高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系导学案 新人教A版必修2.doc

第二章、点、直线、平面之间的位置关系本章概述空间点、直线、平面之间的位置关系，直线与平面、平面与平面平行的判定及其性质以及直线与平面、平面与平面垂直的判定及其性质，它们是我们认识现实世界中物体的形状、大小与位置关系的重要工具和必要的基础知识，对培养空间想象力和逻辑推理能力有一定的辅助和推进作用另外，本章始终采用直观感知、操作确认、思维论证、度量计算等方法认识和探索几何图形的结构及其性质本章共分三大节：第一大节是介绍空间点、直线、平面之间的位置关系；第二大节是研究直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；第三大节是研究直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质学会准确地使用空间几何的数学语言表述几何对象的位置关系，体会公理化思想，培养逻辑思维能力，解决简单的推理论证及应用问题本章重点是平面的基本性质，空间两直线、直线与平面、平面与平面间的平行与垂直关系本章难点是直线、平面之间的平行与垂直关系的互相转化，异面直线所成的角及直线与平面所成的角的计算方法2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面【考纲要求】 学习目标1知道平面是不加定义的概念(原始概念)，初步体会平面的基本属性，会用图形与字母表示平面2能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系3能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用目标解读1用符号语言描述点、直线、平面之间的位置关系是重点；2用文字语言、符号语言、图形语言描述三个公理是难点【自主学习】1平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是 的(2)平面的画法水平放置的平面通常画成一个 ，它的锐角通常画成 ，且横边长等于其邻边长的 ，如图.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用 画出来如图.2点、线、面之间的位置关系直线、平面都可以看成 的集合点p在直线l上，记作 ；点p在直线l外，记作 ；点a在平面内，记作 ；点a在平面外，记作 ；直线l在平面内，记作 ；直线l在平面外，记作 .3平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内 ， ，且 ， l公理2 的三点，有且只有一个平面a，b，c三点不共线存在唯一的使a，b，c公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条 ， l，且pl特别提醒：点、线、面间的关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集故点与直线之间的关系，点与平面之间的关系用符号，表示，直线与平面之间的关系用，表示.【考点突破】要点一 平面的概念及点、线、面的位置关系1.生活中的平面是比较平整、有限的，而立体几何中所说的平面是从生活中常见平面中抽象、概括出来的，是理想的、绝对平整的、无限延展的立体几何中的平面无大小、厚薄之分，是不可度量的2平面通常用希腊字母，等表示(常把这些字母写在代表平面的平行四边形的一个角上)，如平面，平面，平面等也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称典型例题1、根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)a，b；(2)l，ma，al；(3)pl，p，ql，q.【思路启迪】正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“”，“”，“”，“”，“”的意义，在此基础上，实现三种语言间的互译【解】(1)点a在平面内，点b不在平面内；(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点a，且点a不在直线l上；(3)直线l经过平面外一点p和平面内一点q.图形分别如图(1)、(2)、(3)所示方法指导：三种语言的相互转换是一种基本技能，要注意符号语言的意义；由符号语言画相应图形时，要注意实、虚线反馈训练1、在下列命题中，正确命题的个数为()书桌面是平面8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚有一个平面的长是50 m，宽是20 m平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念a1b2c3d4要点二 共面问题1.