几何非线性与材料非线性.pdf

年 第卷 第期 北京 化工学院学报 合 几何非线性与材料非线性 冷纪桐陈罕 一 机械工程系 摘要 从基本概念出发 通过例子讨论在结构分析中产生几何非线性与材料非线性 雌原因 澄清关于它们必然同时出现的误解 并指出根据问题非线性的类型正确 选择分析方法的重要性 关锐词结构分析 弹性 塑性 有限变形 几何非线性 材料非线性 引言 众所周知 一般工程结构用的金属材料在一定的条件下 其应变和应力近似地服从线 性弹性关系 两当材料达到一定的应力状夸后 即 出现塑性流动 使其应变与应力呈非线 性关系这种非线性关系称为材料非线性在工程构件变形较小的情况下 其应变与位移 之间在往近似地符合线 性关系而当变形增大后 其非线性关系渐趋明显 使我们在推导 公 式和计算中不得不考虑几何非线 性即 由形变的几何关系引起的非线性然而 我们在科 研工作和指导研究生 的学习中也确实发现一些错误的理解 有人以为只要材料产生了塑性 变形即出现材料非线 性问题 其变形就一定已经达到非考虑几何非线性不可的程度了也 有人认为当变形已进入几何非线性范围 时 其应变与应力就肯定不再 符合线性弹性规律 实际倩况并不是这样本文不拟从理论上全面论迩 而只 准备从最 基本的概念出发 结合 一些有趣的例子进行讨论 使 问题得以澄清 弹性与塑性 在常温下 多数工程结构中用的金属材料 若处于单向应力状态 当应力 小于比例 极限时 其应变与应力成正比例 比例常数即为杨氏模量 当应力超过屈服极限 后 即开始出现明显的塑性流动由于 与很接近 可以认为在单向应力下 非线性始 于 二 在此 为了使 问题简化以便于讨论 暂且不去考虑卸载问题和材料的硬化 现象对于处于三 向应力状态下的材料 则应按准则 视其等效应力 收稿 日期年月日 孔了 扣 是 否大和二 三 是应力偏张量 相同下标表示按爱因斯坦约定求和 本文后 同 一 零 为克罗内克尔符号不难验证 子昌 压 玉 子孟 一 一一 受 下圣下兰 后 一种表达形式 常见于一般材料力学衬中 按照这一准则 由静水压力引起的材料内部三 向 相 同的应力剪应力为零是不会引起塑性变形的 无论应力有多大 材料仍处于弹性状 态 一旦静水压力卸掉 试件恢复其原来的体积换句话说 塑性变形与应力偏张量有 关 与应力球张量无关这种理论是以的试验为根据的亿曾报道他在 高达一的条件下对多种金属进行试验 并曾观侧到某种弹簧钢产生的 体积变形 例某种钢材 其杨氏模量 泊桑比 屈服极限 单向拉伸至屈服时 若使材料处于 的静水 压 力中 其卜 一 产 尸 一 一 但材料仍然处于弹性 态 负号表示应变 是压缩 由例可以看出 引起材料非线性的主要原因是应力偏量 若材料中应变和应力值都 很大 但应力偏 量不大 还是有可能处于弹性状态的试验 和以上讨论都是针 对受压情况的 三 向受拉情况也相类似在断裂初性的测试 中会 发现 由 几同样 的材 料 制成的跨度及宽度相等的弯曲试件 其厚度小者 在裂纹尖端周围的塑性区有时会明显地大 于厚度大的试件 小变形与有限变形 在弹性力学中最经常用到 的无限小应变张量 二二一二 吸 应变状态的客观度量在上式中 代表位移 下同在小应变和无 的条件下 它可以用来做为材料应变状态的一种近似度量一 其实并不是材料 或只有微小转动 例使 一没有发生变形的圆柱体绕其轴线顺时针转一微小角度从不动坐标系 上 考查该圆柱体某一横截面上 任一点 二 的运动 如图所示转动后 尸 点坐标 为 一 戈 一劣 元 可得 戈 一一 一一 劣一 一吐 处及 为尸点 在劣及方向的位移按照无限小应变的定义 器 卜 斋畔 卜 厂 物体并未发生形变 却出现叭 护 这是由于 的定义式未能排除旋转的干 扰 的缘故 物体转动可以看成是坐标反转通 过这一简单的实例 可以看出并不能客 观地描述物体的应变状态 为了解决这一 题 科学家先后提出格 林 一 拉格朗日应变张量 和欧拉 一 阿尔曼西 应变张量 它们分 别适应 拉格朗日的 