线代数在中学数学中的应用.doc

目目 录录 摘要 1 ABSTRACT 2 前言 3 第 1 章 行列式在中学数学中的应用 4 1 1 用行列式证明等式 4 1 2 用行列式分解因式 5 1 3 行列式在解析几何中的应用 6 第 2 章 线性方程组在中学数学中的应用 7 第 3 章 二次型理论在中学数学中的应用 8 第 4 章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用 10 4 1 中学数学引入矩阵的意义 10 4 2 中学数学中矩阵与变换 11 4 3 线性变换面积定理 11 4 4 利用矩阵的秩判断两直线位置关系 12 4 5 中学数学中矩阵变换的常见类型 12 第 5 章 用向量法解决初等几何问题 13 结论 15 参考文献 16 致谢 17 苏州大学本科生毕业设计 论文 1 摘要摘要 线性代数是数学的一个分支 是一门数学基础课程 近几年随着高等数学已渐渐走 入初等数学 线性代数在初等数学中也有广泛应用 本文共分为五个部分 例说行列式 在中学数学中的应用 线性方程组在中学数学中的应用 二次型理论在中学数学中的应 用 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用 用向量法解决初等几何问题 本文主要是 从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程 关关 键键 词词 行列式 齐次线性方程组 二次型 矩阵 向量 苏州大学本科生毕业设计 论文 2 Abstract Linear algebra is a branch of mathematics It is a mathematical foundation course In recent years some content of higher mathematics are begun to learn by middle school students And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics This paper is divided into five parts In these parts we will give a lot of examples to show some applications of determinant Linear equations quadratic theory matrix and transform vector in elementary mathematics Keywords determinant homogeneous linear system quadratic form matrix vector 苏州大学本科生毕业设计 论文 3 前言前言 线性代数是学习自然科学 工程和社会科学的一门高度抽象且逻辑性很强的基础理 论课程 它本身理论性强 并且计算繁杂 作为高等学校基础课 除了作为各门学科的 重要工具以外 还是提高人才的全面素质中起着重要的作用 他在培育理性思维和审美 功能方面的作用也得到充分的重视 可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知 识 学习数学就必须解题 解题要以自己的实践过程来实现 本文在阐述一些重要的概 念和定理之后 常常附以具体例子 这样可以使读者从实例中了解问题的具体内容 掌 握解决问题的思路和算法步骤 以减少理解障碍 从而提高逻辑读者的推理和判断的能 力 苏州大学本科生毕业设计 论文 4 第第 1 1 章章 行列式在中学数学中的应用行列式在中学数学中的应用 随着高中数学新课程的实施 行列式在中学数学中的渗透 应用越来越受关注 本文 从三个方面浅析其在中学数学中的应用 1 11 1 用行列式证明等式用行列式证明等式 利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法 利用 其结果相等而得到等式的证明 例例 1 1 已知 求证 0abc 333 3abcabc 证明 令 则 333 3Dabcabc 000 0 abcabcabcabc Dcabcabcab bcabcabca 即 333 30abcabc 例例 2 2 已知 求证 1axby 1bxcy 1cxay 222 ab bccaabc 证明 令 则有 