凸函数的性质及其应用.doc

河北科技师范学院学士学位论文中文题目：凸函数的性质及其应用英文题目：The Property and Applications of Convex Functions完 成 人：指导教师： 系（院）别：数学与信息科技学院专业、班级：数学与应用数学0602班完成时间：二一年六月河北科技师范学院数信学院 制14目 录中文摘要11 引言12 预备知识12.1 凸函数的定义22.2凸函数的运算性质22.3 Jesen不等式23 本文的主要结果33.1 凸函数的连续性33.2 凸函数的微分性质3 3.3 凸函数的积分性质6 3.4 Jesen不等式及凸函数性质的应用7 结束语12参考文献12英文摘要13致谢13凸函数的性质及其应用(河北科技师范学院数学与信息科技学院 数学与应用数学专业0602班)指导教师： 摘 要: 凸函数是一类重要的函数，它在数学理论研究中涉及了许多数学命题的讨论证明和应用。本文将散见于多种文献中的材料加以汇总并系统化，从凸函数的定义出发,讨论了定义在某区间上的凸函数经四则运算生成新的函数的凸性以及连续凸函数的一些性质，对凸函数的连续性、可微性、可积性等分析性质加以系统论述。并且讨论了凸函数Jesen不等式和凸函数性质在不等式证明中的应用。关键词: 凸函数；不等式；证明1 引言凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学分支, 它在数学规划、控制论、多元统计等领域都有广泛的应用，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出【3】。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处，特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数有着十分重要的作用【4】。人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛深入的研究,凸函数的性质也有所发展。函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处。在凸规划理论、尤其是非线性最优化中，函数的凸性分析是最基本的，又是最重要的【7】。凸函数的定义,最早是由Jenser 给出。本世纪初建立了凸函数理论以来, 凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用【8】。凸函数涉及了许多数学命题的讨论证明和应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用【10】。由于凸函数具有较好的几何和代数性质,在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。数理经济学中,对风险厌恶的度量,也可以表现为对效用函数凸性的选择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了【11】。另外, 由于凸函数理论的广泛性, 因此对其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广。2 预备知识2.1 凸函数的定义 定义1【10】 设在区间I内有定义,如果对任意的 , , () ,总有 , 则称函数 是区间 内的凸函数,并称在内的图形是向下凸的;如果对任意的,对,总有, 则称函数 是区间 内的凹函数,并称在 内的图形是向上凸的。若式子中的不等式改为严格不等式, 则相应的函数称为严格凸（凹）函数。定义2【10】 设在区间上连续,如果对上任意两点 ,恒有,那么称是区间上的凸函数,并称在内的图形是向下凸的; 如果恒有,则称函数是区间内的凹函数,并称在内的图形是向上的。定义3【10】 设函数在内可导,对任意,如果过点的切线位于 的下方,即,则称函数为内的凸函数;如果有过点的切线位于的上方, 即, 则称函数为 内的凹函数。定义4【10】 设函数在I 内可导,如果在I 内是递增的,则称函数为内的凸函数;如果在内是递减的,则称函数为内的凹函数。2.2凸函数的运算性质定理2.2.1【7】若均为上的凸函数，则也是上的凸函数。定理2.2.2【7】设为上的凸函数，为正常则也为上的凸函数。定理2.2.3【7】若是单调递增的凸函数，也是凸函数，则复合函数也是凸函数。定理2.2.4【7】设与都是上的非单调递增的凸函数，则也是其上的凸函数。2.3 Jesen不等式 定理2.3.1【9】 Jesen不等式：若为上的凸函数,则对任意，, , ，有该不等式称为Jensen 不等式,该性质是凸函数的一个重要性质,也是定义的一般情况. 可以说,凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen 不等式来体现的,因为每个凸函数都有一个Jensen 不等式,因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用. 利用它我们可以推出常用的一些重要公式,为我们证明不等式开辟了一条新路。推论1：设在为凸函数，则，当且仅当时等号成立。3 本文的主要结果下面我们探讨凸函数的分析性质：3.1凸函数的连续性定理3.1.1若在区间为凸函数，则在区间的任意一点连续。证明：因为内点，故，使，因此，且当严格增加时，严格增加，由单调有界性定理知存在，即在内点左可导，同理可证在内点右可导，从而在内点连续，因此在区间的任意一点连续。3.2凸函数的微分性质定义 1设为上的凸函数，若常数满足：则称常数为在的一个次梯度；在的所有次梯度构成一个集合, 称为在的次微分 ，记为，即 因为是一个非空闭凸集，且当在可微时有。引理 1 设为上的连续凸函数,，则为在上的极小值点当且仅当。证明因为在上连续，所以在上有界。设若。则有 即，所以为在上的极小值点。反之，如果为在上的极小值点，则必有所以由定义1 知。定理3.2.1设为上的连续凸函数，则对于任意的及任意的，总存在两个异于的点 ，, 使得证明我们分两种情况来证明结论：1) 的情形。