证明点线共面的主要依据(1)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(公理1)；(2)经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(公理2及其推论)2证明点线共面的具体操作(1)证明几点共面可先取不共线的三点确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；(2)证明空间几条直线共面可先取两条相交(或平行)直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内典型例题2、如图，在正方体abcda1b1c1d1中，点e，f分别是aa1，cc1的中点，求证：d1，e，f，b共面【思路启迪】先利用其中d1，e，f三点确定一平面，然后利用公理3证明四点共面【证明】因为d1，e，f三点不共线，所以d1，e，f三点确定一个平面.由题意得，d1e与da共面于平面a1d且不平行，如图分别延长d1e与da相交于g，所以g直线d1e，所以g平面.同理设直线d1f与dc的延长线交于h，则h平面.又点g，b，h均在平面ac内，且点e是aa1的中点，aa1dd1，所以agadab，所以agb为等腰三角形，所以abg45.同理cbh45.又abc90，所以g，b，h共线于gh，又gh平面，所以b平面，所以d1，e，f，b共面方法指导：证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，及其推论，常用方法有：(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面，其余点、线确定另一个平面，再证平面与重合，即用“同一法”反馈训练2、求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面要点三 点共线或线共点问题1.证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线也就是说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上对于这个公理应进一步理解下面三点：如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上2证明线共点主要利用公理1、公理3作为推理的依据典型例题3、如图，e、f、g、h分别是空间四边形ab、bc、cd、da上的点，且直线eh与直线fg交于点o.求证：b、d、o三点共线【思路启迪】解答本题只要证明点o在平面abd与平面cbd的交线bd上即可。【证明】eab，had，e平面abd，h平面abd.eh平面abd.ehfgo，o平面abd.同理o平面bcd，即o平面abd平面bcd，obd，即b、d、o三点共线方法指导：(1)证明三点共线的常用方法：方法1是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点根据公理3知，这些点都在交线上方法2是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上(2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题反馈训练3、如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e为ab的中点，f为aa1的中点求证：ce、d1f、da三线交于一点考点巩固1如果空间四点a、b、c、d不共面，那么下列判断正确的是()aa、b、c、d四点中必有三点共线ba、b、c、d四点中不存在三点共线c直线ab与cd相交d直线ab与cd平行2下列说法中正确的个数为()三角形一定是平面图形若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形圆心和圆上两点可确定一个平面三条平行线最多可确定三个平面a1 b2 c3 d43如图，平面平面=l，a，b，c，cl，直线abl=d，过a，b，c三点确定的平面为，则平面，的交线必过()a点a b点bc点c，但不过点d d点c和点d4两两相交的三条直线最多可确定_ _个平面5如图，正方体abcda1b1c1d1中，平面a1c与平面bdc1的交线是_ _6如图，在四面体abcd中，e、g分别为bc、ab的中点，f在cd上，h在ad上，且有df：fc=dh：ha=2：3，求证：ef、gh、bd交于一点7如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，设线段a1c与平面abc1d1交于q，求证：b，q，d1三点共线8如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e、f、g分别为ab、bc、cc1的中点，作出过e、f、g的截面考点巩固-答案1、解析：a、b、c、d四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直线ab与cd既不平行也不相交，否则a、b、c、d共面答案：b2、解析：正确；不正确，因为圆心和两点共线时不可以确定一个平面答案：c3、解析：ab，dab，d.又dl，l，d.c，c，与的交线为cd.故选d.