高考数学一轮 知识点各个击破 第二章 函数、导数及其应用课件 文 新人教A版.ppt

第二章函数 导数及其应用第一节函数及其表示第二节函数的定义域和值域第三节函数的单调性与最值第四节函数的奇偶性及周期性第五节函数的图象第六节二次函数与幂函数 目录 第七节指数与指数函数第八节对数与对数函数第九节函数与方程第十节函数模型及其应用第十一节变化率与导数 导数的计算第十二节导数的应用 一 第十三节导数的应用 二 知识能否忆起 1 函数的概念 1 函数的定义 一般地 设a b是两个的数集 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合a中的任意一个数x 在集合b中都有确定的数f x 和它对应 那么就称f a b为从集合a到集合b的一个函数 记作 非空 y f x x a 唯一 2 函数的定义域 值域 在函数y f x x a中 x叫做自变量 x的取值范围a叫做函数的 与x的值相对应的y值叫做函数值 函数值的集合 f x x a 叫做函数的 显然 值域是集合b的子集 3 函数的三要素 和 4 相等函数 如果两个函数的和完全一致 则这两个函数相等 这是判断两函数相等的依据 定义域 定义域 值域 对应关系 定义域 对应关系 值域 2 函数的表示法表示函数的常用方法有 3 映射的概念设a b是两个非空的集合 如果按照某一个确定的对应关系f 使对于集合a中的任意一个元素x 在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应 那么称对应f a b为集合a到集合b的一个映射 4 分段函数 动漫演示更形象见光盘 若函数在其定义域内 对于定义域内的不同取值区间 有着不同的 这样的函数通常叫做分段函数 分段函数虽然由几部分组成 但它表示的是一个函数 解析法 图象法 列表法 对应关系 超链接 小题能否全取 1 教材习题改编 设g x 2x 3 g x 2 f x 则f x 等于 a 2x 1b 2x 1c 2x 3d 2x 7解析 f x g x 2 2 x 2 3 2x 7 答案 d 答案 d 3 已知集合a 0 8 集合b 0 4 则下列对应关系中 不能看作从a到b的映射的是 解析 按照对应关系f x y x 对a中某些元素 如x 8 b中不存在元素与之对应 答案 d 5 教材习题改编 若f x x2 bx c 且f 1 0 f 3 0 则f 1 答案 8 1 函数与映射的区别与联系 1 函数是特殊的映射 其特殊性在于集合a与集合b只能是非空数集 即函数是非空数集a到非空数集b的映射 2 映射不一定是函数 从a到b的一个映射 a b若不是数集 则这个映射便不是函数 2 定义域与值域相同的函数 不一定是相同函数如函数y x与y x 1 其定义域与值域完全相同 但不是相同函数 再如函数y sinx与y cosx 其定义域与值域完全相同 但不是相同函数 因此判断两个函数是否相同 关键是看定义域和对应关系是否相同 3 求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f x0 时 一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集 然后再代入相应的关系式 分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集 例1 有以下判断 答案 2 3 两个函数是否是同一个函数 取决于它们的定义域和对应关系是否相同 只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时 才表示同一函数 另外 函数的自变量习惯上用x表示 但也可用其他字母表示 如 f x 2x 1 g t 2t 1 h m 2m 1均表示同一函数 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数 函数解析式的求法 1 配凑法 由已知条件f g x f x 可将f x 改写成关于g x 的表达式 然后以x替代g x 便得f x 的解析式 如例 1 2 待定系数法 若已知函数的类型 如一次函数 二次函数 可用待定系数法 如例 3 3 换元法 已知复合函数f g x 的解析式 可用换元法 此时要注意新元的取值范围 如例 2 2 设f x ax2 bx c a 0 则f x 2ax b 2x 2 a 1 b 2 f x x2 2x c 又 方程f x 0有两个相等实根 4 4c 0 c 1 故f x x2 2x 1 自主解答 当x4 得2 x 4 即x4得x2 4 所以x 2或x2 综上可得x2 答案 2 2 若本例条件不变 试求f f 2 的值 解 f 2 