高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法(理)课件.ppt

走向高考 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 新课标版 高考总复习 立体几何 第七章 第七讲立体几何中的向量方法 理 第七章 1 直线的方向向量与平面的法向量 1 直线l上的向量e以及与 的向量叫做直线l的方向向量 2 如果表示非零向量n的有向线段所在直线 平面 那么称向量n垂直于平面 记作 此时把 叫做平面 的法向量 知识梳理 e共线 垂直于 n 向量n 2 线面关系的判定设直线l1的方向向量为e1 a1 b1 c1 直线l2的方向向量为e2 a2 b2 c2 平面 的法向量为n1 x1 y1 z1 平面 的法向量为n2 x2 y2 z2 1 如果l1 l2 那么e1 e2 2 如果l1 l2 那么e1 e2 0 3 若l1 则e1 n1 e1 n1 0 e2 e1 a2 a1 b2 b1 c2 c1 e1 e2 a1a2 b1b2 c1c2 0 a1x1 b1y1 c1z1 0 4 若l1 则e1 n1 e1 kn1 5 若 则n1 n2 n1 kn2 6 若 则n1 n2 n1 n2 0 a1 kx1 b1 ky1 c1 kz1 x1 kx2 y1 ky2 z1 kz2 x1x2 y1y2 z1z2 0 3 利用空间向量求空间角 1 两条异面直线所成的角 范围 两条异面直线所成的角 的取值范围是 向量求法 设异面直线a b的方向向量为a b 直线a与b的夹角为 a与b的夹角为 则有cos 2 直线与平面所成的角 范围 直线和平面所成的角 的取值范围是 向量求法 设直线l的方向向量为a 平面的法向量为u 直线与平面所成的角为 a与u的夹角为 则有sin 或cos sin cos cos 3 二面角 二面角的取值范围是 二面角的向量求法 若ab cd分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的异面直线 则二面角的大小就是向量ab与cd的夹角 如图 0 设n1 n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则图 中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小 而图 中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小 双基自测 利用向量证明平行与垂直问题 规律总结 用向量法证平行问题的类型及常用方法 提醒 用向量结论还原几何结论时 要注意书写规范 说明定理的条件 利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法 利用向量求空间角 分析 点拨 本题中需注意直线与平面的夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值的绝对值 利用平面的法向量求二面角的正切值时需注意二面角是锐角 规律总结 1 向量法求线面角的两大途径 分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 提醒 在求平面的法向量时 若能找出平面的垂线 则垂线上取两个点可构成一个法向量 2 利用向量法确定二面角大小的常用方法 找法向量法 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角的大小 找与棱垂直的方向向量法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 3 向量法应用二面角大小 范围 的技巧建立恰当的空间直角坐标系 将两平面的法向量用与待求相关的参数 字母 表示 利用两向量的夹角公式构建方程或不等式或函数 进而求解 利用向量求距离 点拨 空间中的距离问题一般都可以转化成点到点的距离 点到线的距离和点到面的距离 其中点到点的距离 点到线的距