《解析几何》教学大纲.doc

解析几何教学大纲一、使用说明（一）课程性质解析几何和其他自然科学一样，是在生产实践中产生和发展起来的，有着丰富的内容和实际背景，广泛应用于工程技术，物理、化学、生物、经济及其他领域。本课程主要以线性代数为工具，研究空间解析几何，即研究空间中的直线、平面、二次曲线及平面上的二次曲线。解析几何与高等代数、数学分析有着密切的关系。在数学分析中，常常用到解析几何的方法、图形的许多性质，并且解析几何为代数中不少对象提供了具体的几何解释，给代数以直观的几何形象，加强了数量关系的直观鲜明性，使几何、分析、代数构成了一个不可分割的整体。（二）教学目的本课程的教学目的在于培养学生运用解析方法解决几何与实际问题的能力，掌握空间几何课程的基本知识和内容，并为进一步学习后继课程做准备。（三）教学时数本课程共60学时。（四）教学方法本课程将采用课堂讲授、多媒体课件、课堂讨论等教学方法和形式。（五）面向专业数学类各专业。二、教学内容 第一章 向量与坐标（一）教学目的与要求 引入矢量代数的基本概念和运算,为研究解析几何打好基础。理解矢量及与之有关诸概念,并能在具体问题中区分那些是矢量,那些是数量。掌握矢量的运算，矢量加（减）法，数与矢量乘积，两矢的数性积，矢性积，混合积，二重矢性积等的定义与性质，注意与数的运算规律的异同之处。理解坐标系的建立，区分仿射坐标系与空间直角坐标系的区别，掌握在直角坐标系下，用坐标进行矢量的运算方法。会用矢量法进行有关的几何证明问题。（二）教学内容：矢量的概念、矢量的加法、数量乘矢量、矢量的线性关系与矢量的分解、标架与坐标、矢量在轴上的射影、两矢量的数性积、两矢量的矢性积、三矢量的混合积、三矢量的双重矢性积。本章重点和难点：矢量的运算及线性关系，数性积，矢量积的运算及性质。数性积与混合积的运算及应用。第一节 矢量的概念一、矢量的特点二、矢量的几何表示三、自由矢量第二节 矢量的加法一、矢量的平行四边形法则二、矢量加法的运算法则第三节 数量乘矢量一、数量乘矢量的定义二、其运算法则第四节 矢量的线性关系与矢量的分解一、矢量的线性关系二、矢量的分解第五节 标架与坐标一、标架与坐标的定义二、两非零矢量共线的判定三、三非零矢量共面的判定第六节 矢量在轴上的射影一、射影的定义二、射影定理第七节 两矢量的数性积一、两矢量的数性积的定义及运算规律二、两矢量垂直的充要条件三、矢量的分量表示数性积第八节 两矢量的矢性积一、矢性积的定义与运算规律二、两矢量平行的判定三、用矢量的分量表示矢性积第九节 三矢量的混合积一、混合积的定义与运算规律二、混合积的几何性质第十节 三矢量的双重矢性积一、双重矢性积的定义二、双重矢性积与其它运算的联系（三）教学方法与形式 采用课堂讲授、多媒体课件、课堂讨论等教学方法和形式。（四）教学时数 24学时。第二章 轨迹与方程（一）教学目的与要求在空间建立坐标系后,将满足一定条件的轨迹(曲线或曲面)用代数方程来表示,将几何问题转化为代数问题,为用代数的方法研究几何奠定基础。会建立适当坐标系建立点的轨迹方程，掌握常见曲线与曲面的方程。（二）教学内容平面曲线的方程、曲面方程、母线平行于坐标轴的柱面方程和空间曲线的方程。本章重点和难点：平面曲线、空间曲面与曲线及其方程的定义。曲线、曲面的一般方程与参数方程的关系。掌握几种常见曲面的方程的特征。通过例题的分析，掌握建立曲线曲面方程的思想。给出已知条件求轨迹方程。第一节 平面曲线的方程一、曲线方程的定义二、矢量式参数方程三、旋轮线、椭圆等的矢量式参数方程第二节 曲面方程一、曲面方程的定义二、曲面方程与参数方程之间的转换三、球坐标系与坐标系第三节 空间曲线的方程一、空间曲线的方程的定义二、空间曲线的参数方程（三）教学方法与形式 采用课堂讲授、多媒体课件、课堂讨论等教学方法和形式。（四）教学时数12学时。第三章 平面与空间直线（一）教学目的与要求通过建立平面与空间直线的方程,用代数方法定量地研究平面和直线。掌握平面和直线的各种方程和性质,已及它们之间各种位置关系的解析表达式和距离、交角等计算公式。（二）教学内容平面方程、平面与点的位置关系、两平面的相关位置、空间直线的方程、直线与平面的相关位置、空间两直线的相关位置、空间直线与点的相关位置、平面束。本章重点和难点：平面及空间直线方程的种类及不同形式的转化。