222 Dab bccaabca bcb cbc ac 110 1100 110 acabaxbyab Dbacacxayca cbbcbxcybc 例例 3 3 在中 求证 ABC 222 coscoscos1 2coscoscosABCABC 证明证明 由于 222 1coscos coscoscos2coscoscos1cos1cos coscos1 CB ABCABCCA BA coscoscoscos0coscos 11 coscos1cos01cos0 coscoscos10cos1 abCBCBCB aCbcAAA aa aBbBcAA 所以 在中 成立 ABC 222 coscoscos1 2coscoscosABCABC 苏州大学本科生毕业设计 论文 5 例例 4 4 求证 222 coscoscos 2coscoscos 1abababab 证明 因为 222 1coscos cos1cos 1 2coscoscos coscoscos coscos 1 D ab aababababab aab 又 2 2 100 0sinsinsin0 0sinsinsin Daab abb 故 222 coscoscos 2coscoscos 1abababab 1 21 2 用行列式分解因式用行列式分解因式 由行列式的定义 由此启发 我们可以把一个代数式 1112 11221221 2122 aa a aa a aa 看成两个式子的差 而每个式子又可以看成两个因式的乘积 即 FFMNPQ 均为代数式 于是 由此即可根据行列式的性质 对某些多项式进 M N P Q MP F QN 行因式分解 例例 1 1 分解因式 432 62420 xxxx 解 43222 62420 61 4 65 xxxxxxxx 2 2 2 2 1165 4 461461 xx x xxxx 22 4 65 2 1 2 5 xxxxxxx 例例 2 2 将分解因式 33 86abab 解 33 2111 862 2 2 22 ab ababababab baba 22 2 224 a bababab 例例 3 3 分解因式 222222 abbccaacbacb 苏州大学本科生毕业设计 论文 6 解 222222222222 abbccaacbacba bcb cac ab 222 111 abc abcab bc ca 利用行列式分解因式的关键是将所给多项式的形式写成行列式的形式 并注意行列 式的排列规则 1 31 3 行列式在解析几何中的应用行列式在解析几何中的应用 定理定理 1 1 1 以平面内三点为顶点的的面积 2 112233 A x yB xyC xyABCD 的绝对值 11 22 33 1 1 1 2 1 xy Sxy xy 2 通过两点的直线方程为 1122 P x yQ xy 11 22 1 10 1 xy xy xy 例例 求过点和点的直线的方程 2 3 1 4 解解 由 得直线的方程为 1 2310 141 xy 50 xy 3 平面内三条直线 111122223333 0 0 0La xb ycLa xb ycLa xb yc 相较于一点或互相平行的充要条件是 111 222 333 0 abc abc abc 推论推论 平面上三点在一条直线上的充要条件是 2 112233 P x yQ xyR xy 11 22 33 1 10 1 xy xy xy 定理定理 2 2 通过平面上三点的圆的方程为 2 112233 A x yB xyC xy 22 22 1111 22 2222 22 3333 1 1 0 1 1 xyxy xyxy xyxy xyxy 苏州大学本科生毕业设计 论文 7 例例 1 1 平面上给出三个两两相交的圆 每两个圆有一条根轴 则三条根轴互相平行或交于 一点 证明证明 设三个圆的方程分别为 两两相减得三条交线正 22 0 1 2 3 iii xyD xE yFi 是所述三条根轴 它们所在的直线方程为 121212 131313 323232 0 0 0 DDxEEyFF DD xEEyFF DDxEEyFF 三条直线方程的系数行列式为 121212121212 131313232323 323232323232 0 DDEEFFDDEEFF DDDEEFFDDEEFF DDEEFFDDEEFF 故三直线平行或相较于一点 本题实质是求一封闭图形经过仿射变换后所得图形的面积 利用线性变换面积定理求 解本题 居高临下 让人耳目一新 