高考数学一轮复习 第八章 第3课时 空间点、线、面间位置关系课件 理.ppt

第八章立体几何 1 理解空间直线 平面位置关系的定义 并了解作为推理依据的公理和定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 请注意平面的基本性质是立体几何的基础 而两条异面直线所成的角和距离是高考热点 在新课标高考卷中频频出现 1 平面的基本性质公理1 如果一条直线上的在一个平面内 那么这条直线就在此平面内 公理2 经过的三点 有且只有一个平面 公理3 如果不重合的两个平面有一个公共点 那么它们有且只有条通过的公共直线 两点 不在同一直线上 一 该点 2 用集合语言描述点 线 面间的关系 1 点与平面的位置关系 点a在平面 内记作 点a不在平面 内记作 2 点与线的位置关系 点a在直线l上记作 点a不在直线l上 记作 3 线面的位置关系 直线l在平面 内记作 直线l不在平面 内记作 4 平面 与平面 相交于直线a 记作 5 直线l与平面 相交于点a 记作 6 直线a与直线b相交于点a 记作 a a a l a l l l a l a a b a 3 直线与直线的位置关系 1 位置关系的分类 2 异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 经过空间中任一点o作直线a a b b 把a 与b 所成的叫做异面直线a b所成的角 或夹角 锐角或直角 1 判断下面结论是否正确 打 或 1 如果两个不重合的平面 有一条公共直线a 那么就说平面 相交 并记作 a 2 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于过a点的任意一条直线 3 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于a点 并记作 a 4 两个平面abc与dbc相交于线段bc 5 经过两条相交直线 有且只有一个平面 答案 1 2 3 4 5 2 空间四点中 三点共线是这四点共面的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件答案a 3 2014 广东文 若空间中四条两两不同的直线l1 l2 l3 l4满足l1 l2 l2 l3 l3 l4 则下列结论一定正确的是 a l1 l4b l1 l4c l1与l4既不垂直也不平行d l1与l4的位置关系不确定答案d 解析在正六面体中求解 也可以借助教室中的实物帮助求解 在如图所示的正六面体中 不妨设l2为直线aa1 l3为直线cc1 则直线l1 l4可以是ab bc 也可以是ab cd 也可以是ab b1c1 这三组直线相交 平行 垂直 异面 故选d 4 已知直线a b c 有下面四个命题 若a b异面 b c异面 则a c异面 若a b相交 b c相交 则a c相交 若a b 则a b与c所成的角相等 若a b b c 则a c 其中真命题的序号是 答案 解析 a c可能相交 平行或异面 a c可能相交 平行或异面 正确 a c可能相交 平行或异面 5 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是a1b1 b1c1的中点 问 1 am和cn是否是异面直线 2 d1b和cc1是否是异面直线 思路 1 易证mn ac 所以am与cn不是异面直线 2 由图易判断d1b和cc1是异面直线 证明时常用反证法 例1下列命题 空间不同三点确定一个平面 有三个公共点的两个平面必重合 空间两两相交的三条直线确定一个平面 三角形是平面图形 平行四边形 梯形 四边形都是平面图形 垂直于同一直线的两直线平行 题型一平面的性质 一条直线和两平行线中的一条相交 也必和另一条相交 两组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的命题是 解析 由公理3知 不共线的三点才能确定一个平面 所以知命题 错 中有可能出现两平面只有一条公共线 当这三个公共点共线时 错 空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点 若为三个交点 则这三线共面 若只有一个交点 则可能确定一个平面或三个平面 中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形 而四边形有可能是空间四边形 如图 1 所示 在正方体abcd a b c d 中 直线bb ab bb cb 但ab与cb不平行 错 ab cd bb ab b 但bb 与cd不相交 错 如图 2 所示 ab cd bc ad 四边形abcd不是平行四边形 故 也错 答案 探究1对于空间几何中的一些概念 公理 定理和推论的理解一定要结合图形 理解其本质 准确把握其内涵 特别是定理 公理中的限制条件 如公理3中 不共线的三点 不共线 是很重要的条件 另外 对于平面几何中的一些正确命题 包括一些定理推论 在空间几何中应当重新认定 有些命题因为空间中位置关系的变化 可能变为错误命题 学习中要养成分类讨论的习惯 再就是结合较熟悉的立体几何图形或现实生活中的实物进行辨析 也可利用手中的笔 书本等进行演示 验证 2013 安徽理 在下列命题中 不是公理的是 a 平行于同一个平面的两个平面相互平行b 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面c 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内d 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析 b c d都是公理 答案 a 思考题1 例2已知在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为d1c1 c1b1的中点 ac bd p a1c1 ef q 求证 1 d b f e四点共面 2 若a1c交平面dbfe于r点 则p q r三点共线 3 de bf cc1三线交于一点 题型二平面基本性质的应用 证明 1 如图所示 因为ef是 d1b1c1的中位线 所以ef