两直线的相对位置关系及判定。两平面的相关位置及判定。直线与平面的相关位置及判定。点与直线及点与平面的位置关系。已知条件求各种轨迹，各种关系的判定。第一节 平面方程一、平面方程的矢量式参数方程二、平面的一般方程三、平面的法式方程第二节 平面与点的位置关系一、点到平面的距离二、三元一次不等式的意义第三节 两平面的相关位置一、两平面平行、相交、重合的充要条件第四节 空间直线的方程一、由直线上一点和直线方向所决定的直线方程二、直线的一般方程第五节 直线与平面的相关位置一、直线与平面相交、平行、直线在平面上的条件第六节 空间两直线的相关位置一、空间两直线的相关位置二、两异面直线的距离与公垂线方程三、空间两直线的夹角第七节 空间直线与点的相关位置一、空间点与直线的位置关系二、点到直线的距离公式第八节 平面束一、有轴平面束、平行平面束的定义二、有轴平面束、平行平面束的方程（三）教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件、课堂讨论等教学方法和形式。（四）教学时数18学时。第四章：柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面（一）教学目的与要求在前几章的基础上，扩建空间图形的方程，以二次曲面最简单的方程出发，来区分这些曲面的类型，并概要地通过截痕法来讨论它们的性质。掌握研究二次曲面的基本方法-平行截面法，能识别常见二次曲面的方程和图形，掌握二次曲面的性质。（二）教学内容柱面、锥面、旋转曲面、椭球面、双曲面、抛物面、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。本章重点和难点：常见二次圆柱面与圆锥面。一般直纹面和简单直纹面、旋转面如何用母线与准线建立方程。根据曲线产生曲面的观点，建立了三种有心二次曲面和两种无心二次曲面，连同二次锥面与柱面和变态二次曲面共有五大类十七种。识别各种面的方程、图形及如何建立方程。 第一节 柱面一、柱面的定义，柱面的母线，准线二、柱面方程第二节 锥面一、锥面，锥面的母线，准线二、锥面方程第三节 旋转曲面一、旋转曲面的定义二、旋转曲面的方程第四节 椭球面一、椭球面的定义二、椭球面的方程第五节 双曲面一、单叶双曲面的定义及方程二、双叶双曲面的定义及方程第六节 抛物面一、椭圆抛物面的定义及方程二、双曲抛物面的定义及方程第七节 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线一、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的方程二、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的性质（三）教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件、课堂讨论等教学方法和形式。（四）教学时数18学时。第五章 二次曲线的一般理论（一）教学目的与要求引入平面坐标变换，并以此为工具研究平面上的一般二次曲线，对它们进行简化与分类。掌握有关二次曲线的一些概念，如中心、渐进线、直径、共轭方向、主方向等及其求法，会对曲线进行化简，并判别其类型。（二）教学内容二次曲线与直线的相关位置，二次曲线的渐进方向、中心、渐进线，二次曲线的切线，二次曲线的直径，二次曲线的主直径和主方向，二次曲线方程的化简与分类，应用不变量化简二次曲线的方程。本章重点和难点：二次曲线方程的化简，二次曲线的分类及渐进线的概念。二次曲线方程的建立，化简、分类。第一节 二次曲线与直线的相关位置一、二次曲线与直线的相关位置二、二次曲线与直线的三种不同情况第二节 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线一、二次曲线的渐进方向、中心、渐进线的定义二、二次曲线的渐进方向、中心、渐进线的分类第三节 二次曲线的切线一、二次曲线的切线定义二、二次曲线的奇异点、正常点三、二次曲线的切线的方程第四节 二次曲线的直径一、二次曲线的直径二、共轭方向与共轭直径第五节 二次曲线的主直径和主方向一、二次曲线的主直径和主方向的方程二、二次曲线的特征方程及特征根性质第六节 二次曲线方程