八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题课件 （新版）新人教版.ppt

第十三章轴对称 13 4课题学习最短路径问题 复习引入 线段公理 两点之间 线段最短 垂线段性质 垂线段最短 b 问题1 如图 牧马人从a地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到b地 牧马人到河边的什么地方饮马 可使所走的路径最短 思考 你能把这个问题转化为数学问题吗 a b l l 当点c在直线l的什么位置时 ac与bc的和最小 分析 a b l 如图 点a b分别是直线l异侧的两个点 如何在l上找到一个点 使得这个点到点a 点b的距离的和最短 联想 两点之间 线段最短 l 1 这两个问题之间 有什么相同点和不同点 2 我们能否把a b两点转化到直线l的异侧呢 转化需要遵循的原则是什么 3 利用什么知识可以实现转化目标 分析 l 如下左图 作点b关于直线l的对称点b 当点c在直线l的什么位置时 ac与cb 的和最小 如上右图 在连接ab 两点的线中 线段ab 最短 因此 线段ab 与直线l的交点c的位置即为所求 l 在直线l上任取另一点c 连接ac bc b c 直线l是点b b 的对称轴 点c c 在对称轴上 bc b c bc b c ac bc ac b c ab 在 ab c 中 ab ac b c ac bc ac b c 即ac bc最小 l 证明 如图 问题1归纳 问题2 造桥选址问题 如图 a和b两地在同一条河的两岸 现要在河上造一座桥mn 桥造在何处可使从a到b的路径amnb最短 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 思考 你能把这个问题转化为数学问题吗 如图假定任选位置造桥mn 连接am和bn 从a到b的路径是am mn bn 那么折线amnb在什么情况下最短呢 分析 a b 由于河宽是固定的 因此当am nb最小时 am mn nb最小 分析 如左图 如果将点a沿与河岸垂直的方向平移到点a 使aa 等于河宽 则aa mn am a n 问题转化为 当点n在直线b的什么位置时 a n nb最小 参考右图 利用 两点之间 线段最短 可以解决 如图 沿垂直于河岸的方向平移a到a 使aa 等于河宽 连接a b交河岸于点n 在点n处造桥mn 此时路径am mn bn最短 a b 解 另任意造桥m n 连接am bn a n 由平移性质可知 am a n am a n aa mn m n am mn bn aa a b am m n bn aa a n bn 在 a n b中 由线段公理知a n bn a b am m n bn am mn bn 证明 a b 问题2归纳 小结归纳 转化 轴对称变换 平移变换 两点之间 线段最短 如图 a为马厩 牧马人某一天要从马厩牵出马 先到草地边某一处牧马 再到河边饮马 然后回到马厩 请你帮他确定这一天的最短路线 课堂练习 已知 如图 在l1 l2之间有一点a 求作 分别在l1 l2上确定一点m n 使am mn na最小 如图 作点a关于l1和l2的对称点a1 a2 连接a1a2 交l1于m点 交l2于n点 连接am和an 则am mn na最小 因此 那天这样走路线最短 课堂小结 教材复习题13第15题 课后作业 1 必做作业 你也许很喜欢台球 在玩台球过程中也用到数学知识 如图 四边形abcd是长方形的球桌台面 有两个球分别位于p q两点上 先找出p点关于bc的对称点p 连接p q交bc于m点