普通高等学校招生全国统一考试2005—2009(广东卷)数学(理科).doc

普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）2005参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）P（A）+P（B） 如果事件A、B相互独立，那么P（AB）P（A）P（B）第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若集合，则MN（ ） A. 3 B. 0 C. 0，2 D. 0，3 2. 若，其中，i是虚数单位，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 5 3. （ ） A. B. 0 C. D. 4. 已知高为3的直棱柱ABCABC的底面是边长为1的正三角形（如图1所示），则三棱锥BAbc的体积为（ ）A. B. C. D. 5. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m（ ） A. B. C. D. 6. 函数是减函数的区间为（ ） A. B. C. D.（0，2） 7. 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题： 若； 若m、l是异面直线，； 若； 若 其中为假命题的是（ ） A. B. C. D. 8. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称。现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 11. 函数的定义域是 。 12. 已知向量则x 。 13. 已知的展开式中的系数与的展开式中x3的系数相等，则 。 14. 设平面内有n条直线（n3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点。若用表示这n条直线交点的个数，则 ；当n4时， 。（用n表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分12分） 化简（，），并求函数的值域和最小正周期。 16.（本小题满分14分） 如图3所示，在四面体PABC中，已知PABC6，PCAB10，AC8，PB。F是线段PB上一点，点E在线段AB上，且EFPB。 （）证明：PB平面CEF； （）求二面角BCEF的大小。图3 17.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO（如图4所示）。 （）求AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； （）AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。图4 18.（本小题满分12分） 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t。现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以表示取球结束时已取到白球的次数。 （）求的分布列； （）求的数学期望。 19.（本小题满分14分） 设函数，且在闭区间0，7上，只有 （）试判断函数的奇偶性； （）试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论。 20.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）。将矩形折叠，使A点落在线段DC上。 （）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程； （）求折痕的长的最大值。2006一选择题1. 函数 f (x) = + lg (3x + 1) 的定义域是(A) (,+)(B) (,1)(C) (,)(D) (,)2. 若复数 z 满足方程 z 2 + 2 = 0，则 z 3 = (A) 2(B) 2(C) 2i(D) 2i3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(A) y = x 3，x R(B) y = sin x，x R(C) y = x，x R(D) y = ( ) x，x RABDC4. 如图1所示，D是ABC 的边 AB 上的中点，则向量(A) + (B) (C) (D) + 5. 给出以下四个命题： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行。 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。其中真命题的个数是(A) 4(B) 3(C) 2(D) 16. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(A) 5(B) 4(C) 3(D) 2yOx432117. 函数 y = f (x) 的反函数 y = f 1 (x) 的图像与 y 轴交于点P(0,2)（如图2所示），则方程 f (x) = 0 在 1,4 上的根是 x = (A) 4(B) 3(C) 2(D) 18. 已知双曲线 3x 2y 2 = 9，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于(A) (B) (C) 2(D) 4yOx42y + 2x = 4y + x = s9. 在约束条件 下，当 3s5 时，目标函数 z = 3x + 2y 的最大值的变化范围是(A) 6,15(B) 7,15(C) 6,8(D) 7,810. 对于任意的两个实数对 (a,b) 和 (c,d)，规定：(a,b) = (c,d)当且仅当 a = c，b = d；运算“”为：(a,b) (c,d) = (acbd,bc + ad)；运算“”为：(a,b) (c,d) = (a + c,b + d)，设p、q R，若(1,2) (p,q) = (5,0)，则 (1,2) (p,q) = (A) (4,0)(B) (2,0)(C) (0,2)(D) (0,4)二、填空题11. ( ) = 。12. 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 。13. 在 (x) 11 的展开式中，x 5 的系数为 。14. 在德国不来梅举行的第48届世兵赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、 堆最低层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放。从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球。以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数，则 f (3) = ；f (n) = （答案用 n 表示）。三、解答题15. 已知函数 f (x) = sin x + sin (x + )，x R(I)求 f (x) 的最小正周期；(II)求 f (x) 的最大值和最小值；(III)若 f (a ) = ，求 sin 2a 的值。16. 某运动员射击一次所得环数X的分布列如下X0678910P00.20.30.20.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩记为 x ，ABCOFDEO1(I)求该运动员两次都命中7环的概率；(II)求 x 的分布列；(III)求 x 的数学期望 Ex 17. 如图所示，AF、DE 分别是O、O1 的直径，AD 与两圆所在的平面垂直，AD = 8，BC是O 的直径，AB = AC = 6，OEAD(I)求二面角 BADF 的大小；(II)求直线 BD 与 EF 所成的角。18. （14）设函数 f (x) = x 3 + 3x + 2 分别在 x1、x2 处取极小值、极大值，xoy 平面上点 A、B 的坐标分别为 (x1, f (x1)、(x2, f (x2)，该平面上动点 P 满足= 4，点Q是点P关于直线 y = 2 (x4) 的对称点，求(I)点A、B 的坐标；(II)动点 Q 的轨迹方程。19. （14）已知公比为 q（0 q 1）使得 存在且不等于零。20. （12）A 是由定义在 2,4 上且满足如下条件的函数 j(x) 组成的集合： 对任意 x 1,2，都有 j(2x) (1,2)； 存在常数 L（0 L 1），使得对任意 x1、x2 1,2，都有 | j(2x1)j(2x2) |L | x1x2 |(I)设 j(x) = ，x 2,4，证明：j(x) A(II)设 j(x) A，如果存在 x0 (1,2)，使得 x0 = j(2x0)，那么这样的 x0 是唯一的；(III)设 j(x) A，任取 x1 (1,2)，令 xn+1 = j(2xn)，n = 1,2,，证明：给定正整数 k，对任意的正整数 p，成立不等式：| xk+pxk | 2007参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高。 如果事件、互斥，那么. 如果事件、相互独立，那么. 用最小二乘法求线性回归方程系数公式.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1.已知函数的定义域为，的定义域为，则A.B.C.D.2.若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数）则A.2B.C.D.3.