物质描述 和欧拉的 空间描述 方法 二 曰 二 十 丫 二二一 十 二 二 二二二 入大 立 入 才 一 二 月 十二卜二认 一 二尸 二一 劣二了 在上二式中 为物质坐标系 戈 为空间坐标系 也就是说 是以变形前的参考构形 定义的 是以变形后的即时构形定义的对同一物件中的同一点 拼 但它 们都能客观地描述该点的应变状态更详细的说明可 参看 例一 均质杆 原长度为 单向受拉后长度为对 其截面仍保持均匀沿杆长度 方 向 久一 一 气人一 十 万气几一夕 乙 二 主 二生 一 工 鱼二丫 人入 一 一 几一 一 人 上一 兰 些 旦 一 一 土旦 竺一 一 一 王 一 巨 兰 竺 一一 一竺 竺二 一 一止巴厂 一 一 王兰四了一卜 一 圣竺 二 一 一土一 竺士塑竺少二 卜 一三 鲤竺竺二 一 一 一燮些圣 竺兰 上旦竺 型工二 一 卜 一兰 三 一一 全 一 卫 二 旦圣 一些 泣 兰少竺业了 一 一 生竺竺竺 兰 一 卫 二 旦 竺 竺二竺 二 卜 一竺 竺色 一一 如果杆是 由钢材制成 其 塑性变形发端于 之 左右 即 即 巳开始 产生材料非线性 问题而当 再增大一数量级 达到左右 其几何 非 线性 尚不明 显 若仍按线性计算 所产 生误差仅 约 并不影响工程应 用 应指 出 随人增大 与的差距急剧增大 这是 由于两者定义的基础即采用的描 述方法不一样 不是从 一个标架上观察而造成 的 在非线性分析中 若采用拉格朗日描述 方法 应变为 应力应采用克希荷夫 一皮 欧拉第一或第二应力张量 若来用欧拉描述方 法 应变则为 应力应为柯西应力张量虽然 和 在数值上相差甚大 但它们 之间有客观 的转换关系不论采用那种描述方法 都能得到正确的分析结果 不过对具体 问题有简繁之 分但若采用 在不满足小变形和微小转动的条件下就不会获得有用的结 果 例似乎在诱导人 们去认 为当构件 中 发生材料非线性问题 时 不见得有几何非线 性 但反过来 若变形已足以引起严 重的几 何非线性 就非考虑材料非线性不可了 实 际情况有些不一样请看以下几例 例使厚度为的直薄钢片贴伏于 半径为的 圆筒之上 贴伏过程中钢片 中面 不伸长或缩短 且 其坐标及有关符 号 见图不难从几何关系得出以下诸 式 九 戈 一十 二 尸 一一戈 一一 变形后 中面挠度为的 一 图 左 一 定义 勺二 一厄轰一 曰 一 为各处中面挠度与钢片 厚度 之比 不难算出按无 限小应 变定义 的 二 勺 万十 个 及拉格朗日应变 勺 万二二 允 若点位 于的表面上 丫杠一 月勺 伪 二 一 万平 十 万 刃万叭 一 夕 令几荞则 五卜 一 二 二 巡卫共毛二里 乙几 以拉格朗日应变为基 准的相对误差 几 一 几 一 几 设在我们所考察的问题 中 在 一的范围内 在一 的范围内 孟 几 故 邑之 一 月 在 的前提下 相 对误差 并不取决于 而是与 有关 这一结论对于指导一 系 列梁 板 和壳 的分析有着 重要 的意义对于本例 当其挠度接近于厚度的 线性分 析巳造成左右的误差 若挠度为厚度的倍或更大 线性分析的结果就更无法令人信 服了 在本例中 误差取决于 又与戈坐标值有关 即与 有关同一钢片上各 处 的误 差不同这一事实 初一看来不易接受其实道理是简单的 小应变 计算式的主要毛 病之 一就是它不能排除旋转的干挠 如例所示钢片上各处的局部刚体旋转的转角就等 于该处的 很 自然地 越大 误差越大 例在例中取 二 二 二 钢片 一 这 时 端点的与 的相对误差已达 而钢片上 下表面的应 力约 为口不 由于其它两个方 向的应力值均较低 可以近似按单 向应 力准则 判断 认为还未进入塑性流动阶段这就回答了前面关于出现几何非线性时是否一定会出现材料 非线性的问题 当然 对于这一简单问题 大可不必动用非线性分析这把牛刀 采用材料 力 学 的 方 法 将钢 由中任意 一点 的相对伸长根据几何关系表示为 一一 二 心少 卜 一 一石几面一丁 二 式 俘 