此时，据引理1 可知 为在上的极小值( i) 如果，可取，使得：( ii) 如果。 不失一般性 ，可设。当 时 ，由为在上的极小值及的凸性可知，这表明在上取常值, 此时令，就有 当时 ，注意到且在上连续, 由连续函数的介值性定理可知 ，存在 ，使得。此时取便有2) 的情形。构造函数, 这里。 则F 满足：( i) 为上的连续凸函数；( ii) 。第一点很容易验证. 以下来说明第二点.事实上, 由于，据次梯度的定义可知，于是有这表明。由情形1 可知, 此时存在两个异于的点 ， 使得即 证毕.当在 可微时有在。于是得到:推论2设在上为连续凸函数， 在内可导，则对于任意的，总存在两个异于 ，使得当严格凸时 ，必有，或，于是由定理3.2.1可得：推论3设为上的连续严格凸函数 ，则对于任意的及任意的， 总存，, 使得结合推论1又可得推论4 设在上为连续严格凸函数，在内可导，则对于任意的， 总存在，使得.3.3凸函数的积分性质引理1 设是上的连续凸函数，则与在内存在，且对，下式成立 引理2 设是上的凸函数，对，则存在，使下列成立引理3 设是上的凸函数，则在上除至多只有可数个点外，处处可导。定理3.3.1设是上的连续凸函数， .若在上连续且不变号，其一个原函数是，则 （1）证明 情形1 与均存在。定义=与=，由引理1可知：与在上单调递增。从而可知（1）中两个积分有意义， 不妨设在上非负，令 。由微分中值定理及引理2可知：存在，使 ，。由非负及上两式可得 = （2）对式两端让，则有 （3）由引理3知：在上几乎处处成立，则（3）式两端相等，即（1）式成立。 情形2 条件1 ，存在；条件2 ，存在，；条件3，。由已知条件知：在上连续。当条件1成立时，则 = =即（1）式成立。 当条件2或条件3成立时，同理可证（1）成立，证毕。 推论5 设是上的连续凸函数，若在上连续且至多只有有限个零点，其一个原函数是，则（1）式仍成立。 定理3.3.2 设是上的连续凸函数，在上有连续的导函数且至多只有有限个零点，则. （4）证明 先假设在上不变号，不妨设在上非负（同理可证非正的情形），且与均存在，令 。 由微分中值定理及引理2可得：存在，使下式成立 + = 对上式两端让，则有 由引理3知：=在上几乎处处成立，则上式两端相等，即4式成立。当=与存在，存在与=，=与=三者之一成立时，则仿照定理1中情形2的证法亦可证得（4）式成立。当在上有有限个零点时，则仿照定理3.3.1的推论的证法亦可证得（4）式成立。证毕。3.2 Jesen不等式及凸函数性质的应用例1 用Jensen不等式证明:霍尔德(H lder)不等式设有，其中证明:(1)令因为，由判定定理知，在上是严格凸函数，由Jensen不等式，得到，今设为非负实数且，在上述表达式中以代替，得到由题设知，令，不妨设，代入上式便得Holder不等式.特别地，取时就得到Cauchy不等式：.例2 Minkowski 不等式：设，证明：证 因为利用 Hoeder不等式得=（其中），并对此式两边除以即得例3 利用凸函数导出常用的不等式1 几何平均值不大于算术平均值设考虑指数函数，是凸函数，从而对，有令，则得到， ，这就是人们熟知的“几何平均值大于算术平均值”定理。2 算术平均值不大于平方平均值考虑二次函数，是凸函数，从而有，令，即得 这就是“算术平均值不大于平方平均值”3 一般的平均值定理考虑一般的冥函数，是凸函数，那么同样可以有这就是一般的平均值定理，它可以称为：算术平均不大于次平均。例4 已知：，求证：证明：设，因为，所以在为凸函数，由Jesen不等式的推论知，例5 求证： （为正整数）证明：设，因为，由定理1在为凸函数，由Jesen不等式的推论知，所以例6 这个函数显然在不连续，但在上是凸函数。因且，有： （1）这是由于：.因而综上所述，式（1）是恒成立的。即在上是凸函数。只在内连续，在端点处不连续。例7 设是上非常值的单调连续凸函数，则如下不等式成立 (1)在（1）式中，将“”换成“”，则（1）式仍成立。证明： 由推论5可得 （2）由定理3.3.1可得 （3）由（2）（3）式及已知可得（1）式等价于 （4）记 （5）交换上式中与的位置，则可得 （6）将（5）与（6）两式相加可得 （7）由是上非常值的单调连续凸函数可得：，单调递增。再由（7）式可得.从而由（5）式可知（4）式成立，即（1）式成立，证毕。 例8 设是上连续凸函数，记. 则有. (1)在上式中将“”换成“”仍成立。证明：由设是上连续凸函数可得：存在使，且在与上分别单调递减与单调递增且均连续，再由推论5可得，.将上两式相加并整理可得（1）式。证毕。结束语：从上述对凸函数的性质的讨论和在一些证明中的应用可知, 连续凸函数具有一些非常好的性质, 在数学各个领域中都有着广泛的应用。 但由于凸函数理论的广泛性, 因此对凸函数理论的研究成果还需进一步的深入和推广.参考文献： 1 Shenglan He, Wu zhou, Xiaoming Ji. A Class of B-semipreinvex functions J. Journal of southwest University for Nationalities, 2005, 2 (31): 2-3.2 Hehua Jiao. h-Convex Functions J. Journal of Kunming University of Science and Technology, 2007, 4 (32): 1-2.3 张景丽,陈蒂. 凸函数在不等式证明中的应用N. 教学与方法. 4 蒲义书,陈露. 凸函数概述N. 高等数学研究, 2006, 4 (9): 1-2.5 Mi Zhou, Yong Wang, Xiaolan Liu, Qiang Bai. Properties of D-properly Prequasiinvex Functions J. Journal of Hainan Normal University, 2009, 4 (22): 2-3.6 Hehua Jiao. To Study Prequasi-Invex Functions by Applying Nearly Convexity J. 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