答案：d4、解析：当三条直线相交于一点且不共面时，确定的平面最多，有3个答案：35、解析：因为c1平面a1c且c1平面bdc1；同理m平面a1c且m平面bdc1，所以平面a1c与平面bdc1的交线是c1m.答案：c1m6、证明：因为e、g分别为bc、ab的中点，所以geac.又因为df：fcdh：ha2：3，所以fhac，从而fhge，故e、f、h、g四点共面，所以四边形efhg是一个梯形，gh和ef交于一点o.因为o在平面abd内，又在平面bcd内，所以o在这两平面的交线上，而这两个平面的交线是bd，且交线只有这一条，所以点o在直线bd上这就证明了gh和ef的交点也在bd上，所以ef、gh、bd交于一点7、解：连接a1b，cd1.显然，b平面a1bcd1，d1平面a1bcd1.bd1平面a1bcd1.同理：bd1平面abc1d1.平面abc1d1平面a1bcd1bd1.a1c平面abc1d1q，q平面abc1d1.又a1c平面a1bcd1，q平面a1bcd1.qbd1，即b，q，d1三点共线8、解：如图，连接ef，设直线ef与直线ad、cd分别交于点p、q连接qg，设直线qg与直线c1d1、dd1分别交于点h、r，连接pr，设直线pr与直线a1d1、aa1分别交于点i、j则六边形efghij即为正方体过e、f、g的截面2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系【考纲要求】 学习目标1会判断空间两直线的位置关系2理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成角3能用公理4解决一些简单的相关问题目标解读1空间两直线的位置关系的判断与异面直线所成的角的求法是重点；2求两异面直线所成的角是难点【自主学习】1空间两条直线的位置关系(1)异面直线我们把 的两条直线叫做异面直线(2)空间两条直线的位置关系有且只有三种2平行公理公理4平行于同一条直线的两条直线 3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 4异面直线所成的角(1)a，b是两条异面直线，过空间中 作直线aa，bb，我们把a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)如果两条异面直线a、b所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作 .特别提醒：两条直线的位置关系有三种：相交，平行，异面在判断两直线的位置关系时，这三种情况都要考虑到两条直线异面，是指找不到平面，使这两条直线同在这一平面内；并不是说，这两条直线不同在某一平面内，它们就是异面直线【考点突破】要点一 空间两条直线位置关系的判断空间两直线的位置关系有且只有三种：相交、平行、异面，其中相交直线和平行直线也称共面直线两直线位置关系的判定，除运用定义进行外，还要注意通过感觉和空间想象来进行画出图形可以使抽象的问题具体化，这在解决立体几何的问题中，是经常用到的一种方法，在构图时，要注意想到各种可能典型例题1、如图，已知正方体abcda1b1c1d1，判断下列直线的位置关系：直线a1b与直线d1c的位置关系是_；直线a1b与直线b1c的位置关系是_；直线d1d与直线d1c的位置关系是_；直线ab与直线b1c的位置关系是_【思路启迪】首先看两直线是否有交点，判断是否是相交，然后在没有交点的两直线中判断这两直线是否在一个平面内，如果不在，则两直线异面【解析】直线d1d与直线d1c相交于d1点，所以应该填“相交”；直线a1b与直线d1c在平面a1bcd1中，且没有交点，则两直线“平行”所以应该填“平行”；点a1、b、b1在一个平面a1bb1内，而c不在平面a1bb1内，则直线a1b与直线b1c“异面”同理，直线ab与直线b1c“异面”所以都应该填“异面”【答案】平行异面相交异面方法指导：判断直线平行、相交可用平面几何中的定义和方法来处理，判定异面直线的方法有反证法和定义法，只是用定义法不好判断，往往根据过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线来判断反馈训练1、已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系是_要点二 平行公理、等角定理的应用1.平行公理为我们提供了一种证明两直线平行的方法，即证明直线ab，只需找到直线c，使得ca，同时cb.2“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性，即过空间任一点，作两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关典型例题2、已知棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是棱cd、ad的中点(1)求证：四边形mna1c1是梯形； (2)求证：dnmd1a1c1.【思路启迪】(1)问可借助中位线及公理4，证明平行；(2)问可借助“等角定理”求证【证明】(1)如图，连接ac，在acd中，m、n分别是cd、ad的中点，mn是三角形的中位线，mnac，mnac.