所得的结果具有足够的精确度材料力学的方法是建立在一些假设的基础 上的这些假设 是否合理 其适用范围如何 一方面要 由实验来验证 另一方面也需要借助一些更深入的 理论来进行分析 其中包括一些非线性的分析对比较复杂的问题 材料力学和结构力 学 的方法有可能解决不了 有时就不得不深入到非线性分析的领域中 受侧向力作用的薄板 若其挠度万远小于厚度 二 问题是线性的 而且板的中面 一般不伸长和缩短若二与相近 考虑面内应变时 不单要计入奥 粤 粤 及 口汤汤 一 爵 即 留 项 还要计入 嘿 一 嘿瓷 及 瓷 项 见文献 及 这相 于在格林 一 拉格朗日应变张量的二阶项绘 舞帽 下与研有关的项 而去掉 有关 的项 也就是说 要采用非线性分析中的应变张量 只不过 由于问题 的具体情况包括 板的一个尺度远小 于另两个尺度可以对 作一些简化罢了由于牙增大 原来的受力 平衡状态 也发生变化 中面在侧力 的作用下要产生变形 其结桌板就不再是只受弯矩不受 薄膜力作用的构件 具体的分析可 见文献 和 这从连续介质力学的观点来看 可以 认为是由于牙增大 板上各处产生不同程 一 度的局部转动 因而需妻采 用合适的应力张量 在此与 对应 的是克希荷夫 一皮 欧拉应力张量 但 由子问题 的特殊性 又可以将该应力张 量中的一些影响较小 的 修 正 项去掉 因此 板壳的非线性问题比以上几个例子要来得 复杂 忽略了非线性的客观存在 简单地用线性方法来处理 所造成 的误差 有可能更为严 重 例半径为的平板 周边固定 其厚度 二 材料性能 二 若板的一侧承受的介质压力 其中心处最大 挠度班 可按 由线性方程得 出的 解 算 弓 沙 二 丽 夕 上式为圆板半径 豆硬二石 厄了 计算结果不 二 若板的一侧承受 加 的压力 其中心处的最大挠度牙 应 由非线性方程得 出 提 出 用摄 动法解该方程由摄 动解可整理出 豁 一 卜导 一 由 竺算得研 二 若仍按线性公式计算 才 二 误差约 若板一侧压力增至 由线性式子得研 由非线性方程摄动解得的比 较准确的数字是班 两者相差倍以上 可见线性解已完全不适用 当板的侧面压力为 时 板 内最大弯 曲应力产生于周边处约 干 其 中心处的弯曲力小于膜应力 膜应力约 见文献 第 逮页根据计算绘 出 的图 这说明 板 的材料仍 处于弹性状态工程上常采用一些 柔性元件 例如化工设备和管 道中的热补偿元件在上作状态下 它们产生较大的变形 载荷卸掉后还 能恢复原状这 表明从整体上看它们还 在弹性范围内工作并不排除局部区域有小量屈服 但这状况并 不能保证对它们进行分析时不需要考虑非线性问题 在 一仁 例中 当采用摄 动法求解时 其摄动参数为 一 华 一 当卜 解就显著不 准确 为息 所得的解在板中心处才小于中心周围区域 这是不合理的 飞 对 于本 例 解只 适用于牙 如侧压增至 就不能再采用这一解这时 膜应 力大于弯曲应力占主导她位 平板变形后实际已变成球壳的一之部分在 中引用安德烈 娃的解 该解可写成邵 二 丈君望卫 的形式 这时式子 的形式已不再和一般 平板公式 一样了 加 时 研 当 可见增大 牙 增大 问题的性质和类型有可 能 改变 不可粗心 由竹还可以看出 几何非线性有可能是由于某一线尺度产生较大变形 因而使与该方 向相垂直的微元面积发生变化而 引起 如例所示 也有可能是 由于局部或整体 转动而引 起 如惋的情形对于一般工程构件 在设计中要求 的 的为允许的应力一般小 于这就 使得线尺度发生较大变形的机会相对地少 而由转动引起的非线性 则 屡见不 鲜 结论 综上所述 在对工程结构进行分析时 应十分注意各种理论 的便用范围线性理论计 算比较简单 但要 注意其计算的准确度一般地讲 对于梁 板和壳一类 问题 当挠度 奥 一李 厚度时 线性理论 的误差 已很大材料非线性与几何非线性的出现并无确定的 一 一一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 次