马尔科夫预测法期望利润预测PPT课件.ppt

马尔科夫预测法 第一节基本原理 一 基本概念1 随机变量 随机函数与随机过程一变量x 能随机地取数据 但不能准确地预言它取何值 而对于每一个数值或某一个范围内的值有一定的概率 那么称x为随机变量 假定随机变量的可能值xi发生概率为Pi即P x xi Pi对于xi的所有n个可能值 有离散型随机变量分布列 Pi 1对于连续型随机变量 有 P x dx 1 在试验过程中 随机变量可能随某一参数 不一定是时间 的变化而变化 如测量大气中空气温度变化x x h 随高度变化 这种随参变量而变化的随机变量称为随机函数 而以时间t作参变量的随机函数称为随机过程 也就是说 随机过程是这样一个函数 在每次试验结果中 它以一定的概率取某一个确定的 但预先未知的时间函数 2 马尔科夫过程随机过程中 有一类具有 无后效性性质 即当随机过程在某一时刻to所处的状态已知的条件下 过程在时刻t to时所处的状态只和to时刻有关 而与to以前的状态无关 则这种随机过程称为马尔科夫过程 即是 ito为确知 it t to 只与ito有关 这种性质为无后效性 又叫马尔科夫假设 简例 设x t 为大米在粮仓中t月末的库存量 则x t x t 1 y t G t t月的转出量第t 1月末库存量 G t 为当月转入量x t 可看作一个马尔科夫过程 3 马尔科夫链时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链 例 蛙跳问题假定池中有N张荷叶 编号为1 2 3 N 即蛙跳可能有N个状态 状态确知且离散 青蛙所属荷叶 为它目前所处的状态 因此它未来的状态 只与现在所处状态有关 而与以前的状态无关 无后效性成立 1 2 3 4 P33 P22 P44 P41 P42 P31 P32 写成数学表达式为 P xt 1 j xt it xt 1 it 1 x1 i1 P xt 1 j xt it 定义 Pij P xt 1 j xt i 即在xt i的条件下 使xt 1 j的条件概率 是从i状态一步转移到j状态的概率 因此它又称一步状态转移概率 由状态转移图 由于共有N个状态 所以有 二 状态转移矩阵1 一步状态转移矩阵系统有N个状态 描述各种状态下向其他状态转移的概率矩阵P11P12 P1N定义为P21P22 P2N PN1PN2 PNN这是一个N阶方阵 满足概率矩阵性质1 Pij 0 i j 1 2 N非负性性质2 Pij 1行元素和为1 i 1 2 N N N P 如 W1 1 4 1 4 1 2 0 W2 1 3 0 2 3 W3 1 4 1 4 1 4 1 2 大于1W4 1 3 1 3 1 3 0 2 3 不是非负3 若A和B分别为概率矩阵时 则AB为概率矩阵 概率向量 非概率向量 2 稳定性假设若系统的一步状态转移概率不随时间变化 即转移矩阵在各个时刻都相同 称该系统是稳定的 这个假设称为稳定性假设 蛙跳问题属于此类 后面的讨论均假定满足稳定性条件 2004 11 22 3 k步状态转移矩阵经过k步转移由状态i转移到状态j的概率记为P xt k j xt i Pij k i j 1 2 N定义 k步状态转移矩阵为 P11 k P12 k P1N k P PN1 k PN2 k PNN k 当系统满足稳定性假设时P P P P P其中P为一步状态转移矩阵 即当系统满足稳定性假设时 k步状态转移矩阵为一步状态转移矩阵的k次方 k k k 例 设系统状态为N 3 求从状态1转移到状态2的二步状态转移概率 解 作状态转移图有三个状态解法一 由状态转移图 1 1 2 P11 P12 此三个都是经过两步完成的 1 2 2 P12 P221 3 2 P13 P32P12 P11 P12 P12 P22 P13 P32 P1i Pi2 1 3 2 P13 P32 P11 P12 P12 P22 解法二 k 2 N 3P11 2 P12 2 P13 2 P P21 2 P22 2 P23 2 P31 2 P32 2 P33 2 P11P12P13P11P12P13 P P P21P22P23P21P22P23P31P32P33P31P32P33得 P12 2 P11 P12 P12 P22 P13 P32 P1i Pi2P12 2 是第一行乘以第二列的结果 例 味精销售问题已连续统计六年共24个季度 确定畅销 滞销界限 即只允许出现两种状态 且具备无后效性 设状态1为畅销 状态2为滞销 作出状态转移图 图中 P11为当前畅销 连续畅销概率 P12为当前畅销 转滞销概率 P22为当前滞销 连续滞销概率 P21为当前滞销 转畅销概率 1 2 P22 P11 P12 P21 