由正方体的性质得：aca1c1，aca1c1.mna1c1，且mna1c1，即mna1c1，四边形mna1c1是梯形方法指导：证明两直线平行时，通常利用平面几何中的三角形中位线、梯形中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理以及公理4.反馈训练2、如图，空间四边形abcd中，e，f，g，h分别是ab，bc，cd，da的中点求证：四边形efgh是平行四边形要点三 异面直线所成的角求异面直线所成的角，关键是通过平移法求解过某一点作平行线将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围是(0，90典型例题3、如图，在空间四边形abcd中，ad=bc=2a，e、f分别是ab、cd的中点，ef=a，求ad、bc所成的角【思路启迪】要求异面直线ad、bc所成的角，可通过空间中找一些特殊的点此题已知e、f分别为两边中点，故可寻找某一边中点作角，如bd中点m，即emf(或其补角)为所求角【解】如图，取bd中点m.由题意可知em为bad的中位线，em=ad.同理mf=bc，ema，mfa.且emf(或其补角)为所求角在等腰mef中，取ef的中点n，连接mn，则mnef.又已知efa，ena.故有sinemn.emn60，从而emf12090.ad、bc所成的角为emf的补角即ad与bc所成的角为60.方法指导：(1)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角，要注意识别这种情况(2)三角形的中位线是立体几何中常用到的线段，是解决立体几何问题最重要的辅助线，三角形中位线的性质是求两异面直线所成角的基础，要通过适当的练习，逐步体会其重要性和应用的技巧反馈训练3、如图，长方体abcda1b1c1d1中，aa1=ab=2，ad=1，点e、f、g分别是dd1、ab、cc1的中点，求异面直线a1e与gf所成的角考点巩固 1若a、b是异面直线，和a、b同时相交的两直线c、d一定是()a异面直线b相交直线c平行直线 d异面或相交直线2已知在三棱锥abcd中，m、n分别为ab、cd的中点，则下列结论正确的是()amn(acbd) bmn(acbd)cmn(acbd) dmn(acbd)3如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，bm与ed平行；cn与be是异面直线；cn与bm成60角；dm与bn垂直以上四个命题中，正确命题的序号是()abcd4若aob45，直线aoa，直线a与ob异面，则a与ob所成的角是_5如图，正方体abcda1b1c1d1中，下列各组直线：aa1与bc；a1c1与bd；ac与bd1；bd与b1c，其中异面角为90的有_ 6如图在正方体abcda1b1c1d1中，e，f，e1，f1分别为棱ad，ab，b1c1，c1d1的中点求证：ea1f=e1cf1.7如图，在四面体abcd中，e、f、m分别是棱ad，bc，ac上的点，且=，已知ab=cd=5，ef=，求异面直线ab和cd所成的角8在长方体abcdabcd的面ac上有一点p，如图所示，其中p点不在对角线bd上(1)过p点在空间作一直线l，使l直线bd，应该如何作图，并说明理由(2)过p点在平面ac内作一直线l，使l与直线bd成角，这样的直线有几条？考点巩固-答案1、解析：如图，(1)中c，d相交，(2)中c，d异面答案：d2、解析：取ad中点g，连接mg，ng，则mgbd，ngac，在mng中，mnmgng，mn(acbd)答案：d3、解析：如图，把正方体的平面展开图还原到原来的正方体，显然bm与ed为异面直线，故命题不成立；而cn与be平行，故命题不成立；而4个选项中仅有c项不含.应选c.答案：c4、解析：由aoa，得aob即异面直线a与ob所成的角，故a与ob所成角为45.答案：455、解析：正方体中，棱与棱成90角；相对的两面对角线成90角；面对角线与体对角线异面且垂直答案：6、证明：如图所示，在正方体ac1中，取a1b1的中点m，连接bm、mf1，则bfa1mab.又bfa1m，四边形a1fbm为平行四边形a1fbm.而f1，m分别为c1d1，a1b1的中点，则f1m綊c1b1.而c1b1綊bc，f1mbc，且f1mbc.四边形f1mbc为平行四边形，bmf1c.又bma1f，a1fcf1.同理取a1d1的中点n，连接dn，e1n，则a1n綊de，四边形a1nde为平行四边形a1edn.又e1ncd，且e1ncd，四边形e1ndc为平行四边形，dnce1.a1ece1.ea1f与e1cf1的两边分别对应平行即a1ece1，a1fcf1，ea1fe1cf1.7、解：因为，所以emdc，且，所以em2，同理可证mfab，且，所以fm3，所以emf即为异面直角ab和cd所成的角在emf中，em2，fm3，ef，所以em2fm2ef2，所以emf90，即异面直线ab和cd所成的角为90.8、解： (1)连接bd，在平面ac内过p点作直线l，使lbd，则l即为所求作的直线bdbd，lbd，lbd.