线性离散系统的分析.doc

10-4 线性离散系统的分析前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。一、稳定性稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质。本节只讨论线性定常系统的稳定性，而时变系统的稳定性问题是比较复杂的。有两大类的稳定性分析方法。一类是分析离散系统极点在平面内的位置。一个闭环系统是稳定的充分必要条件是其特征方程的全部根都必须分布在平面内以原点为圆心的单位圆内。当然，我们可以用直接的方法求出特征方程，然后再求出其根（例如用贝尔斯特-牛顿叠代法）。但是在工程上希望不经过解特征方程而找到一些间接的方法，例如代数判据法，基于频率特性分析的奈奎斯特法，或通过双线性变换把平面问题变成平面的问题，再用连续系统的稳定判据。另一类研究稳定性的方法是李雅普诺夫第二方法，它规定了关于稳定性的严格定义和方法。本节只介绍代数判据法。Routh、Schur、Cohn和Jury都研究过相类似的稳定判据。如果已知一个系统的特征多项式 (10.87)Jury把它的系数排列成如下的算表： 其中表中第一行和第二行分别是(10.87)中的系数按正序和倒序排列的。这两行的最后两个元素相除而得到。第一行的各元素分别减去第二行的相应元素乘以，这就得到第三行的各元素。显然，第三行的最后一个元素为零，即第三行比前两行少一个元素。第四行的元素是第三行的元素反过来排列的。这样一直做下去，直到第行，即此行只剩下一个元素为止。于是有Jury稳定性判据如果，方程(10.87)的根全在单位圆内的充分必要条件是：算表中所有奇数行的第一个元素都是正数。如果这些元素中有的为负数，则负元素的个数代表(10.87)中含有在单位圆以外根的个数。例10-17 已知特征方程为写出Jury算表为如果要求特征方程的根全在单位圆内，则必须满足即系数和使此二阶系统稳定的区间如图10-17所示。11-2-12-1图10-17二、能控性在现代控制理论中有两个基本的概念，一个是讨论是否有可能把一个系统从任何初始状态控制到任何其它状态；另一个是讨论通过测量动力学系统的输入和输出能否确定其状态。这就是卡尔曼在1960年提出的能控性和能观性的概念。 1. 定义我们现在来讨论线性定常系统 (10.88)的能控性问题。对此系统，如能找到控制序列，把系统(10.88)从任意初始状态，在有限时间内控制到，则此系统是能控的。对系统(10.88)，如能找到控制序列，把系统从任意初始状态，在有限时间内控制到任一状态，则此系统是能达的或完全能控的。能控并不意味着就能达。这一点是很容易理解的，因为如果有，则此系统即使不加控制，在步内也能达到零状态。此系统是能控的，但不一定能达。对线性定常系统来说，如是可逆的，能控与能达是等价的。2. 能控性定理定理：系统(10.88)的能控性矩阵为 (10.89)(10.88)的状态完全能控的充分必要条件是矩阵的秩等于，即 (10.90)这个定理的证明是很容易的。由(10.88)，有或写成要使，这里是任一要求达到的状态，则要由下列方程求出它的解存在的条件是的秩为。但要注意如果控制作用不是单输出情形，这解将不是唯一的。这里要对能控性定理作简要的讨论：1）如果，从定理看出在步内不可能把系统从状态控制到，而且再增加几步也不能控制到。例如再增加一步控制，则能控性阵的秩仍小于，即由Cayley-Hamiltom定理其中()是的特征方程的系数。它说明是的线性组合，于是与其它列之间不是线性独立的，因而并不增加能控性矩阵的秩。再增加几步控制，结果仍是一样。因而在步内不能达到，而且无论用多少步控制都不可能达到。2) 能控性是系统的一个结构特点。如果系统是不能控的，办法只有修改系统的结构或结构参数。3) 如果要了解系统输出的能控性，而不是状态的能控性，用类似于状态能控性的定义和定理的办法就可以得到。即如定义系统输出能控性阵后，如果要把系统从任意初始输出，在有限时间内控制到任一输出的充分必要条件是输出能控性矩阵的秩为。这里是输出向量的维数。例10-18 两个质量块和用阻尼器相连，如果在一个质量块上施加外力，能不能控制两个质量块的位置和速度？此系统如图10-18所示。图10-18 一个机械系统解：写出此系统的微分方程为设和，可写出其状态方程为能控性矩阵为其秩为2，即在的作用下质量块和的状态和是完全能控的。下面我们来判断此机械系统的位置能控性。利用状态方程及能控性矩阵其秩小于4，即在的作用下不能控制此系统的状态。如果不考虑，则有及其秩为3，这三个状态是完全能控的。三、能观测性对系统(10.88)来说，如果在有限时间内，能通过观测其输入和输出值，唯一地确定系统的初态，则此时系统在是能观测的。如果对任意初态都能观测，则此系统是完全能观测的。能观测性是一个很有用的概念。一个系统如果能由其输出（它是一些能直接观测到的状态)，在最短时间内重构出那些不能被直接测量的状态，这对控制系统的设计是十分重要的。如果系统是能控的和能观测的，才有可能实现最优控制。1. 能观测性定理定理：系统(10.88)的能观测性阵为 (10.91)(10.88)的状态完全能观测的充分和必要条件是矩阵的秩等于，即 (10.92)这个定理的证明也可以由(10.88)式直接得到，由可写成 (10.93)如果要从到的输入和输出值计算出系统的初态，则(10.93)中矩阵的秩必须为。满足能观测性的系统，能通过步的观测确定其初始状态。如果即使再多观测几步也不能确定其初态。例如再多观测几步，能观测性阵的秩仍小于。即其理由仍是可被表示成的线性组合，于是与其它行之间不是线性独立的，这就不能增加能观测性阵的秩。再增加几步观测，结果也是这样。因而一个系统由步的观测值不能确定，无论用多少步观测都不可能。例10-19 一个旋转刚体的动力学方程为它有两个状态：转角和转速。如果测量出，经过若干步后可以计算出。但是仅测量出，并不一定能确定 (除非知道和所有的)，因而是不能观测的。原因如下。选择状态变量则其状态方程为离散化后，得如果只测量，即，则其秩为2，系统是能观测的。如果只测量，即，则其秩小于2，系统是不完全能观测的。习题1. S平面与Z平面的映射关系a) S平面的虚轴，映射到Z平面为_b) S平面的虚轴，当由变化时，Z平面上轨迹的变化如何？c) S平面的左半平面映射到Z平面为_d) S平面的右半平面映射到Z平面为_2用代数判据法判断下列系统的稳定性：1）系统的特征方程为2）3 系统如下图所示，其中T1秒，K2x(t)TY(z)+ T1） 试判断系统的稳定性；2） 当采样频率不变，但提高K20时