b1d1 在正方体ac1中 b1d1 bd 所以ef bd 所以ef bd确定一个平面 即d b f e四点共面 2 在正方体ac1中 设a1cc1确定的平面为 又设平面bdef为 因为q a1c1 所以q 又q ef 所以q 所以q是 与 的公共点 同理 p是 与 的公共点 所以 pq 又a1c r 所以r a1c r 且r 则r pq 故p q r三点共线 3 ef bd且ef bd de与bf相交 设交点为m 则由m de de 平面d1dcc1 得m 平面d1dcc1 同理 点m 平面b1bcc1 又平面d1dcc1 平面b1bcc1 cc1 m cc1 de bf cc1三线交于点m 答案 1 略 2 略 3 略 探究2 1 点共线问题的证明方法 证明空间点共线 一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点 再依据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上 2 线共点问题的证明方法 证明空间三线共点 先证两条直线交于一点 再证第三条直线经过这点 将问题转化为证明点在直线上 3 点线共面问题的证明方法 纳入平面法 先确定一个平面 再证有关点 线在此平面内 辅助平面法 先证有关点 线确定平面 再证明其余点 线确定平面 最后证明平面 重合 1 下列各图是正方体和正四面体 p q r s分别是所在棱的中点 这四个点不共面的图形是 思考题2 解析 在a中易证ps qr p q r s四点共面 在c中易证pq sr p q r s四点共面 在d中 qr 平面abc ps 面abc p且p qr 直线ps与qr为异面直线 p q r s四点不共面 在b中p q r s四点共面 证明如下 取bc中点n 可证ps nr交于直线b1c1上一点 p n r s四点共面 设为 可证ps qn p q n s四点共面 设为 都经过p n s三点 与 重合 p q r s四点共面 答案 d 2 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab和aa1的中点 求证 e c d1 f四点共面 ce d1f da三线共点 证明 如图所示 连接ef cd1 a1b e f分别是ab aa1的中点 ef ba1 又a1b d1c ef cd1 e c d1 f四点共面 ef cd1 ef cd1 ce与d1f必相交 设交点为p 则由p ce ce 平面abcd 得p 平面abcd 同理p 平面add1a1 又平面abcd 平面add1a1 da p 直线da ce d1f da三线共点 答案 略 略 例3在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为棱aa1 cc1的中点 则在空间中与三条直线a1d1 ef cd都相交的直线有 条 题型三空间两直线的位置关系 解析 方法一 在ef上任意取一点m 直线a1d1与m确定一个平面 这个平面与cd有且仅有1个交点n 当m取不同的位置就确定不同的平面 从而与cd有不同的交点n 而直线mn与这3条异面直线都有交点 如图所示 方法二 在a1d1上任取一点p 过点p与直线ef作一个平面 因cd与平面 不平行 所以它们相交 设它们交于点q 连接pq 则pq与ef必须相交 即pq为所求直线 由点p的任意性 知有无数条直线与三条直线a1d1 ef cd都相交 答案 无数 探究3解决立体几何问题常用的方法是空间问题的平面化 转化为平面问题后就可以用我们熟悉的方法来解决 这体现了空间立体几何的转化与化归的思想 2014 广东 若空间中四条两两不同的直线l1 l2 l3 l4 满足l1 l2 l2 l3 l3 l4 则下列结论一定正确的是 a l1 l4b l1 l4c l1与l4既不垂直也不平行d l1与l4的位置关系不确定 思考题3 解析 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 取l1为bc l2为cc1 l3为c1d1 满足l1 l2 l2 l3 若取l4为a1d1 则有l1 l4 若取l4为dd1 则有l1 l4 因此l1与l4的位置关系不确定 故选d 答案 d 例4在正方体abcd a1b1c1d1中 e为ab的中点 1 求证 ac 平面bdd1 2 求bd1与ce所成角的余弦值 题型四异面直线所成的角 探究4高考中对异面直线所成角的考查 一般出现在综合题的某一步 其步骤为 1 平移 选择适当的点 线段的中点或端点 平移异面直线中的一条或两条成为相交直线 2 证明 证明所作的角是异面直线所成的角 3 寻找 在立体图形中 寻找或作出含有此角的三角形 并解之 4 取舍 因为异面直线所成角 的取值范围是0 90 所以所作的角为钝角时 应取它的补角作为异面直线所成的角 1 如图所示 在底面为正方形 侧棱垂直于底面的四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为 思考题4 答案 d 解析 如图 设g是ac的中点 连接eg fg 答案 90 1 公理2是立体几何最基本 最重要的定理 它的主要作用是确定平面 2 不共线的三点确定一个平面 一定不能丢掉 不共线 条件 3 两条异面直线所成角的范围是 0 90 1 2015 沧州七校联考 若直线l不平行于平面 且l 则 a 内的所有直线与l异面b 内不存在与l平行的直线c 内存在唯一的直线与l平行d 内的直线与l都相交答案b解析若在平面 内存在与直线l平行的直线 因l 故l 这与题意矛盾 故选b 2 设a b c d是空间四个不同的点 在下列命题中 不正确的是 a 若ac与bd共面 则ad与bc共面b 若ac与bd是异面直线 则ad与bc是异面直线c 若ab ac db dc 则ad bcd 若ab ac db dc 则ad bc答案d解析abcd可能为平面四边形 也可能为空间四边形 d不成立 3 2015 上海杨浦质量调研 若空间三条直线a b c满足a b b c 则直线a与c a 一定平行b 一定相交c 一定是异面直线d 一定垂直答案d解析两条平行线中一条与第三条直线垂直 另一条直线也与第三条直线垂直 故选d 4 在平行六面体abcd a1b