高考数学总复习 第十四篇 系列4选讲（IB部分）第4讲 不等式的证明及著名不等式课件 理.ppt

2014年高考浙江会这样考 1 考查利用三个正数的算术平均 几何平均不等式证明一些简单的不等式 解决最大 小 值的问题 2 考查证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法 并能利用它们证明一些简单不等式 3 考查利用三维的柯西不等式证明一些简单的不等式 解决最大 小 值问题 第4讲不等式的证明及著名不等式 a b a b c 不小于 不小于 a1 a2 an a b 0 2 分析法从所要证明的结论入手向使它成立的充分条件反推直至达到已知条件为止 这种证法称为分析法 即 执果索因 的证明方法 3 综合法从已知条件出发 利用不等式的性质 或已知证明过的不等式 推出所要证明的结论 即 由因寻果 的方法 这种证明不等式的方法称为综合法 4 反证法的证明步骤第一步 作出与所证不等式相反的假设 第二步 从条件和假设出发 应用正确的推理方法 推出矛盾的结论 否定假设 从而证明原不等式成立 5 放缩法所谓放缩法 即要把所证不等式的一边适当地放大或缩小 以利于化简 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显 从而得到欲证不等式成立 助学 微博 1 不等式的证明方法灵活 要注意体会 要根据具体情况选择证明方法 2 柯西不等式的证明有多种方法 如数学归纳法 教材中的参数配方法 或判别式法 等 参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛 柯西不等式的应用比较广泛 常见的有证明不等式 求函数最值 解方程等 应用时 通过拆常数 重新排序 添项 改变结构等手段改变题设条件 以利于应用柯西不等式 方法锦囊 分析法是证明不等式的重要方法 当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式 基本不等式没有直接联系 较难发现条件和结论之间的关系时 可用分析法来寻找证明途径 使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 训练1 已知a b c r 且a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c 证明 a b c r 且a b c 1 要证原不等式成立 即证 a b c a a b c b a b c c 8 a b c a a b c b a b c c 也就是证 a b c a a b b c c a b c 8 b c c a a b 方法锦囊 证不等式时 在不等式的两边分别作恒等变形 在不等式的两边同时加上 或减去 一个数或代数式 移项 在不等式的两边同时乘以 或除以 一个正数或一个正的代数式 得到的不等式都和原来的不等式等价 这些方法 也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧 考向三利用柯西不等式求最值 例3 设x 2y 3z 3 求4x2 5y2 6z2的最小值 方法锦囊 柯西不等式的应用比较广泛 常见的有证明不等式 求函数最值 解方程等 应用时 通过拆常数 重新排序 添项 改变结构等手段改变题设条件 以利于应用柯西不等式 训练3 2012 杭州市期末考试 已知a b c为正数 且a2 b2 c2 14 试求a 2b 3c的最大值 解由柯西不等式 得 a 2b 3c 2 a2 b2 c2 12 22 32 142 当且仅当a 2b 3c时等号成立 所以a 2b 3c 14 即a 2b 3c的最大值为14 热点突破32如何利用基本不等式或柯西不等式求最值 命题研究 从近几年浙江省高考试题来看 高考对柯西不等式 绝对值不等式 基本不等式的要求是非常高的 对于柯西不等式来说 关键是掌握它的结构特点 适当地调整两组数 就能更好地应用它 使用柯西