一道高考立几试题的多向探究.pdf

1 6 数学通讯 2 O 1 4年第 1 1 1 2期 上半月 辅教 导学 下 面 考 虑f x 一 2 o l l x 1 订 的最 小值 根 据解 题经 验 所求最小值可能会在满足条件的区域 z 0 z z一 1 的 边 界 处 即 z z中有一个 为 1 另两个 为 0时 取得 不妨 用逐 步 调整 法检验 一 下 先比较 f z O 和 f x y 的大小 因为 f x z 一f x Y z O e 0 i l y 1 而 一 丽 F丽 1 r 网 一 1 一 2 订 蕊 F 一2 丽可 二 F 0 所 以 f x z f x Y z O 再 比较 f x z O 和 f x 0 O 的 大小 因为 f x j 0 一 f x y 0 O 一 干了 歹 干T 1 一 二 F 2 丽 二 丽 1 而 j干T 瓜 一 2 0 1 3 2 2 01 1 1 2 0 1 2 2 O 1 l x 所 以 厂 z 0 一f x 0 O 0 从 而 厂 3 0 f x 3 z 0 O 因此 厂 f z 0 f z Y z 0 0 故 f c c f x 0 0 一厂 1 0 0 而 j r 1 0 0 一 2 O 1 2 2 所以f x 2 的 最小值为 2 o 1 2 2 当且仅当 z 中有一个为 1 另两 个 为 0时 取得 说 明 由例 4的解题 步骤 可 以发 现 每 一 步 的转化 都 不是 盲 目 的 在 求 简 的 大 原 则 下 抓 住 解 题 的方 向是关键 逐 步化 繁为 简 参考 文献 1 张奠宙 过伯祥 方均斌 龙开奋著 数学方 法论稿E M3 上海教育出版社 2 0 1 3 2 杨起群 简单 性原则在解题 中的应用 r j 3 小学 教学研 究 2 0 0 7 1 0 E 3 邱炯玲 数学之美 美在简单 J 课堂新风 采 2 0 1 2年 总第 2 5 8期 4 潘仪明 领悟数学解题方法 的美E J G 福建 中学 数 学 2 0 1 2 1 2 E s 王淼生 数学美本质上终究是 简单 口 数 学 教学 2 O 1 3 8 2 0 1 3 2 z o l z 2 0 1 1 x 1 一 z 收稿 日期 2 0 1 4 0 7 1 2 2 0 1 3十 2 一 1 一 道高考立几试题的多向探究 蒋振滨 福建省漳平市第一 中学 3 6 4 4 0 0 2 0 1 4年高考已落下帷幕 今年福建省 高考数 学 试题难 度适 中 题 型稳定 其 中理 科卷 第 1 7 题 吸 引 了笔者的眼球 这是一道立体几何翻折问题 翻 折后图形给 出 试题不难 此题看似平淡 却精彩 纷 呈 本文 从试 题 的不 同角 度 不 同方 向探 究 试 题 的来 龙去 脉 从 中感 悟 高 考 试题 宝 藏 带 给 我 们 的 巨大 财 富 一 试 题呈 现 2 0 1 4年 高考 福建 卷 理 1 7 在平 面 四边 形 A BC D 中 A B B D C D 1 A B I B D C D 1 B D 将 A BD沿BD折起 使得平面 A BD 1 平面 B CD 如 图 1 1 求 证 A B l C D 2 若 M 为AD 中点 求直 线 A D 与平 面MB C 辅教 导学 数学通讯 2 O 1 4年第 1 1 1 2期 上半 月 1 7 所 成角的正弦值 本 题 主 要 考 查 空 间 直 线 与 直 线 直 线 与 平 面 平 面与平 面 之间 的位 置关 系 等基础知识 考查空 间想象 能力 推 理论证 能力 运算 目 求解能力 考查数形结合思 想 化 归 与 转 化 思 想 函数 与方 程思 想 题 目虽 常规 但 解 法灵 活 多 样 能 多 角 度 图 1 C D 地 考查 学 生应 用数 学知 识解 决 问题 的多 种能 力 二 解 法探 究 本文只研究第 2 小题 对立体几何 的解法 大 都 分为 两大 类方 法 一是 传 统 的几 何 解 法 二 是 向量 法 方 法 的多样 性 让 学生 有 所 选 择 向量 法 对 空问想象能力要求不 高 对计 算求解 能力要求 较 高 而传统的几何解法则反之 在平 时教学 中如能 常用这 二石一鸟 的方法教学 则 能更有效地提 高学 生思 维 的灵 活性 和敏捷 性 1 向量 法 过点 B在 平 面 B C D 内作 BE 上 B D 如 图 2 由 1 知 A B 上 平 面 BCD B E c 平 面 BCD BD c 平 面 BC D AB 上 B E A B l B D 以 B 为 坐标 原点 分 别 以丽 百 的方 向为 z轴 图 2 轴 z轴 的正方 向建 立 空 间直 角 坐 标 系 依 题 意 得 B O 0 O C 1 1 0 D O 1 O A O 0 1 M O 1 则 一 1 1 o 蔚一 o 1 1 一 0 1 一 1 设 平面 MB C的法 向量 13 一 Y Z o 则 