任意角与弧度制.doc

任意角B O A 图1 1.角的概念(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角。其中射线OA叫角的始边，射线OB叫角的终边，O叫角的顶点。2正角、负角、零角概念为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角， 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为. 3.象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。思考三个问题：1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？答：1.不行，始边包括端点（原点）；2端点在原点上；3不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；4.终边相同的角的表示法两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差3600的整数倍。例如：7500=23600+300；-6900=-23600+300。由此，我们可以用S=|=k3600+300，kZ来表示所有与300角终边相同的角的集合。对于任意一个角，与它终边相同的角的集合S=|=+k3600，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。注意一些结论:第一象限的角表示为a|k360ak360+90，kZ；第二象限的角表示为a|k360+90ak360+180，kZ；第三象限的角表示为a|k360+180ak360+270，kZ；第四象限的角表示为a|k360+270ak360+360，kZ； 终边在x轴正半轴上的角的集合：a|a=k360， kZ；终边在x轴负半轴上的角的集合a|a=k360+180，kZ；终边在x轴上的角的集合：a|a=k180，kZ；终边在y轴正半轴上的角的集合：a|a=k360+90，kZ；终边在y轴负半轴上的角的集合：a|a=k360+270，kZ；终边在y轴上的角的集合：a|a=k180+90，kZ；终边在坐标轴上的角的集合：a|a=k90，kZ。5.角度制与弧度制：1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制即用度作为单位来表示角的单位制叫做角度制；用弧度作为单位来表示角的单位制叫做弧度制。2、说明：（1）、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0；（2）、角a的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）3、角度与弧度互换 360=2p rad 180=p rad 1= ， 角度030120135150弧度/4/3/24、有关扇形的公式1弧长公式：2扇形面积公式 其中是扇形弧长，是圆的半径6.例题讲评例1 设， ，那么有（D ）ABC（ ）D 例2用集合表示：（1）各象限的角组成的集合（2）终边落在 轴右侧的角的集合解：(1) 第一象限角：|k360ok360o+90o,kZ第二象限角：|k360o+90ok360o+180o,kZ第三象限角：|k360o+180ok360o+270o,kZ第四象限角：|k360o+270ok360o+360o ,kZ（2）在 中， 轴右侧的角可记为 ，同样把该范围“旋转” 后，得 ， ，故 轴右侧角的集合为 说明：一个角按顺、逆时针旋转 （ ）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转 （ ）角后，所得“区间”仍与原区间重叠例3 （1）如图，终边落在 位置时的角的集合是_|k360o+120o ,kZ ；终边落在 位置，且在 内的角的集合是_45o,225o_ ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是_|k360o45ok360o+120o ,kZ练习： （1）请用集合表示下列各角 间的角 第一象限角 锐角 小于 角解答（1） ； ； ； （2）分别写出：终边落在 轴负半轴上的角的集合；终边落在 轴上的角的集合；终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；终边落在四象限角平分线上的角的集合解答（2） ； ； ； 说明：第一象限角未必是锐角，小于 的角不一定是锐角， 间的角，根据课本约定它包括 ，但不包含 例4在 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1） ；（2） ；（3） 解：（1） 与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；（2） 与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；（3） 所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角 总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以 ，按通常除去进行；负的角度除以 ，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值练习： （1）一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_（2）集合M=k，kZ中，各角的终边都在（C ）A轴正半轴上，B轴正半轴上，C 轴或 轴上，D 轴正半轴或 轴正半轴上（3）设 ， C|= k180o+45o ,kZ ， 则相等的角集合为_BD，CE_2已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积3. 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数基础练习1下列各命题中，正确的是 （ ） A. 一弧度就是一度圆心角所对的弧； B. 一弧度是长度为半径的弧； C一弧度是一度的弧与一度的角之和； D一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是一种度量单位。2. 扇形的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则 （ ） A扇形的面积不变； B. 扇形的圆心角不变 C扇形的面积增大到原来的2倍； D.扇形的圆心角增大到原来的2倍。3. 将下列角转化为另一种形式表示： （1） ； （2） （3） ； （4） 4. 7弧度的角在第 象限。5. 已知。（1）把表示成的形式，其中； （2）求，使与的终边相同，且。习题：一、选择题1.若是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( )A. 90- B. 90+ C. 360- D. 180+2.下列角中终边与330相同的角是（ ）.30 B.-30 C.630 D.-6303.若是第四象限角，则180-一定是（ ）.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角4下列命题是真命题的是（ ）.三角形的内角必是一、二象限内的角 B.第一象限的角必是锐角C.不相等的角终边一定不相同D. |=k360+90,kZ = |=k180+90,kz 5.若是第二象限的角，则2不可能在（ ）.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限6半径为cm，中心角为120o的弧长为 （）ABCD7集合M=，N=，则MN为（ ）A BC D二、填空题：8. -rad化为角度应为 。9若40）的圆中，弧度圆周角所对的弧长为_；长为2a的弧所对的圆周角为_弧度。12扇形OAB的面积是1cm2，它的周长为4cm，则它的中心角与弦AB的长分别是_。13已知集合A =，B=x|x2 40，则=_。三解答题：14已知=1690o 。 (1)把表示成2k+的形式（kZ，）；（2）求，使与的终边相同，且（- 4，- 2）。15等腰三角形的两个角的比为2 ：3，试求此三角形的顶角与底