2018高中数学平面解析几何初步第一节直线的方程2直线方程的几种形式学案苏教版.docx

直线方程的几种形式一、考点突破知识点课标要求题型说明直线方程的几种形式1. 掌握直线方程的几种形式；2. 能利用几种形式求直线的方程；3. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程几种形式之间的关系。选择题填空题解答题1. 理解数形结合的思想，掌握直线方程的几种形式，会根据已知条件求直线方程；2. 会根据直线的特征量画直线，研究直线性质。二、重难点提示重点：直线方程的五种形式。难点：直线方程的五种形式的适用条件及其形式特征。考点一：直线方程的几种形式（1）直线的点斜式方程和斜截式方程过点P1（x1，y1）且斜率为k的直线方程yy1k（xx1）叫做直线的点斜式方程。过点P1（x1，y1）且与x轴垂直的方程为xx1，即由横坐标为的所有点组成的直线。当直线经过点P（0，b），且斜率为k的直线的方程为ykxb，它称为直线的斜截式方程。其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距。（2）直线的两点式方程和截距式方程已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则其方程为（x1x2且y1y2），称为直线的两点式方程。当x1x2时的方程是xx1；当y1y2时直线的方程是yy1。已知直线过点A（a,0）、B（0，b），其中a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距，则直线的方程为1（a0，b0），称为直线的截距式方程。当ab0时直线的方程是xa或yb。（3）关于x、y的二元一次方程AxByC0（A、B不全为0）叫做直线的一般式方程。技巧点拨：直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k（xx0）不含垂直于x轴的直线斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1（x1x2）和直线yy1（y1y2）截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0（A2B20）平面直角坐标系内的直线都适用例题1 （求直线的方程）求过点（4，3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程。思路分析：要求直线方程，可结合题中的截距的绝对值相等来求，或求出直线的斜率获得直线方程。答案：法1：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b。当a0，b0时，设l的方程为1。点（4，3）在直线上，1，若ab，则ab1，直线方程为xy1。若ab，则a7，b7，此时直线的方程为xy7。当ab0时，直线过原点，且过点（4，3），直线的方程为3x4y0。综上知，所求直线方程为xy10或xy70或3x4y0。法2：设直线l的方程为y3k（x4），令x0，得y4k3；令y0，得x。又直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，|4k3|，解得k1或k1或k。技巧点拨：1. 由于直线的截距式方程不表示过原点的直线，因此解法1首先考虑过原点的特殊情况，截距为0的直线很容易被遗忘，应引起重视。2. 求直线在坐标轴上的截距的方法是：令x0，所得y值是在y轴上的截距，令y0，所得x值是在x轴上的截距。3. 直线方程的确定只需两个量，一点一斜或两点，确定方程时，要选择合适的形式，且最后结果要转化为直线的一般式方程。4. 在把其他形式的方程化为一般式方程时，一般是将x的系数化为正数。例题2 （直线方程间的综合应用）设直线l的方程为（a1）xy2a0（aR）。（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。思路分析：（1）分直线“过原点”和“不过原点”两类分别求解。（2）分“斜率为零”和“斜率不为零”两类分别求解。答案：（1） 直线l 可化为a （x1） xy20，令x1=0，xy20则 x=1，y3，所以直线l恒过（1，3）。当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，即截距相等，a2时满足条件，此时l的方程为3xy0；当a1时，直线平行于x轴，在x轴无截距，不合题意；当a1，且a2时，由a2，即a11，即a0。此时直线在x轴、y轴上的截距都为2，l的方程为xy20。综上，直线l的方程为3xy0或xy20时，l在两坐标轴上的截距相等。（2）假设存在实数a，使直线l不经过第二象限。将l的方程化为y（a1）xa2，则有或，解得a1。技巧点拨：1. 本题（1）在求解过程中，常因忽略直线l过原点的情况而产生漏解；本题（2）在求解过程中，常因漏掉“（a1）0”的情形而漏解。2. 解答此类综合问题，常采用分类讨论（或数形结合）的思想求解。解题时应结合具体问题选好切入点，以防增（漏）解。坐标法在实际问题中的应用【满分训练】如图所示，某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积。（精确到1 m2）思路分析：本题考查坐标法的应用和二次函数的最值问题，关键是确定点P的位置，可建立坐标系，运用直线的知识求解。答案：建立如上图所示坐标系，则B（30,0），A（0,20），由直线的截距式方程得到线段AB的方程为1（0x30）。设点P的坐标为（x，y），则有y20。公寓占地面积为S（100x）（80y）（100x）（8020）x2x6 000（0x30）。当x5，y时，S取最大值，最大值为S5256 0006 017（m2）。即当P点的坐标为（5，）时，公寓占地面积