第第 2 2 章章 线性方程组在中学数学中的应用线性方程组在中学数学中的应用 线性方程组在中学就学过 主要是研究若干变量的相互关系 比如下面就是一个线 性方程组的例子 一个庙里有一百个和尚 这中间有大和尚有小和尚 这一百个和尚每顿饭总共吃一 百个馒头 其中大和尚一个人吃三个 小和尚三个人吃一个 问大和尚和小和尚各多少 人 解解 设大和尚的数目是 小和尚的数目是 则有xy 解之得 100 1 3100 3 xy xy 25 75 x y 其实 更多元的线性方程组也是同样的解法 定理定理 含有 n 个未知量 n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是 方程组的系数 3 行列式等零 例例 1 1 已知函数 证明 中至少有一个不小于 2 f xxaxb 1 f 2 f 3 f 1 2 解解 把 1 2 3 代入函数表达式 列方程组x 苏州大学本科生毕业设计 论文 8 1 1 0 2 4 2 0 3 9 3 0 abf abf abf 上述关于 a b 1 的齐次线性方程组有非零解 故 展开整理得 111 1 214 2 0 319 3 f f f 假设结论不成立 即 易推出 1 2 2 3 2fff 1 1 2 f 1 2 2 f 1 3 2 f 从而产生矛盾 故命题成立 2 1 2 2 3 2fff 例例 2 2 已知 求证 x a yz y b zx z c xy 1 2ab bccaabc 证明证明 由已知得关于得方程组 x y z 0 0 0 xayaz bxybz cxcyz 因为不可能为零 所以由定理知 x y z 1 10 1 aa bb cc 化简得即 10abcabcacbcab 1 2ab bccaabc 由已知条件的结构特征与待解问题之间的关系建立齐次线性方程组 构造三阶行列式 其 解题思路新颖 能够巧妙地解决中学数学中的若干棘手问题 凸显了用高等数学理论与方 法解决初等数学问题的优越性 第第 3 3 章章 二次型理论在中学数学中的应用二次型理论在中学数学中的应用 考虑一个 n 元二次型 其中 222 1211 112121122222 2 22 nnnnnnnn f x xxa xa x xa x xa xa x xa xX AX 12 1 ijn aR i jn Xx xx 11121 12222 12 n n nnnn A aaa aaa aaa 定义定义一个二次型经过非线型替换变成的平方和 4 12 n f x xx 苏州大学本科生毕业设计 论文 9 称为的标准型 222 121 122 nnn f x xxd xd xLd x 1 1 i dR in 12 n f x xx 定理定理1 1 实数域上任意一个二次型 都可以经过非退化的线性替换变成平方 4 12 n f x xx 和 1 的形式 定理定理2 2 一个实二次型可以分解成两个实数系的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的 4 秩等于2和符号差为0 或秩等于1 例例 1 1 试判断下列多项式在 R 上能否分解 若能 分解之 22 12121212 1 2423f x xxxx xxx 22 1212122 2 3241f x xxxx xx 解解 1 1 令 则 下面考虑 22 12312121323 2423g x xxxxx xx xx x 1212 1 f x xg x x 的秩和符号差 对作非线性替换 123 g x xx 123 g x x x 1123 223 33 2 1 4 yxxx yxx yx 即 1123 223 33 1 2 2 1 4 xyyy xyy xy 有 可见的秩是3 有定理2 知不能分 222 123123 1 2 8 g x x xyyy 123 g x x x 123 g x x x 解 从而也不能分解 12 f x x 解解 2 2 令 则下面考虑 222 1231212233 324g x x xxxx xx xx 1212 1 f x xg x x 的秩和符号差 对作非线性替换 123 g x x x 123 g x x x 112 223 33 2 yxx yxx yx 即 1123 223 33 11 22 1 2 xyyy xyy xy 有 从而 可见的秩为2 符号 22 12312 g x x xyy 22 121212 1 f x xg x xyy 12 f x x 差为0 