高等数学A(1)复习题(统一版、2016年).pdf

高等数学高等数学 A 1 复习题 统一版复习题 统一版 2016 年年 第一章第一章函数与极限函数与极限 一 填空题 1 设 2 2 11 f xx xx 求 f x 2 设 1 1 x xf 则 xff 3 数列有界是数列收敛的必要非充分条件 该结论是否正确 答 填 正确 或 不正确 4 极限 2 2 2 limsin x x x 5 2 x0 x0 x f xf f x xx 若 则 6 设0a 则 1 lim 1 ax x x 7 ln 0 lim a x x a x 设 则的值等于 8 极限 0 1 cos3 lim sin3 x x xx 的值 9 极限 x x x arctan lim 2 10 极限 2n 1 1 lim n n 的值 11 极限 0 0 1 lim 0 ba a x x b x 的值为 12 0 ln ln lim 0 x xaa a x 极限 的值是 13 设 3 3 lim 2 3 x kxx x 存在 则常数k 14 3 2 lim 1 x x x 15 1 sinlim x x x 16 已知0 x 时 sinxx 与 k x是同阶无穷小 则k 17 2 sin2lim 1 n n n 18 0 x 时 2 1 cos x 与 2 sin x相 比 哪 一 个 是 高 阶 无 穷 小 答 19 设 当 x时 3 1 sin x 与 1 k x 是 等 价 无 穷 小 则 k 20 设函数 e 0 0 x x f x axx 在 内连续 则a 21 设函数 1 sin 0 0 xx f xx kx 则当k 时 f x在0 x 处连续 22 若 函 数 2 1 1 1 2 xx f x axx 在 上 连 续 则 a 23 设函数 f x在闭区间 a b上连续 且取得最大值M和最小值m Mm 则 f x在闭区间 a b上的值域为 24 曲线 32 2 x y x 的水平渐近线是 25 y 2x 2x3 的水平渐近线是 26 设函数 1ln 1 3 1 xx x x xf 则 xf的间断点为 27 设 xf的定义域是 1 0 则函数 cosxf的定义域是 28 极限 6 9 lim 2 2 3 xx x x 29 极限 cos 1 lim xx x x 30 设 3 3 lim 2 3 x kxx x 存在 则常数k 31 x x x x 2 1 lim 32 设 0 0 1 sin 2 xxa x x x xf在 内连续 则 a 33 设函数 0 0 1 arctan 2 2 xa x x x xf 在0 x 处连续 则 a 34 方程01 5 xx有 个正根 35 设5 1 6 lim 2 1 x bxx x 则b 36 设函数 x0 sin3 k x0 x f xx 为连续函数 则k 37 当0 x时 xcos1 与 2 ax是等价无穷小 则a 38 当0 x 时 设sin 1 cos xx 与 k x是同阶无穷小量 k 39 设当x 时 4 1 sin x 与 1 k x 是等价无穷小 则k 40 若函数 2 1 1 1 2 xx f x axx 在 上连续 则a 41 方程 3 310 xx 在区间 0 1 内有个根 二 解答题 1 求极限 222 111 lim 2 n n nnnn 2 求极限 222 111 lim 12 n n nnnn 3 若 lim 1 xf x 存在 且 2 1 12 lim 1 2 3 xf x x xxf x 求 xf 4 求极限 3 2 lim 1 x x x x 5 求极限 cossec 1 ln lim 2 0 x xx x 6 求极限 tan seclim 2 xx x 7 求极限 3 0 tansin lim sin x xx x 8 计算极限 cos1 tan lim 0 x xx x 9 设 8 2 lim x x ax ax 求a的值 10 设 2 lim 0 1 x x axb x 试求 a b的值 11 已知极限a ax ax x x 8 2 lim求 值 12 求极限 1 2 1 1 1 lim 222 nnnn n 13 求极限 2 1 321 lim n n n 第二章第二章导数与微分导数与微分 一 填空题 1 函 数 1 3 f xx 在0 x 处 的 连 续 性 与 可 导 性 如 何 答 2 设函数exyx 则 10 y 3 设xy 2cos 2 则 y 4 已知 2 1 x x xf 则 2 f 5 已知 2 sincos4 3 xxxf 则 2 f 6 设 x f xxe 则 n y 7 设cosyx 则 n y 8 设 x xy 则 y 9 设 31ln xxy 则 y 10 设 6 6 f xx 则 5 f 11 设 