(2)在平面ac内作l，使l与bd相交成角，bdbd，l与bd也成角，即l为所求作的直线若l与bd是异面直线，则l与bd所成的角，当时，这样的l有且只有一条；当时，这样的l有两条若l与bd共面，则l与bd平行，这样的直线只有一条21.3空间中直线与平面之间的位置关系21.4平面与平面之间的位置关系1、 考纲要求：1了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示2了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示2、 自主学习 问题1、空间中的两条直线又有怎样的位置关系呢？观察教室内日光灯管所在直线与黑板的左右侧所在的直线；操场上旗杆所在的直线与长安街所在的直线，杨家坪轻轨线与公路所在的直线，它们的共同特征是什么？ababcdcd思考：如下图，长方体abcd-abcd中，线段ab所在直线与线段cc所在直线的位置关系如何？问题2：归纳总结 ，形成概念异面直线:问题3：空间中两条直线的位置关系有三种：问题4：判断：下列各图中直线l与m是异面直线吗? 1 2 3 4 5 6问题5：思考：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。空间中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否也有类似的规律?问题6：一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？问题7：如图，线段ab所在直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？问题8：如何用图形语言表示直线与平面的三种位置关系?问题9：如何用符号语言表示直线与平面的三种位置关系？3、 考点突破1、典型例题类型一直线与平面、平面与平面位置关系的画法【例1】 指出图中的图形画法是否正确，若不正确，请你画出正确图形解(1)(2)(3)(4)的图形画法都不正确，正确画法如图所示【反馈训练1】 作出下列各小题的图形(1)画直线a、b，使aa，b；(2)画平面、，使，m，n；(3)画平面、，直线a、b，使l，a，b，且a，bb.解：如图类型二直线与平面位置关系的判断【例2】 如图在正方体abcd a1b1c1d1中判断下列位置关系：(1)ad1所在直线与平面bcc1的位置关系是_；(2)平面a1bc1与平面abcd的位置关系是_答案(1)平行(2)相交【反馈训练2】 简述下列问题的结论，并画图说明(1)直线a，直线baa，则b与的位置关系如何？(2)直线a，直线ba，则b与的位置关系如何？解(1)b在平面内或b与平面相交，如图(1)； 图(1) 图(2)(2)在平面内或与平面平行，如图(2) 类型三平面与平面的位置关系的判断【例3】 给出的下列四个命题中，其中正确命题的个数是()平面内有两条直线和平面平行，那么这两个平面平行；平面内有无数条直线和平面平行，则与平行；平面内abc的三个顶点到平面的距离相等，则与平行；若两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交或重合a0 b1 c3 d4思路探索 根据平面平行、相交的定义，借助于模型长方体或正方体进行判断解析如图，在正方体abcda1b1c1d1中，对于，在平面a1d1da中，ad平面a1b1c1d1，分别取aa1、dd1的中点e，f，连接ef，则知ef平面a1b1c1d1.但平面aa1d1d与平面a1b1c1d1是相交的，交线为a1d1，故命题错对于，在正方体abcda1b1c1d1的面aa1d1d中，与a1d1平行的直线有无数条，但平面aa1d1d与平面a1b1c1d1不平行，而是相交于直线a1d1，故是错误的对于，在正方体abcda1b1c1d1中，分别取aa1，dd1，bb1，cc1的中点e，f，g，h，a1，b，c到平面efhg的距离相等，而a1bc与平面efhg相交，故是错误的两平面位置关系中不存在重合，若重合则为一个平面，故命题错答案a规律方法(1)由于下节课学习平面与平面的判定定理，所以现在判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体(或正方体)进行判断(2)反证法也用于相关问题的证明【反馈训练3】 (1)平面内有无数条直线与平面平行，问是否正确，为什么？(2)平面内的所有直线与平面都平行，问是否正确，为什么？解(1)不正确如图所示，设l，则在平面内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，an，与平面都平行(因为a1，a2，an，与平面无交点)，但此时与不平行，l.(2)正确平面内所有直线与平面平行，则平面与平面无交点，符合平面与平面平行的定义方法技巧反证法在线面位置关系证明中的 应用在立体几何有关线线、线面、面面位置关系的证明中，对于一些明显成立，但直接证明又缺少推理依据的问题，常利用反证法来证明，即从否定结论出发，进行推理，直到推出与已知条件或与学过的定理(公理)及其它事实相矛盾，从而说明原结论成立【示例】 证明：如果一条直线l经过平面内一点a，又经过平面外一点b，则此直线l必与平面相交思路分析 本题证明的实质是直线l与平面除去点a外，不存在其他公共点，可以利用反证法证明由已知直线l和平面有公共点a，如图所示，直线l与平面不平行假设直线l和平面不相交，则l，bl，b.这与已知b矛盾，直线l和平面相交题后反思 当正面说理较为困难时，可假设要证命题不