数据在确定盈亏量化界限后的统计表如下 t12345678910111213状态 t1415161718192021222324状态 进行概率计算时 第二十四个季度为畅销 但后续是什么状态不知 故计算时不能采用 只用于第二十三季度统计 有 P11 7 7 7 0 5 P12 7 7 7 0 5 P21 7 7 2 0 78 P22 2 7 2 0 22则0 50 50 780 22此式说明了 若本季度畅销 则下季度畅销和滞销的可能性各占一半若本季度滞销 则下季度滞销有78 的把握 滞销风险22 P 二步状态转移矩阵为 0 50 50 50 50 780 220 780 220 640 360 56160 4384P11 2 P12 2 P21 2 P22 2 P P 2 2 三 稳态概率 用于解决长期趋势预测问题 即 当转移步数的不断增加时 转移概率矩阵P的变化趋势 1 正规概率矩阵 定义 若一个概率矩阵P 存在着某一个正整数m 使P的所有元素均为正数 Pij o 则该矩阵称为正规概率矩阵 k 例 1 21 41 4P 1 31 31 3为正规概率矩阵2 51 52 501P11 01 21 2但当m 2 有有Pij 0它也是正规概率矩阵 P每个元素均为正数 但1001就找不到一个正数m 使P的每一个元素均大于0 所以它不是正规概率矩阵 也就是说单位矩阵不是正规概率矩阵 P 2 2 P m P 2 2 固定概率向量 特征概率向量 设P为NN概率矩阵 若U U1 U2 UN 为概率向量 且满足UP U 称U为P的固定概率向量例011 21 2为概率矩阵P的固定概率向量U 1 3 2 3 检验UP 1 32 3 011 21 2 1 32 3 注 U是行向量 P 3 正规概率矩阵的性质定理一设P为NN正规概率矩阵 则A P有且只有一个固定概率向量 唯一性 U U1 U2 UN 且U的所有元素均为正数Ui 0B NN方阵P的各次方组成序列P P P P趋于方阵T 且T的每一个行向量都是固定概率向量U 即U1U2 UNUlimPk T U1U2 UNU这个方阵T称稳态概率矩阵 2 3 k 这个定理说明 无论系统现在处于何种状态 在经过足够多的状态转移之后 均达到一个稳态 因此 欲求长期转移概率矩阵 即进行长期状态预测 只要求出稳态概率矩阵T 而T的每个行向量都是固定概率向量 所以只须求出固定概率向量U就行了 定理二 设X为任意概率向量 则XT U即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为固定概率向量 U1U2 UNXT X U1 XiU1 Xi U1 Xi U1U2 UN U1U2 UN U Xi 1 2020 1 30 24 可编辑 例 若0 40 30 3P 0 60 30 1求T0 60 10 3解 设U U1U2U3 U1U21 U1 U2 由UP U有0 40 30 3 U1U21 U1 U2 0 60 30 1 U1U2U3 0 60 10 3 即 0 2U1 0 6 U1 U1 0 50 2U1 0 2U2 0 1 U2 U2 0 25 0 2U2 0 3 U3 U3 0 25 U 0 50 250 25 则0 50 250 25T 0 50 250 250 50 250 25说明 不管系统的初始状态如何 当系统运行时间较长时 转移到各个状态的概率都相等 列向量各元素相等 即各状态转移到1状态都为0 5 2状态都为0 25 3状态都为0 25 第二节市场占有率预测 商品在市场上参与竞争 都拥有顾客 并由此而产生销售 事实上 同一商品在某一地区所有的N个商家 或不同品牌的N个同类产品 都拥有各自的顾客 产生各自销售额 于是产生了市场占有率定义 设某一确定市场某商品有N个不同品牌 或N个商家 投入销售 第i个商家在第j期的市场占有率Si j xi j xi 1 2 N其中xi j 为第i个商家在第j期的销售额 或拥有顾客数 x为同类产品在市场上总销售额 或顾客数 市场占有率所需数据可通过顾客抽样调查得到 一般地 首先考虑初始条件 设当前状态 即j 0 为S 0 S1 0 S2 0 SN 0 第i个商家Si 0 xi 0 x xi 0 Si 0 x即当前第i个商家市场占有率与初始市场占有率及市场总量有关 同时假定满足无后效性及稳定性假设 由于销售商品的流通性质 有第i个商家第j期销售状为 xi k x1 0 P1i k x2 0 P2i k xN 0 PNi k xS1 0 P1i k xS2 0 P2i k xSN 0 PNi k P1i k x S1 0 S2 0 SN 0 P2i k PNi k 有 Si k xi k xP1i k S1 0 S2 0 SN 0 P2i k