《二次函数的实践与探索一》

26.3.1二次函数的实践与探索(一)教学设计课 时1课时授课时间2016.11.25授课教师陈爱萍课 题二次函数的实践与探索（一）授课类型多媒体授课班级初三（5）班教学目标1.教学目标：掌握如何将实际问题抽象出二次函数模型；能运用函数关系的对应法则并解释自变量取值范围的实际意义；学会根据题意，合理建系，并准确标识题意；能运用并合理解释二次函数模型。2.能力目标：联系实际，感知数学与现实世界的密切联系，让学生经历数学建模过程，渗透数学建模思想，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型。3.情感态度价值观：了解数学理论的实用价值，提高学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的自信心。重点能正确建立直角坐标系，应用二次函数的图象和性质解决实际问题。建立二次函数的数学模型，把实际问题转化为数学问题。 难点实际问题数学化过程教具PPT课件学具画图工具教材分析本节是华师大版数学九年级下册第26章第3节第1课时，是继学习二次函数的解析式、图像、性质后的实践与探索的第一节。其设计意图是：让学生投入解决问题的实践活动，经历数学建模的全过程，初步领会数学建模的思想和方法，提高数学的应用意识和解决实际问题的能力。本节“实践与探索”从体现生活中的抛物线的两个典型模型（喷水池和涵洞）入手，探索了现实物状与二次函数模型的对应关系，能使用数学工具并用来合理解释数学模型。学情分析学生已经学习过二次函数的图象及其性质，也已有用数学知识解决实际问题的经验。本班学生学习基础较好，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。教 学过程教学过程教学过程教学过程教学过程 师 生 活 动设计意图一、复习旧知，创设情境1、二次函数的解析式三种表示法： n 一般式： y=a x2 +bx+c (a0) ,适宜用于已知抛物线上三点坐标。 n （2）顶点式：y=a (x-h)2 +k (a0)，适宜用于已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴。n （3）交点式： y=a(x-m)(x-n) (a0)，适宜用于已知抛物线与x轴两交点的横坐标。 2、学生提出生活中的抛物线 为何要学习二次函数的图象、性质、表达式等有关知识？ 因为生活中，我们处处都能看见抛物线的踪影，比如在今年里约热内卢奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与抛物线息息相关。在生活中还有许多实物也是抛物线型，你能举出抛物线在生活中的其它运用吗？（如跳绳、喷泉、隧道，涵洞，拱桥等等。）学生口答后，教师用课件展示图片本节课,陈老师将与同学们共同利用二次函数的有关知识研究和尝试解决以下几个实际问题。二、自主探索，实践新知问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水。柱子在水面以上部分的高度为1.25m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示根据设计图纸已知：在图（2）所示的平面直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)和水平距离x(m)之间的函数关系式是 y= x+2x+1.251） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少？2) 如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？师：1） 引导学生从喷水的形状中抽象出抛物线的模型；2） 为抛物线建立坐标系（如图2），并给出解析式 y= x+2x+1.25 3） 分析问题，找出“最大高度”对应抛物线顶点纵坐标的值； y= x+2x+1.25 y= (x-1)+2.25 顶点（1,2.25）最大高度为2.25米。4） 通过课件演示如何才能使水落于池内，从而得到最小半径的对应量； yAO6）学生讨论：设点B（x,0）应代入一般式 y= x+2x+1.25，还是配方后的顶点式 y= (x-1)+2.25 ，哪一种计算更简便？解：由（1）得y= (x-1)+2.25 把点B（x,0）代入得：(x-1)+2.25 =0则 , （不合题意，舍去）最小半径为2.5m3、 自建模型，形成方法问题2：一个涵洞的截面边缘成抛物线形，如图，现测得当水面宽AB1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。