sinfxx 则导数 xf 12 设 2 1 arcsinyxxx 则 dy 13 设lnyxx 则 dy 14 设 1ln 2 x ey 求 dy 15 设 2 x efy 又f x 可微 则 yd 16 17 设 2 ln 1 e x y 则dy 18 设 1 3 ecos x yx 则dy 19 设 arccos 1 2 xxxy 则 dy 20 已知 0 fx 存在 且 00 0 lim x f xxf x A x 则A 21 设xey x cos 31 则 dy 22 设 f x在1x 处可导且2 1 f 极限 1 lim 1 x hxfhxf x 23 设 0 xx ln 1 0 x x xf 则 f x在0 x 处 的 导 数 等 于 24 设 0 0f 1 0 f 则 x xf x 2 lim 0 25 设 0 1fx 则 00 0 lim h f xhf xh h 26 设 sinsin 22 axy 则二阶导数 xy 27 曲线1 xy在1x 处的切线方程为 28 曲线 yx 在1 x 处的法线方程是 29 设xxfsin 则导数 xf 二 解答题 1 求由方程ee0 y xy 确定的隐函数 yf x 的导数 d d y x 2 已知参数方程 e sin e cos t t xt yt 确定函数 yf x 求 3 t 时 d d y x 的值 3 设 x y 31 1 求三阶导数 y 4 设函数 xyy 由方程exye y 所确定 求 dx dy 2 2 dx yd 5 设函数 yy x 由方程ln20yyx 所确定 求 dx dy 2 2 dx yd 6 设 x x y 1 2sin e1 x3 求 y 7 设 3 sin2 1e 1 x x y x 求微分dy 8 设方程0 cos sin yxxy确定 xfy 求 y 9 设由方程 y xyee 确定的函数 yf x 求其一阶导数 dx dy 10 求 sin x yx 0 x 的导数 11 设 x xy 求导数 y 12 cotsin xa yxaa 0 a 求 y 13 设函数 sin1 sin tan ln 3 x xx xy 求 y 14 设函数 yy x 由方程 y exye 所确定 求 2 2 d ydy d xd x 15 1 yarctan 1 x x 求的导数 y 16 设参数方程 2 2 2 dx yd t1y 2 t x 求二阶导数 17 求曲线 t t ey ex 2 在0 t相应点处的切线方程和法线方程 18 求由摆线的参数方程 sin 1 cos xa tt yat 确定函数 yy x 的二阶导数 19 设函数 1 arctan x xy 求 y 20 设 2 sin3 sin 3 x y x 求 y 21 求曲线 3 3 sin cos xat yat 在 3 t 处的切线方程 22 求参数方程 2 3 3 xt ytt 确定的函数的二阶导数 2 2 d y dx 23 设 2 3 3 xt ytt 求二阶导数 2 2 d y dx 24 22 sin sin yxx 设 求微分dy 25 设函数 2 3 sin3 1 x yx x 求微分dy 26 设 x xxy 求导数 y 27 设 sin 3 x yxx 求导数 y 28 设方程sin cos 0yxx y 确定隐函数 yy x 求导数 dx dy 29 设 x xy 求导数 y 30 设 tty tx arctan 1 ln 2 求 dx dy 和 2 2 dx yd 三 综合题 1 设函数 3 1 arctan y x 求导数 y 第三章第三章微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 一 填空题 1 函数 3f xxx 在 0 3 上满足罗尔定理的条件 由罗尔定理确定的罗 尔中值点 2 设 曲 线 32 yaxbx 以 点 1 3 为 拐 点 则 数 组 a b 3 函数 xf在 0 xx 处连续 若 0 x为 xf的极值点 则必有0 0 xf 或 4 函数xysinln 在 6 5 6 上的罗尔中值点 5 1 xy在区间 1 3 的拉格朗日中值点 6 函数13 3 xxy在区间 2 0 上的最大值为 最小值为 7 极限 1 ln lim 2 0 x xx x 的值等于 8 极限 0 lim xx x x ee 9 求极限 xx xee xx x sin 2 lim 0 10 0 lncos lim sin x x x 11 函数x 3ln 1 xy的极小值点是 12 函数31292 23 xxxy的极小值点是 13 曲线 x xey 的凸区间是 14 函数 2 x xy 的极小值点是 15 曲线 3 x e y x 的凸区间 16 ey 8 2 x 的凸区间是曲线 