高考数学总复习 第二篇 函数与导数 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 理.ppt

2014年高考浙江会这样考 1 函数的奇偶性 一般和含参的函数相结合 涉及函数的奇偶性的判断 函数图象的对称性 以及与单调性 周期性结合的综合运用 常以选择题或填空题出现 2 函数的单调性 奇偶性与极值 导数 不等式相结合在解答题中综合考查 第3讲函数的奇偶性与周期性 考点梳理1 奇函数 偶函数 1 定义 一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做偶函数 一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做奇函数 2 性质奇函数图象的特征 关于对称 偶函数图象的特征 关于对称 f x f x f x f x 原点 y轴 2 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 f x t f x 助学 微博 一条规律若奇函数f x 在x 0处有定义 则f x 0 一个考情快递函数的奇偶性 周期性常和函数其他性质 如单调性 综合 奇偶性与单调性结合的题目常画示意图解决 周期性与三角函数相结合 以客观题型为主 一般为容易题 对综合性解答题 常通过研究函数的单调性 周期性 奇偶性等 全面了解函数图象的变化趋势 画出函数的示意图 从而研究函数的最值 单调区间等 是解决函数最值 不等式恒成立等问题的基本思路 解析函数为偶函数 则f x f x 故排除掉b d c选项中y x2为偶函数 但在 0 上单调递增 不满足题意 故选a 答案a 2 2013 皖南八校联考 已知函数f x 是r上的单调增函数且为奇函数 则f 1 的值 a 恒为正数b 恒为负数c 恒为0d 可正可负解析由题意知f 1 f 0 0 答案a 3 2012 广州调研 函数f x x3 sinx 1 x r 若f a 2 则f a 的值为 a 3b 0c 1d 2解析 f a a3 sina 1 2 a3 sina 1 f a a 3 sin a 1 a3 sina 1 1 1 0 选b 答案b 4 已知f x 为r上的奇函数 且当x 0时 f x x2 则f x 5 2013 开封模拟 设函数f x 是定义在r上的奇函数 若当x 0 时 f x lgx 则满足f x 0的x的取值范围是 解析画草图 由f x 为奇函数的性质知 f x 0的x的取值范围 1 0 1 答案 1 0 1 审题视点 先确定函数的定义域 再由奇偶函数的定义判断 解 1 f x 的定义域为r 且f x x 3 2 x x3 2x f x 故f x 为奇函数 方法锦囊 判断函数的奇偶性 其中包括两个必备条件 1 定义域关于原点对称 这是函数具有奇偶性的必要不充分条件 所以首先考虑定义域对解决问题是有利的 2 判断f x 与 f x 是否具有等量关系 训练1 若函数f x 3x 3 x与g x 3x 3 x的定义域均为r 则 a f x 与g x 均为偶函数b f x 为奇函数 g x 为偶函数c f x 与g x 均为奇函数d f x 为偶函数 g x 为奇函数解析由f x 3 x 3x f x 可知f x 为偶函数 由g x 3 x 3x 3x 3 x g x 可知g x 为奇函数 答案d 审题视点 1 利用定义法或特殊值法均可 2 f x 是一个分段函数 当x 0时 转化为f x f x 3 可考虑f x 在 2 2 上的单调性 方法锦囊 1 已知函数的奇偶性 求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 2 已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量 转化到已知区间上 再利用奇偶性求出 或充分利用奇偶性构造关于f x 的方程 组 从而得到f x 的解析式 3 已知函数的奇偶性 求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法 利用f x f x 0得到关于待求参数的恒等式 由系数的对等性得参数的值或方程求解 训练2 2012 武汉模拟 设f x 为定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x 2x b b为常数 则f 1 a 3b 1c 1d 3解析因为f x 为定义在r上的奇函数 所以f 0 20 2 0 b 0 解得b 1 所以当x 0时 f x 2x 2x 1 所以f 1 f 1 21 2 1 1 3 答案a 考向三函数性质的综合应用 例3 2012 无锡一中期中调研 定义在r上的单调函数y f x 满足f 2 3 且对任意x y r都有f x y f x f y 1 试求f 0 的值并证明函数y f x 为奇函数 2 若f m 3x f 3x 9x 3对任意x r恒成立 求实数m的取值范围 审题视点 1 分别令x y 0 y x求解 2 由f 2 3及f x y f x f y 化简所给已知式 换元后结合函数知识求解 解 1 f x y f x f y 令x y 0 代入 式 得f 0 0 f 0 f 0 即f 0 0 令y x 代入 式 得f x x f x f x 又f 0 0 则有0 f x f x 即f x f x 对任意x r成立 f x 是奇函数 2 f 2 3 即f 2 f 0 又f x 在r上是单调函数 f x 在r上是增函数 f m 3x f 3x 9x 3 可化为 f m 1 3x 9x f 2 m 1 3x 9x 2对任意x r恒成立 方法锦囊 函数的周期性反映函数在整个定义域上的规律变化 考查时 常与函数的奇偶性相结合 将未知区间上的问题转化为已知区间的问题 训练3 设f x 是定义在r上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 2 f x 当x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 3 计算f 0 f 1 f 2 f 2013 思维启迪 1 只需证明f x t f x 即可说明f x 是周期函数 2 由f x 在 0 2 上的解析式求得f x 在 2 0 上的解析式 进而求f x 在 2 4 上的解析式 3 由周期性求和 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为4的周期函数 2 解 x 2 4 x 4 2 4 x 0 2 f 4 x 2 4 x 4 x 2 x2 6x 8 又f 4 x f x f x f x x2 6x 8 即f x x2 6x 8 x 2 4 3 解 f 0 0 f 2 0 f 1 1 f 3 1 又f x 是周期为4的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2008 f 2009 f 2010 f 2011 0 f 0 f 1 f 2 f 2013 f 0 f 1 1 探究提高判断函数的周期只需证明f x t f x t 0 便可证明函数是周期函数 且周期为t 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 是高考考查的重点问题 热点突破3高考中函数单调性 奇偶性 周期性的交汇问题 命题研究 通过对近三年高考试题的分析可以看出 考查函数的性质往往不是单纯考查一个性质 而是综合考查 所以需要对函数的各个性质非常熟悉 并能结合函数图象的特点 对各个性质进行综合运用 常考题型有选择题 填空题 题目为中档难度 教你审题 先确定偶函数 再结合在区间 1 2 内是增函数 结论 选b 备考 通过题目的反复练习 熟练掌握函数奇偶性的判断方法及函数单调性的判断方法 答案b 试一试2 2012 山东 定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2012 a 335b 338c 1678d 2012解析由f x 6 f x 知周期t 6 易求f 1 1 f 2 2 f 3 1 f 2 0 f 0 0 f 1 1 f 3 f 3 1 f 4 0 f 5 1 f 6 0 因此f 1 f 2 f 6 1 答案b 试一试3 2011 浙江 若函数f x x2 x a 为偶函数 则实数a 解析由题意 g x x a 是偶函数 所以a 0 答案0 试一试4 2012 上海 已知y f x x2是奇函数 且f 1 1 若g x f x 2 则g 1 解析因为y f x x2是奇函数 f 1 1 所以f 1 12 f 1 1 2 0 即f 1 3 所以g 1