1）建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式；2)离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？BAED（1） 学生读题,并引导学生对问题进行综合分析。（2） 先让前后桌讨论，你有几种建立平面直角坐标系的方法？引导学生根据图形建立坐标系，并由学生板演不同的建系方法。（3） 教师在抛物线上标识题意，请学生口答每种坐标系下对应的点A，点B，顶点的坐标，指出对应的抛物线关系式的求法。（4） 以哪为原点建立平面直角坐标系最简单？（5） 请学生口答每种建系方法的优缺点，老师对学生的讲解进行点拨，引导学生选择最有利于解题的建系方法。（6） 根据（5）讨论的结果，在方法3中的抛物线上标识题意（难点），求解第（2）小题。2)离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？分析：求涵洞的宽ED求出FD的长度即可求出点D的横坐标点D在涵洞截面的抛物线上，由已知条件，可以求出点D的纵坐标设D(x,1.5),代入 y= 3.75x+2.4 ，即可求出点D的横坐标。（7） 教师课件演示求解过程。解：依题意可得：答：涵洞的宽ED为，不会超过1m。拓展：此时，一只宽为m，高为.5m的小船能否通过此涵洞？为什么？（8） 教师：通过课件引导学生综合考虑小船的高与宽，并联系生活实际；小船如何驶过涵洞，可以通过的机会更大？偏左，偏右还是居中？（结论：沿y轴居中驶过涵洞）小船居中驶过涵洞时，涵洞的宽够吗？涵洞的高够吗？（9） 学生：就“能否通过”的问题展开讨论。结论：在涵洞距y轴0.5米处时，求涵洞的实际高度，再与船的高度1.5米比较。（10） 教师课件演示求解过程。解：当时 得1.46m为在涵洞距y轴0.5米处时，涵洞的实际高度.1.46m1.5m 不能通过（11）教师：还有其他方法吗？请学生口答结论：在涵洞高为1.5米处时，求涵洞的实际宽度，再与船的宽度1米作比较。阶段性小结：实际问题二次函数问题确立坐标系求出解析式函数性质的运用4、 举一反三，学以致用练习： 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得，当水面宽AB2米，涵洞顶点D与水面的距离为3米。（1）若水面上涨1米，则此时的水面宽MN为多少？ （2）一个边长为1.6米的正方体木箱，能否通过此涵洞，说明理由。（木箱底面与水面在同一平面）备用练习：课本P28 练习 一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12米，高6米，如图，车辆双向通行，规定车辆必须在中心线右侧、距道路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与 隧道有不少于米的空隙。你能否根据这些要求，建立适当的坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？5、 反思小结，深化认真1、 学生：反思和发表对本堂课的体验和收获。2、 老师：引导学生归纳，明确重难点，突出解决此类问题的重点，点出研究此类问题的意义。对学生的发言进行归纳、概括：6、 布置作业，巩固新知必做题：1. 课本P24 第5题2. 课本P30 第1题选做题：教学反思学生板书例题与练习26.3.1 二次函数实践与探索（一）设计板书ABCD 单杠距地面2.2m，支撑单杠的两柱之间的距离为.6m，将一根绳子栓在立柱与单杠结合处，如图，一身高0.7m的小孩站在离一侧立柱0.4m处，其头刚好接触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。生活中实际问题的提出，说明引入二次函数模型的必要性。体现数学来源于生活，并应用于生活，也激发学生学习的兴趣。从简入手，忽略建系以及求解析式的过程。让学自主探索，通过计算，自己发现将点B（x,0）代入顶点式求解，更简便。在探索、解决问题的过程中，体会函数关系中对应法则和自变量取值范围的实际意义。（1） 要解决问题，首先要构建二次函数数学模型，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式（2） 让学生充分探究各种不同的建系方法，经历必要的探索过程。（3） 让学生发现每种建系的优缺点，领会建系应有利于解题。（4）让学生充分发表见解，给学生时间和空间探索问题，既体现师生互动，又可让学生积极主动地参与到学习中来。（6）引导学生分析题意，把各关键的点的坐标标注的图上，养成良好的解题习惯。（6）用幻灯片演示求解过程，规范书写格式。“拓展题”是对数学模型的进一步解释、应用及拓展。不但要对题意作出准确的翻译，同时要回到实际问题中去，激活已有的认知。能更完整地体现数学建模的过程。通过练