17 的凸区间为曲线 x3 e y x 18 函数xxy 的单调减区间是 19 函数 2 x xy 的极小值点是 20 2 xy x 的极小值点是函数 21 函数 x x xf ln 的拐点是 22 函数xxy arctan 在且仅在区间 上单调増 二 解答题 1 求极限 3 0 sin lim x xx x 2 求 0 11 lim ln 1 x xx 3 求极限 2 lim 1 x x x x 4 求极限 22 0 11 lim sin x xx 5 0 11 lim 1 x x xe 6 求极限 1 1 1 lim x x x 7 证明方程 5 10 xx 有且仅有一正根 8 求函数 32 29123yxxx 的单调区间 再求该函数图形的拐点和凹凸 区间 9 求函数342 23 xxxy的凹凸区间 拐点 10 求函数 32 36yxx 的单调区间和极值 11 求函数 32 3 610 2 yxxx 的单调区间和极值 12 求函数1063 23 xxxy的单调区间和极值 13 求函数 3 2 321xxy 的单调区间和极值 14 试用拉格朗日中值定理证明不等式 11 nnnn nbababnaab 其 中0ab 1n 15 求函数 32 231214yxxx 的单调区间 再求该函数图形的拐点和凹 凸区间 16 求函数 y 2 32 43xxx 的凹凸区间 拐点 17 求极限 xx xx x sin tan lim 0 18 求函数 3 31yxx 在区间 0 2 上的最大值和最小值 19 求函数 32 261827yxxx 在 1 4上的最大值 最小值 20 证明 方程01 5 xx在 0 1 内有且只有一个正根 21 求函数496 23 xxxy的单调区间 极值 凹凸区间和拐点 22 求函数 496 23 xxxy的极值和单调区间 23 求函数 2 3 4 1 f xxx 的单调区间和极值 三 综合题 1 求函数 x x y ln 的单调区间及相应曲线的凹凸区间 2 求曲线 2 ln 1 yx 的凹凸区间和拐点 3 求函数 42 82yxx 在区间 1 3 上的最大值与最小值 4 证 明 当0 x时 xx 1 2 1 1 证 明 当0 x 时 有 1 2 1 1xx 5 证明 当0 x时 x x xsin 6 3 6 证明 当0 x 时 不等式 1 11 2 xx 成立 7 证明 当0 2 x 时 不等式 3 1 tan 3 xxx 成立 8 设 x 在 0 1 上可导 1 xxxf 求证 存在 0 0 1x 使 0 0 x f 9 设曲线为 2 1xy 试在该曲线第一象限内一段弧上求一点 使该点处的 切线与坐标轴所围三角形面积最小 10 设一窗户上半部分为半圆 下半部分为矩形 矩形的宽等于半圆的直径 已知窗户框 含半圆直径 的周长为 10 米 试问半圆的直径和矩形的高分别为 多少时 窗户的面积最大 11 要造一个圆柱形油罐 体积为V 问底半径r和高h等于多少时 才能使表面 面积最小 12 求函数 2 ln 1 f xx 的单调区间 极值 凹凸区间和拐点 13 证明方程01sin xx在开区间 2 2 内有且只有一个根 14 证明 arctancot 2 xarcx 第四章第四章不定积分不定积分 一 填空题 1 设0a 则不定积分 22 1 dx ax 2 设0a 不定积分 22 1 dx ax 3 不定积分 dxe xx 2 4 设 f x的一个原函数是 F x 则 f axb dx 5 设C F x dx xf 则 dx cosx fsinx 6 x x xx d 1 133 2 24 7 不定积分 xxxd sin sec 2 8 不定积分 dx x x 1 9 设x x Id 1 4 则I 10 不定积分 dx xx 2 cos 1 2 11 设 d 1 1 x e e I x x 则 I 12 不定积分 x xe dx 13 设 xf的一个原函数为ln x 则 xf 14 不定积分dxx sin 3 15 dx xx 2 cos 1 2 16 不定积分 xxdtan 2 二 解答题 1 求不定积分ln dxx x 2 求不定积分e sin d x xx sin dxxx 3 求不定积分dx xsec xtan 3 4 求定积分 2ln 0 1 dxex 5 求 xxxd 2sin 6 求不定积分 d 1 x x 7 求不定积分 arctan xx dx 8 求不定积分dx x x 1 3 9 求不定积分 22 ln xxadx 10 求不定积分 1 xx dx ee 11 求不定积分 dxx arcsin 12 求不定积分 x xexdx 13 求不定积分dxx 2 1 14 求不定积分dx x x 12 1 15 求不定积分 ln 1 xxdx 16 求不定积分 dxx