若函数A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数4.客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是 A B C D5.已知数|an|的前n项和，第k项满足,则A. 9 B. 8 C. 7 D. 66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A. i6 B. i7 C. i8 D. i97.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为A. 15 B. 16 C. 17 D. 188.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对,在S中有唯一确定的元素与之对应）.若对任意的,有(,则对任意的,下列等式中不恒成立的是 A. () B. ()C. () D. ()()二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中1315题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）10.若向量满足与的夹角为120，则 .11.在平面直角坐标系中，有一定点（2，1），若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 .12.如果一个凸多面体棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有对异面直线，则 图4 ; .（答案用数字或的解析式表示）13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，(参数),圆的参数方程为(参数)，则圆的圆心坐标为 ，圆心到直线的距离为 .14.（不等式选讲选做题）设函数 ;若，则的取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆的直径，为圆周上一点，过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点、，则 ，线段的长为 . 图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知顶点的直角坐标分别为.（1）若，求sin的值;（2）若是钝角，求的取值范围.17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.x3456y2.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：32.5+43+54+64.566.5）18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线相切于坐标原点O.椭圆1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C的方程.（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰ABC的底边AB=6,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EFAB.现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE.记 V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.（1）求V(x)的表达式；（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？(3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值20.（本小题满分14分）已知a是实数，函数如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数是方程的两个根,是的导数.设,(1)求的值；(2)证明：对任意的正整数n，都有;(3)记,求数列的前n项和.2008参考公式：如果事件互斥，那么已知是正整数，则 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（ ）A B C D2记等差数列的前项和为，若，则（ ）A16 B24 C36 D48一年级二年级三年级女生373男生3773703某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A24 B18 C16 D12 表14若变量满足则的最大值是（ ）A90 B80 C70 D405将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED6已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A BC D7设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）A BC D8在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）A BCD二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分开始n整除a?是输入结束输出图3否（一）必做题（912题）9阅读图3的程序框图，若输入，则输出 ， （注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）10已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则 11经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 12已知函数，则的最小正周期是 二、选做题（1315题，考生只能从中选做两题）13（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线与交点的极坐标为 14（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 15（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，是圆的直径，与圆交于点，则圆的半径 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分13分）已知函数，的最大值是1，其图像经过点。（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值17（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？18（本小题满分14分）AyxOBGFF1图4设，椭圆方程为，抛物线方程为如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）19（本小题满分14分）设，函数，试讨论函数的单调性FCPGEAB图5D20（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，垂直底面，分别是上的点，且，过点作的平行线交于（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；（3）当时，求的面积21（本小题满分12分）设为实数，是方程的两个实根，数列满足，（）（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的前项和2009一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A. 3个 B. 2个C. 1个 D. 无穷多个2. 设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，A. 8 B. 6 C. 4 D. 23. 若函数是函数的反函数，其图像经过点，则A. B. C. D. 4.已知等比数列满足，且，则当时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. B. C. D. 5. 给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. 和 B. 和 C. 和 D. 和6. 一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. 6 B. 2 C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 72010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种8已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是A. 在时刻，甲车在乙车前面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B. 时刻后，甲车在乙车后面C. 在时刻，两车的位置相同D. 时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（9 12题）9. 随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3所示的程序框图输出的 ，表示的样本的数字特征是 （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”“：=”）10. 若平面向量，满足，平