名题探究 例1 在 ABC中 AB 2AC 1 2 DA DB求证 DC AC F 证明 延长AC至F使CF AC 连结DF AB 2AC AC CF AB AF 1 2 AD AD ADB ADF SAS DB BF DA DB DA DF AC CF DC AF 等腰三角形三线合一 即DC AC 思路探究 除了截短法和延长法外 在等腰三角形中 我们通常作底边的中线或高或顶角平分线 以便使用等腰三角形的性质 三线合一 名题探究 例2 如图 ABC CDE是等边三角形 1 求证 AE BD 2 若BD和AC交于点M AE和CD交于点N 求证 CM CN M N 3 连结MN 猜想MN与BE的位置关系 并加以证明 名题探究 思路探究 通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等 这是一种常见的证明方法 本题我们应注意用到等边三角形的性质以及平行法的判定方法 当图形较复杂时 注意分清条件与图形中的对应关系 练习1 在 ABC中 C 900 B 300 AD是 BAC的平分线 已知 求AD的长 解 C 900 B 300 CAB 600 AD是角平分线 CAD 300 设CD x 那么AD 2x 在Rt ACD中 AD2 CD2 AC2 解得x 2 AD 4 思路探究 本题综合运用了勾股定理 含300角的直角三角形性质 它们都与直角有关 所以当问题中出现直角条件时 要善于联想到这些性质 练习2如图 已知 ABC中 AD平分 BAC EF是AD的中垂线 EF交BC的延长线于F 求证 FD2 FC FB F E D C B A 分析2 要证FD2 FC FB 但FD FC FB都在同一直线上 无法利用相似三角形 由于FD FA 替换后