有定理2 知可以分解 且 12 f x x 22 12121212121212 1 31 1 f x xg x xyyyyyyxxxx 定理定理 2 2 对于 n 元实二次型为的特征值 则对于任意 4 1212 nn f x xxX AXlll A 有 n XR 12 min max ini X Xf x xxX X 例例 3 3 设是实数 且满足 则的最大值与最小值是 x y 22 3xxyy 22 xxyy 解解 令 则的矩阵 22 1 1 2 1 1 2 x f x yxxyyx y y f x y 1 1 2 1 1 2 A 苏州大学本科生毕业设计 论文 10 令 因此 特征值 1 1 31 2 0 122 1 2 IA 12 13 22 ll 由定理得 注意到 解得 又 2222 13 22 xyf x yxy 3f x y 22 26xy 从而 所以的 222222 2 2 3xxyyxyf x yxy 22 19xxyy 22 xxyy 最大值为 9 最小值为 1 由此可见 运用高等代数中二次型定理可以顺利解决二次型在条件 12 n f x xx 下的取值范围 解法流程清晰 易于掌握 2 1 n i i xa 第第 4 4 章章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用矩阵与变换引入中学数学的意义及应用 新课标中学数学的一个重大变化就是把大量原属高等数学的内容下放到中学供学生 选修 以开阔学生的视野 满足不同学生的数学需要 促进学生的数学发展 被下放的有 矩阵与变换 数列与差分 球面几何 对称与群等十几个专题 下面对中学数学引入矩 阵知识的意义及作用 进行初步的探讨 4 14 1 中学数学引入矩阵的意义中学数学引入矩阵的意义 中学数学引入矩阵初步知识的意义 本人认为 主要有四个方面 首先 为表达数 据提供新的工具 因此 中学数学引入矩阵知识可为学生提供一个表达数据的新工具 一 是学生更好的学习概率 统计 技术原理等课程 也能使学生更好地适应现实生活中的 需要 其次 为研究映射提供了一个新平台 在中学数学中 映射是最重要的基本概念 在新课程中学数学体系中 直接与映射有关的内容就有函数 向量 数列 复数 曲线 与方程 极坐标与参数方程等十几个方面映射不仅是中学数学的重要概念 也是学习高 等数学的必备基础 但映射的表示方法 中学数学中原来只有解析法 列表法和图像法 这对于扩充学生的知识视野 尤其是对学习高等数学的需要 似嫌不足 因此 中学数学 引入矩阵可为表达映射提供一种新的方法 第三 给线性方程组的解法开辟一条新的途径 引 入矩阵知识及行列式以后 就可以得到解线性方程组的公式 克拉姆法则 这不仅为中 学数学解线性方程组找到一条新的途径 而且有利于与高等数学相连接 第四 综合应 用 为高等数学与其他模块的学习提供帮助 例如网络图 信息与密码 概率与统计 生 苏州大学本科生毕业设计 论文 11 态学等 都可以用矩阵表达或者求解 引入矩阵知识 可为学习这些知识提供有力的工 具 4 24 2 中学数学中矩阵与变换中学数学中矩阵与变换 中学数学中由矩阵建立的变换就是平面上的坐标变换 其中 矩阵起着 对应法则 的作用 用二阶矩阵确定的变换 就是构造映射 使平面上的点变成点 ab A cd x y 这个映射的对应法则就是左乘 在这个变换中 矩阵 abxx cdyy ab cd 称之为变换矩阵 变换矩阵不同 得到的是不同的变换 ab cd 例例 1 1 已知在一个二阶矩阵对应变换作用 点变成了点 点变成M 1 2A 7 10A 2 0B 了点 求矩阵 2 4B M 解解 设 则 ab M cd 17 210 ab cd 22 04 ab cd 所以 解得 所以 27 210 22 24 ab cd a c 1 3 2 4 a b c d 13 24 M 4 34 3 线性变换面积定理线性变换面积定理 定理定理 1 1 线性变换将平面上所有图形的面积放大或缩小同一倍数 这个倍数就是变换行 5 列式的绝对值 例例 1 1 在平面直角坐标系中 已知平面区域 则平面区xoy 1 0 0Ax yxyxy 且 域的面积为 Bxy xyx yA 解解 依题意 平面区域 A 是由 围成的三角形 面积 S 为 平面区域 0 1O 1 0 C 0 1 D 1 2 变成平面区域所对应的变换矩阵为AB 苏州大学本科生毕业设计 论文 12 则变换行列式的绝对值 所以平面区域的面积为 11 11 11 det2 11 