高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例课时提升作业1新人教A版.docx

平面向量应用举例(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015绵阳高一检测)速度|v1|=10m/s，|v2|=12m/s，且v1与v2的夹角为60，则合速度的大小是()A.2m/sB.10m/sC.12m/sD.2m/s【解析】选D.|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1v2+|v2|2=100+21012cos60+144=364.所以|v|=2m/s.2.已知点A(-2，0)，B(0，0)，动点P(x，y)满足=x2，则点P的轨迹方程是()A.x2+y2=1B.x2-y2=1C.y2=2xD.y2=-2x【解析】选D.=(-2-x，-y)，=(-x，-y)则=(-2-x)(-x)+y2=x2，所以y2=-2x.3.(2015孝感高一检测)点O是ABC所在平面内的一点，满足=，则点O是ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点【解析】选D.由=，得-=0，所以(-)=0，即=0.所以.同理可证，.所以OBCA，OACB，OCAB，即点O是ABC的三条高线的交点.4.(2015抚顺高一检测)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A.6B.2C.2D.2【解析】选D.因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1，F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|F2|cos60=4+16+8=28，所以|F3|=2.5.已知点O为ABC外接圆的圆心，且+=0，则ABC的内角A等于()A.30B.60C.90D.120【解题指南】先将+=0变形为+=，判断点O，A，B，C的位置关系，然后由点O为ABC外接圆的圆心判断四边形OACB的形状.【解析】选A.由+=0得+=，所以四边形OACB为平行四边形，如图.由O为ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，所以CAO=60，所以ABC的内角A等于30.二、填空题(每小题5分，共15分)6.若菱形ABCD的边长为2，则|-+|=_.【解析】|-+|=|+|=|+|=|=2.答案：27.用两条成120角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是_.【解析】因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60，故每根绳子的拉力都是10N.答案：10N8.(2015大庆高一检测)向量，在正方形网格中的位置如图所示.设向量a=-，若a，则实数=_.【解析】以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，2)，a=-=(3，2)-(2，0)=(3-2，2)，=(2，0)，因为a，所以a=2(3-2)+0=0，=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知ABC是直角三角形，CA=CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB.求证：ADCE.【证明】以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设AC=a，则A(a，0)，B(0，a)，D，C(0，0)，E.因为=，=.所以=-aa+a=0，所以，即ADCE.10.如图所示，已知在ABCD中，AB=3，AD=1，DAB=，求对角线AC和BD的长.【解析】设=a，=b，a与b的夹角为，则|a|=3，|b|=1，=.所以ab=|a|b|cos=.又因为=a+b，=a-b，所以|=|=所以AC的长为，DB的长为.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.若M为ABC所在平面内一点，且满足(-)(+-2)=0，则ABC为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.由(-)(+-2)=0，可知(+)=0，设BC的中点为D，则+=2，故=0，所以.又D为BC中点，故ABC为等腰三角形.【补偿训练】ABC的三个内角满足2B=A+C，且(+)=0，则ABC一定是()A.等腰直角三角形B.非等腰直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形【解析】选C.由(+)=0可知ABC中BC边的中线又是BC边的高，故ABC为等腰三角形，又2B=A+C，故B=，则ABC为等边三角形.2.一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30，|F2| =4N，方向为北偏东60，|F3| =6N，方向为北偏西30，则这三个力的合力所做的功为()A.24 JB.24JC.24JD.24J【解题指南】解答本题的关键是根据任意角三角函数的定义求出三个力对应向量的坐标.【解析】选D.如图，建立直角坐标系，则F1=(1，)，F2=(2，2)，F3=(-3，3)，则F= F1+ F2+ F3=(2-2，2+4).又位移s=(4，4)，故合力F所做的功为W=Fs=(2-2)4+(2+4)4=46=24(J).二、填空题(每小题5分，共10分)3.在三角形ABC中，AP为BC边上的中线，|=3，=-2，则|=_.【解题指南】解答本题要注意+=2，+=，=|2的应用.【解析】因为AP为BC边上的中线，所以+=2，=+，所以=(+)2=+2+=9+(2+)=9+(+)=9+(+)=9+2=9+2(-2)=5，所以=|2=5，所以|=.答案：4.(2015聊城高一检测)若平面向量，满足|=1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_.【解析】以，为邻边的平行四边形的面积为：S=|sin=|sin=，所以sin=，又因为|1，所以，即sin且0，所以.答案：【补偿训练】已知ABD是等边三角形，且+=，|=，那么四边形ABCD的面积为()A.B.C.3D.【解析】选B.如图所示，=-=-，所以=，即3=+-，因为|=|，所以|2-|cos60=3，所以|=2.又=-=，所以|=|=1，所以|2+|2=|2，所以BCCD.所以S四边形ABCD=SABD+SBCD=22sin60+1=.三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知点P(-3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足=0，=-，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程.【解析】设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a0)，则=(x，y-b)，=(a-x，-y)，因为=-，所以(x，y-b)=-(a-x，-y)，所以a=(x0)，b=-，则A，Q=，=，因为=0，所以3x-y2=0，所以所求轨迹方程为y2=4x(x0).【延伸探究】若本题其他条件不变，把=-改成=呢？【解析】设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a0)，由=知M为线段AQ的中点，所以x=(a0)，y=，所以A(0，2y)，Q(2x，0)，所以=(3，2y)，=(x，-y).因为=0，所以3x-2y2=0所以所求的轨迹方程为y2=x(x0).6.今有一小船位于宽d=60m的河边P处，从这里起，在下游l=80m处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s