PNi k 故可用矩阵式表达所有状态 S1 k S2 k SN k S1 0 S2 0 SN 0 P即S k S 0 P当满足稳定性假设时 有S k S 0 P这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有率k步预测模型 k k k 例 东南亚各国味精市场占有率预测 初期工作 a 行销上海 日本 香港味精 确定状态1 2 3 b 市场调查 求得目前状况 即初始分布c 调查流动状况 上月转本月情况 求出一步状态转移概率 1 初始向量 设上海味精状况为1 日本味精状况为2 香港味精状况为3 有S 0 S1 0 S2 0 S3 0 0 40 30 3 2 确定一步状态转移矩阵P11P12P130 40 30 3P P21P22P23 0 60 30 1P31P32P330 60 10 33 3步状态转移矩阵 假定要预测3个月后 P11 3 P12 3 P13 3 0 4960 2520 252P3 P21 3 P22 3 P23 3 P 0 5040 2520 244P31 3 P32 3 P33 3 0 5040 2440 252 3 4 预测三个月后市场0 4960 2520 252S 3 S 0 P3 0 40 30 3 0 5040 2520 2440 5040 2440 252S1 3 0 4 0 496 0 3 0 504 0 3 0 504 0 5008S2 3 0 2496S3 3 0 2496 二 长期市场占有率预测这是求当k 时S k 我们知道 S k S 0 PlimS k S 0 limP S 0 T U因此 在已知初始条件下求长期市场占有率就是求稳态概率矩阵 也是求固定概率向量 求固定概率向量的方法 我们在前一节已有例子 只不过说明了长期市场占有率也是只与稳态矩阵有关 与初始条件无关 k k 上面味精例子 0 40 30 3已知P 0 60 30 10 60 10 40 50 250 25求出T 0 50 250 25 limPk0 50 250 25limS k 0 50 250 25 即中国味精可拥有50 的长期市场 第三节期望利润预测 是考虑 一个与经济有关随机系统在进行状态转移时 利润要发生相应变化 例如商品连续畅销到滞销 显然在这些过程变化时 利润变化的差距是很大的 所以有如下的定义 若马尔科夫链在发生状态转移时 伴随利润变化 称这个马尔科夫链为带利润的马尔科夫链 设系统有N个状态状态i经过一步转移到状态j时 即当事件发生时 Pij 1 所获得的利润为riji j 1 2 N于是有利润矩阵r11r12 r1NR r21r22 r2n rN1rN2 rNN显然 rij 0盈利 rij 0亏损 rij 0平衡由于系统状态转移为随机的 得到的利润也应当是随机的 这个利润只能是期望利润 11 即时期望利润 一步状态转移期望利润 考虑状态i状态转移i 1i 2 i i i N一步转移概率Pi1Pi2 Pii PiN利润变化ri1ri2riiriN所以 从i转到1的期望利润值P11r11从i转到2的期望利润值P12r12 从i转到i的期望利润值Piirii 从i转到N的期望利润值P1Nr1N 而从状态i开始经过一步转移后所得到的期望利润值为 Pijrij Pi1ri1 Pi2ri2 PiNriN这个值称为即时期望利润 又是一步状态转移期望利润 是概率定义下的利润均值 记为Vi Vi Pijrij特别地Vi 0 即当k 0 未转移 没有利润变化 1 0 2 k步转移期望利润递推公式k步转移期望利润可以分解为两步 即一步和k 1步 一步转移期望利润为Vi Pijrij现考虑k 1步首先 从0时刻到1时刻发生了一步状态转移 假定状态已转移1状态 令Pij 1 后 从1状态开始k 1步转移后达到期望利润为V1 k 1 而i状态转移到1状态的发生概率为Pi1 因此i状态先转移到1状态后的k 1步实际期望利润为Pi1 V1 k 1 k 1 同理i状态先转到2状态后的k 1步实际期望利润为Pi2 V2即 各实际期望利润之和 构成了初始状态为i的k 1步转移后的转移期望利润 PijVjk步转移期望利润Vi Vi PijVj Pijrij PijVj Pij rij Vj 以上公式为k步转移期望利润递推公式此公式可改写为矩阵递推式 由Vi Vi PijVj k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 V1定义V V2为j步转移期望利润列向量 VNV1V V2为即时期望利润列向量 VNP11P12P1N 为一步状态转移概率矩阵PN1PN2PNN有V V PV j j j j P K k 1 例 设某商品销售状态