B S 1 21 2 4 44 4 利用矩阵的秩判断两直线位置关系利用矩阵的秩判断两直线位置关系 定理定理 2 2 设空间两直线 6 1111 2222 0 0 AxB yC zD L A xB yC zD 3333 4444 0 0 A xB yC zD L A xB yC zD 设矩阵的秩为 矩阵的秩为 则 1 当 111 222 333 444 ABC ABC A ABC ABC r A 1111 2222 3333 4444 ABCD ABCD A ABCD ABCD r A 4 时 两直线异面 2 2 时 两直线重合 3 3 时 两直线相交 r A r A r A r A 4 3 时 两直线平行 r A r A 例例 判断两直线和的位置关系 1 40 310 xyz L xyz 2 2350 3560 xyz L xyz 解解 111411141021 113202260113 213501130000 315602260000 行变行变 故 2 所以直线与直线重合 r A r A 1 L 2 L 4 54 5 中学数学中矩阵变换的常见类型中学数学中矩阵变换的常见类型 中学数学中由矩阵确定的变换的常见类型 列表说明如下 表表 1 1 中学数学中矩阵变换的常见类型中学数学中矩阵变换的常见类型 7 变换名称变换矩阵几何特征 恒等变换 10 01 E 图形变成图形FF 苏州大学本科生毕业设计 论文 13 伸压变换 1 沿轴方向 2 沿 轴方向x 1 0 01 k M y 2 10 0 M k 图形变成图形 大小FF 和形状可能变化 反射变换 关于轴反射关于轴反射关于x 1 10 01 M y 2 10 01 M 反射关于原点反射yx 3 01 10 M 4 10 01 M 图形变成图形 大小FF 和形状不变 位置可能改变 旋转变换 cossin sincos M 图形变成图形 大小FF 和形状不变 位置可能改变 投影变换 垂直投到轴 垂直投到轴 x 1 10 00 M y 2 00 01 M 图形变成线或点F 切变变换 1 沿轴方向 2 沿 轴方向x 1 1 01 k M y 2 10 1 M k 图形变成图形 大小FF 和形状可能变化 第第 5 章章 用向量法解决初等几何问题用向量法解决初等几何问题 众所周知 向量是现代数学的基本概念之一 在高中数学教材中引入向量概念也是 数学现代化的需要 向量是初等数学与高等数学的衔接点 这也是向量在数学课程改革 中受到青睐的魅力所在 向量有利于培养学生数形结合的思想方法 有利于拓宽解题思 路 有利于发展学生的运算能力 有利于与高等教育衔接等方面 例例 1 证明三角形的余弦定理 证明证明 在中 设 且 ABCDBCa CAb ABc aa bb cc 那么即 从而0abc abc 222 2abcb c 所以 即 222 2cos abca bA 222 2cosabcbcA 例例 2 2 求证 连结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半 证明证明 分别为三角形的两边与的中点 那么M NABCDABAC 所以 且 1111 2222 MNANAMACABACABBC MN BC 1 2 MNBC 苏州大学本科生毕业设计 论文 14 F E B A P C 例例 3 3 如图 三菱锥 底面 PABC PBABC90BAC 点4 2PBBCCA 分别是的中点 EF PCAP 求二面角的余弦值 ABEF 解解 以 BP 所在直线为 z 轴 BC 所在直线为 y 轴 建立空间直角坐标 系 则 0 0 0 4 2 4 2 0 0 4 2 0 0 0 4 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BACPEF 因为 PB 平面 ABC 所以 PB AC 又 AC CB 所以 AC 平面 PBC 所以 AC PC 所以 EF PC 又 BE PC 所以 PC 平面 BEF 而 所以平面 BEF 的一个法向量 0 4 2 4 2 PC 1 0 1 1 n 设平面 ABE 的法向量 则 则 x y z 1 1 1 2 nx y z 2 2 2 22 20 2 22 20 nBEyz nBAxy 取 x 1 则平面 ABE 的一个法向量 所以 2 1 1 1 n 12 6 cos 3 n n 所以二面角 A BE F 的平面角的余弦值为 6 3 苏州大学本科生毕业设计 论文 15 结论结论 线