n 葡一 o n 可 一 o 即 一 0 号 十 号 z 一 0 取 一 1 得 平 面 MBC 的一 个 法 向量 n一 1 一 1 1 设 直 线 A D 与平 面 MBC所 成 的角 为0 1 s i n 0 s I 一 一 B 0 直 线 A D 与平 面 MBC所 成 角 的正弦值 为 2 几何 法 法 一 垂 面法 M 是 AD 的 中点 A B B D B M 上 A D 又 由 1 知 C D 上 面 A B D B M c 面 AB D C D 上 B M C D n A D D B M 上 面 A C D B M 面 MBC 面 MCD 上 面 MBC C MD 是直线 A D 与平面 MB C所成的角 C D 1 M D 一 号 A D 一 C D 上 A D M C 一 S i n C M D 一 争 直 线 A D 与 平 面 MB C所成角的正弦值为 点评 垂面法是解决线面角 二面角常用 的 方 法 在 解 题 时 只 需 找 出 或作 出 已知平 面 的垂 面 再过该垂面与已知直线的交点作交线 垂面与 已知平面的交线 的垂线 则斜线在已知平面的射 影显而易见 线面角 的求解就化 归为平 面直角三 角 形 的 问题 了 法二 等体 积法 在 Rt AC DM 中 C D 1 D M 一 MC一 2 又 BM B C 一 B M z c Mz BC 一 丢 B M C M 一 5 1 s 一 丢 肋 C D 一 1 e 1 M i l l i B C D NNN 3 9 1A B 即 设点 D 到 面 BMC 的距 离 为 h 由 VD M c M 一 得 s B M c 一 号 s 脚 专 一 丢 一 设直 线 A D 与平 面 MBC所成 的角为 0 则 s i n 一 一 直 线 A D 与 平面 MB C所 成 角的正 弦 值 为 点 评 等体 积 法 常用 来 求点 面 距离 线 面 距 离 面 面距 离 对 于线 面角 当斜 线 在 已知 平 面 的 射影 较 难 寻 找 时 可 以用 等体 积 法求 出点 D 到 平 面 MB C的距离 再用所求角的正弦值求线 面角 这样 省 去 了找 线 面 角 的麻 烦 不 能 不 说 是 一 种 好 解 法 法三 嵌 入 法 1 8 数 学通讯 2 O 1 4年第 1 1 1 2期 上半月 辅教导 学 如 能将 原 图形 嵌 入 到 规 则 的 几 何 体 亦 或 将 原 图 进 行 适 当 的 延 展 补体 让 几 何 体 有更 强 的 视 觉 感 无 论 用 向 量法还是用 几何法 将 会 有 更 多 的 解 题 切 入 点 解题 思 路更 清 晰 透 C 图 3 亮 由 A B J B D C D 上 B D 平 面 A BD 上 平面 B C D A B B D C D 自然想 到将 几何 体 放人 正 方 体 如 图 3所 示 以上 各种 解 法 在 此 图 中 仍然 适 用 下 面再 给 出嵌入 后 的另 一 种精 彩解 法 如 图 3 延 长 B M 至 右上 顶点 E 连结 C E D F 用三垂 线 定理 易证 D F 上 面 B C E F A I AD F A 一 1 A D 一 2 D F 3 C OS ADF 设 直线 A D 与平面 MBC所成 的角 为 则s i n口 C O S A DF 一 7 直 线 AD 与平 面 MB C所成 0 角的正弦值为 0 点评 解 完后 长舒一 口气 在 感 叹此 法在解 题中带来 的优越性后 发现正方 体可将立体几何 的空 间感 展 现得 淋漓 尽 致 原 图嵌 入 后 只要 做适 当的延 展 让 有关 点 线 面更 具 空 间 感 让 解 题 得 心 应手 这样 好 的解题 模 型不 用 岂不 可惜 解 完 此 题 后 笔 者 意犹未 尽 思考 在 什 么 情 况下 会 让 我 们 不 自觉 地 想 到 嵌 入 法 呢 为 此 笔 者 做 了 如 下 探 究 三 变 式探 究 1 隐藏 图形 将 试题 的 图 形 隐 去 试 题 难 度 提 升 怎 么 画 图 画 怎样 的 图成 为解 题 的关 键 点 可 以预 见 如 果 任 意画 一个 四面体 虽然 可 以 解 但 图 形 没 有 了 较好 的空 间感 解起 来 费 时费 力 对 于解 题 显 然不 利 由题 目条 件 中给 的 AB上 B D C D 上 B D 平 面 AB D j 平面 B C D 可 将 B D C D 放 于底面 因 A B 上 B D 平面 A BD 上 平面 B C D 正方体模型 自然 浮 出水面 2 改 变角 度 将 条件 平 面 A BD上 平面 B C D 改为 平 面ABD 与平 面 B C D 所 成 二 面 角 的 平 面 角 为 4 5 并 改 变 A B 的长 使 AB为左 侧 面对 角线 将 图形 隐去 一 道 崭新 的试题 出炉啦 题 目 