逆矩阵的计算.ppt

逆矩阵的概念 矩阵可逆的条件 逆矩阵的求法 3逆阵 下页 关闭 矩阵之间没有定义除法 而数的运算有除法 本节相对于实数中的除法运算 引入逆矩阵的概念 则说方阵A是可逆的 并把方阵B称为A的逆矩阵 逆阵的概念 注意 只有方阵才有逆矩阵的概念 由定义即得 当B为A的逆矩阵时 A也是B的逆矩阵 例如 因为AB BA E 所以B是A的逆矩阵 同样A也是B的逆矩阵 定义7对于n阶方阵A 如果有一个n阶方阵B 使 AB BA E 上页 下页 返回 B A 1 如果方阵A是可逆的 则A的逆阵一定是唯一的 这是因为 设B C都是A的逆矩阵 则有 B BE B AC BA C EC C 所以A的逆阵是唯一的 A的逆阵记作A 1 即若AB BA E 则 例如 因为AB BA E 所以B是A的逆阵 即 A 1 B 上页 下页 返回 定理1若方阵A可逆 则A的行列式不等于0 证A可逆 即有A 1 使AA 1 E 故 A A 1 E 1 所以 A 0 矩阵可逆的条件 例如 易见AB BA E 即A可逆 此时 A 1 0 定理1表明 可逆阵的行列式一定不等于零 这个结论反过来也成立 请看下面的定理2 上页 下页 返回 定理2若A的行列式不等于0 则A可逆 且 证由例9知AA A A A E 上页 下页 返回 当 A 0时 A称为奇异方阵 否则称为非奇异阵 B EB A 1A B A 1 AB A 1E A 1 由定理1和定理2可得 矩阵A是可逆方阵的充分必要条件是 A 0 推论若AB E 或BA E 则B A 1 证 因为 A B E 1 故 A 0 因而A 1存在 于是 上页 下页 返回 注 定理2可用来求一些矩阵的逆矩阵 例如 故A可逆 需要说明的是 通常利用伴随阵A 来计算A的逆矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵 否则计算量可能很大 对于阶数高于3的矩阵 以后将介绍用初等变换的方法来求逆矩阵 上页 下页 返回 方阵的逆阵满足下述运算规律 证 证 上页 下页 返回 其中k为正整数 定义 上页 下页 返回 A11 2 A21 6 A31 4 A12 3 A22 6 A32 5 A13 2 A23 2 A33 2 例9 解 经计算可得 A 2 0 知A可逆 求方阵 上页 下页 返回 求矩阵X使满足AXB C 例10设 若A 1 B 1存在 则由A 1左乘AXB C 又用B 1右乘AXB C 有A 1AXBB 1 A 1CB 1 即X A 1CB 1 分析 上页 下页 返回 解 上页 下页 返回 矩阵的运算小结 一 已定义过的运算 矩阵与矩阵的加 减法 矩阵与数的乘积 矩阵与矩阵的乘积 方阵的行列式 逆矩阵 矩阵的转置 上页 下页 返回 二 不允许出现的 运算 矩阵与数的加 减法 矩阵与矩阵相除 数除以矩阵 矩阵的运算中矩阵不能出现在 分母 中 这与 行列式是根本不同的 因为行列式是 数 当这个数不等于零时 就可以出现在分母中 因此行列式可以出现在分母中 上页 下页 返回 三 矩阵运算中要注意的地方 以下运算都只有方阵才有 1 逆矩阵 2 方幂 3 矩阵的行列式 矩阵的乘法通常没有交换律 消去律 两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 用一个数去乘以矩阵与用一个数去乘以行列 即当两个矩阵的乘积为零矩阵时 不能推出其中必有一个为零矩阵 式是不同的 上页 下页 返回 解 又 Ex 4 上页 下页 返回 于是 上页 下页 返回 也可以直接按定义来验证这一结论 上页 下页 返回 解 Ex 5 上页 下页 返回 解 Ex 6 上页 下页 返回 上页 下页 返回 上页 返回 设给定一个线性变换 它的系数矩阵是一个n阶方阵A 上页 下页 返回 则线性变换 7 可记为 Y AX 8 记 上页 下页 返回 按克拉默法则 若 A 0 则由 7 可解出 即x1 x2 xn可用y1 y2 yn线性表示为 上页 下页 返回 从 8 10 两式分析变换所对应的方阵A与逆变换所对应的方阵B之间的关系 将 10 代入 8 可得 线性变换 9 称为线性变换 7 式的逆变换 若把 9 的系数矩阵记为B 则 9 也可写成 X BY 10 Y A BY AB Y 可见AB为恒等变换所对应的矩阵 故AB E Y AX 8 前面已得