arctan 17 求不定积分 1 1 dx x x 18 求不定积分 2 1 x xxdx 19 设 x 0 xlnxdt t f t 求不定积分 dx x f 第五章第五章定积分定积分 一 填空题 1 定积分 32 5 42 5 sin d 21 xx x xx 2 定积分 54 5 64 5 sin d 21 xx x xx 3 若 b xdx 1 1ln 则 b 4 导数 3 2 2 1 x x t dt dx d 5 反常积分 2 1 d 1 x x 6 xxe x d 1 0 2 7 4 设反常积分 1 1 d k x x 收敛 则参数k的取值范围为 8 dtt dx d x 2 0 2 1 9 设 xf在 a a 上连续 则 10 a a dxxfxf sinx 11 1 3 1 cos dx xxx 12 1 1 2 sin 1 dxxx 13 dtt dx d x 1 sin 0 2 14 定积分 5 5 4 2 1 sin dx x xx 15 设 x xxdttf 0 sin 则 f x 16 设 2 4 0 x dttf x 则 4 0 1 dxxf x 17 定积分 4 0 2 tan xdx 18 定积分 3 2 1 1 dx x 19 定积分 1 2 0 x xedx 20 函数 2 e f x x 在 0 1 上的平均值是 21 设 x f xe 则 2 1 ln fx dx x 22 广义积分dx x p 1 1 在 p 满足 时收敛 23 反常积分 0 2 dxe x 24 反常积分 2 1 2 dx x 25 若 0 2 dxae x 则 a 二 解答题 1 设 函 数 f x在 闭 区 间 0 1 上 连 续 利 用 性 质 00 sin d sin d 2 xfxxfxx 计算定积分 2 0 sin d 1cos xx x x 2 设函数 2 1 0 1 cos 0 x x xf x xex 计算 4 1 2 df xx 3 求定积分 2 2 1 ln 1 xxdx 4 计算 4 0 2 21 x dx x 5 计算积分 dx 4x2 5 0 6 计算定积分 5 0 24xdx 7 求定积分 2 1 ln dx x x 8 求dxxf 2 0 其中 1 2 1 1 1 2 xx xx xf 9 求定积分 e xdxx 1 ln 10 设 f x在 a b上连续 证明 b a b a dxxbafdxxf 11 求反常积分 1 1 1 dx x x 12 求 2 1 2 4 xx dx 13 求定积分 4 1 1 dx x x 14 求极限 2 0 0 sind lim sin x x tt xx 15 sin4x dt cos lim 2 0 0 x x tt 16 求极限 2 0 3 0 sind lim x x tt x 17 计算dxx 2cos1 2 0 18 求定积分dxx 2cos1 0 三 综合题 1 设连续函数 xf满足 e 1 dx f x lnx xf 证明 e 1 1 d e f xx 2 设 f x在 a b连续 且 x a F xxt f t dtxa b 试求二阶导数 Fx 3 设 f x在区间 ba上连续 0 xf 且 x a x b dt tf dttfxF 1 bax 证明 1 2 xF 2 方程0 xF在区间 ba上有且仅有一个根 4 设 2 2 0 f xxf x dx 求 xf 第六章第六章定积分的应用定积分的应用 一 填空题 1 曲线 2 3xy 及0y 所围成的图形的面积为 2 曲线 yx 与直线0 1 yx 所围成的平面图形的面积是 二 解答题 1 求曲线 2 2yx 与 yx 所围成平面图形的面积 2 求曲线 1 0 yx x 和直线 0 2yx yx 所围成的平面图形的面积 3 求位于曲线exy 的下方 该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间 的图形的面积 4 已知摆线 sin 1 cos xa tt yat 02t 的一拱 求这一拱绕x轴旋转一周所 成的旋转体的体积 5 求由曲线xy 和该曲线在点 1 1 处的切线及x轴围成的图形的面积 6 求由曲线 3 yx 与直线 yx 1x 和2 x 所围平面图形的面积 7 求由曲线 2 2xy 与直线xy 所围成的图形的面积 8 求曲线 ln yx 与直线 1 xxe e 及0y 所围成的平面图形的面 积 9 求由曲线xy 和该曲线在点 1 1 处的切线及x轴围成的图形的面积 10 求由曲线 1 x y 与直线2 yxy和围成的平面图形面积 11 求曲线 2 xy 与 3 xy 在 0 1 上所围成的平面图形的面积和绕x 轴旋转的体积 三 综合题 1 求曲线 2 yx 与 2 xy 所围成的图形面