四面体 AB C D 中 B D C D 一 1 A B 一 2 A B l B D C D 上 B D 平 面 A B D 与 平 面 BC D 所成 二 面角 的平 面 角 为 4 5 M 为 AD 中点 求直线 A D 与平面 MB C所成角的正弦值 分 析 在 没 有 给 出立 几 图形 的试 题 中 巧 妙 的构图成了此类问题 的解题关键 点 注意到异面 直线 AB C D 同垂 直 于 直线 B D 抓 住 B D 这 条 关 键 线 将 B D C D 放于 底 面 由 A B l B D A B 只能 落在左 侧 面了 这 样 将 图形 置 于正 方 体 中 显 得 很 自然 如 图 4 C 图 4 3 改变 长度 D 图 5 改 变 A B 的长度 A点 在左 侧 面的对 角线 所在 的直线上运动 让图形进一步的 伸 缩 1 AB变 长 让 A 往 外延 展 题 目 四面体 A BC D 中 肋一 C D 1 AB 一 2 2 A B 上 B D C D l B D 平 面 A BD 与 平 面 BC D 所成二 面 角 的平 面角 为 4 5 M 为 AD 中点 求 直线 A D 与平 面 MBC所 成角 的正 弦值 分 析 过 A 作 底 面 BC D 的垂线 整 个 四面 体 被 嵌入 到底 面 直 角 梯形 的 四棱 锥 如 图 5 用 向量 法 解答轻 而 易举 2 A B 变短 让 A 往 内缩 题 目 四面体 AB C D 中 B D C D AB 一 1 A B上 B D C D J B D 平 面 AB D 与平面 BC D 所 成二 面角 的平 面 角 为 4 5 M 为 AD 中点 求 直 线 AD 与平面 MB C所 成 角 的正弦 值 分析 A 在 左侧 面 的对 角线上 此 时 四面体 被移 入正 方体 内 可 先 画 出 正 方 体 再 将 有 关 点 线 面等元 素 移入 正方 体 内 如 图 6 图 6 C D 图 7 C D 辅 教导学 数学通讯 2 O 1 4年第 l 1 1 2期 上半 月 1 9 4 隐藏 角度 若将平面 A BD 与平面 BC D所成二面角的平 面 角为 4 5 的条件 隐去 弱化 条 件 让 A C动起 来 这样设计可以将 有关最值 问题 融人其 中 许多新 题 应运 而生 题 1 四面体 A BC D 中 B D C D A B 一 1 AB l B D C D 上 BD 1 求四面体 AB C D 的体积的最大值 2 求二面角 C AB D 的最大值 题 2 四面体 AB C D 中 B D C D A B 一 1 AB上 B D 求 四面体 A BC D 的体积的最大值 分析 题 1中将 二 面角 隐去 A 点 在 左侧 面 内运 动 且落 在 以 B为 圆心 1 为半 径 的 圆上 除去 面 B C D上的点 如图 7 当AB上 面 B C D时 体积 1 最大 V 一 U 题 2中 继续 弱化 条 件 将 C D 上 B D 条 件 隐 去 可将面 B C D放在正方体底面 则点 C落在 以D 为 圆心 D B为半 径 的圆上 除 去直 线 B D上 的点 当 A B 上 面 B C D C D 上 B D 时 四面 体 AB C D 的 1 体积最大 V 一 图 8 图 8 四 试 题寻 源 高 考试 题 原创 性 虽 强 但 也 不是 无 源 之水 无 本 之 木 不少 考题 都是 有原 型 的 这些 原 型 要 么来 自教材 要么来 自竞赛题 有些则是过去高考题 的 改编 由以上探究 发现 命 题者 是借 助一种模型 即 两 条 异 面 直 线 AB C D 同 垂 直 于 直 线 BD 即AB上 B D C D上 B D 让 A B动起来 借助 翻折问题将图形锁定在特殊位置上 抓住 B D这条 关键 线让 A 点 在左 侧 面 动起 来 让 C点 在 下 底 面 动起 来 许 多新试 题 因此 而 生 这 样 的模 型并 非无 源可循 在许 多竞赛试 题 中 我们 找到 了它的踪 迹 如 以下 几例 题 1 2 0 1 4 年全国高中数学联赛福建省预赛 试 题 在 三棱 锥 D A B C中 A B B C一 2 A B上 B D B C 上 C D D A 上 A B C DA 一 6 0 则 三棱 锥 D AB C 的体 积为 题 2 2 0 0 9 年全国高中数学联赛江西省预赛 试 题 四面 体 A B C D 中 C D 上 B C AB l B C C D AC A B B C 一 1 平 面 B C D 与 平 面 AB C 成 4 5 的 二 面 角 则 点 B 到 平 面 AC D 的 距 离 为 分析 以上两道联赛试题均 出现 了 A B l B C C D 上 B C 模 型 与 本道 高 考 题 如 出一 辙 从 中窥探到高 考试题与竞 赛试题 有千丝 万缕 的联 系 只要将竞赛试题