22 4 f f 2 f 4 16 求分段函数的函数值时 应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解 有时每段交替使用求值 若给出函数值 或函数值的范围 求自变量值 或自变量的取值范围 应根据每一段的解析式分别求解 但要注意检验所求自变量值 或范围 是否符合相应段的自变量的取值范围 3 2012 衡水模拟 已知f x 的图象如图 则f x 的解析式为 题后悟道 解答本题利用了分类讨论思想 由于f x 为分段函数 要表示f 1 a 和f 1 a 的值 首先应对自变量1 a和1 a的范围进行讨论 这样才能选取不同的关系式 列出方程 求出a的值 得出结果后 应注意检验 所谓分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时 需要把研究对象按某个标准分类 然后对每一类分别研究得出结论 最后综合各类结果得到整个问题的解答 实质上 分类讨论是 化整为零 各个击破 再积零为整 的解题策略 a 3b 3c 1d 1 答案 d 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 2 2 若函数的定义域为 x 3 x 6 且x 4 值域为 y 2 y 4 且y 0 试在下图中画出满足条件的一个函数的图象 解 本题答案不唯一 函数图象可画为如图所示 3 已知定义域为r的函数f x 满足f f x x2 x f x x2 x 1 若f 2 3 求f 1 又若f 0 a 求f a 2 设有且仅有一个实数x0 使得f x0 x0 求函数f x 的解析式 解 1 因为对任意x r有f f x x2 x f x x2 x 所以f f 2 22 2 f 2 22 2 又f 2 3 从而f 1 1 若f 0 a 则f a 02 0 a 02 0 即f a a 2 因为对任意x r 有f f x x2 x f x x2 x 又有且仅有一个实数x0 使得f x0 x0 故对任意x r 有f x x2 x x0 在上式中令x x0 有f x0 x x0 x0 又因为f x0 x0 所以x0 x 0 故x0 0或x0 1 若x0 0 则f x x2 x 但方程x2 x x有两个不相同实根 与题设条件矛盾 故x0 0 若x0 1 则有f x x2 x 1 易证该函数满足题设条件 综上 所求函数f x 的解析式为f x x2 x 1 知识能否忆起 1 常见基本初等函数的定义域 1 分式函数中分母 2 偶次根式函数被开方式 3 一次函数 二次函数的定义域均为 4 y ax y sinx y cosx 定义域均为 不等于零 大于或等于0 r r 5 y tanx的定义域为 6 函数f x x0的定义域为 7 实际问题中的函数定义域 除了使函数的解析式有意义外 还要考虑实际问题对函数自变量的制约 x x 0 2 基本初等函数的值域 1 y kx b k 0 的值域是 3 y k 0 的值域是 2 y ax2 bx c a 0 的值域是 当a 0时 值域为 当a 0时 值域为 y y 0 r 4 y ax a 0且a 1 的值域是 5 y logax a 0且a 1 的值域是 6 y sinx y cosx的值域是 7 y tanx的值域是 y y 0 1 1 r r 小题能否全取 1 教材习题改编 若f x x2 2x x 2 4 则f x 的值域为 a 1 8 b 1 16 c 2 8 d 2 4 答案 a 答案 d a 2 0 0 2 b 1 0 0 2 c 2 2 d 1 2 答案 b 答案 x x 4 且x 5 答案 5 函数的最值与值域的关系函数的最值与函数的值域是关联的 求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况 但只确定了函数的最大 小 值 未必能求出函数的值域 注意 求函数的值域 不但要重视对应关系的作用 而且还要特别注意函数定义域 2 已知函数f 2x 的定义域是 1 1 求f x 的定义域 若本例 2 条件变为 函数f x 的定义域是 1 1 求f log2x 的定义域 简单函数定义域的类型及求法 1 已知函数的解析式 则构造使解析式有意义的不等式 组 求解 2 对实际问题 由实际意义及使解析式有意义构成的不等式 组 求解 3 对抽象函数 若已知函数f x 的定义域为 a b 则函数f g x 的定义域由不等式a g x b求出 若已知函数f g x 的定义域为 a b 则f x 的定义域为g x 在x a b 时的值域 a 2 3 b 1 3 c 1 4 d 3 5 例2 求下列函数的值域 1 y x2 2x x 0 3 求函数值域常用的方法 1 配方法 多适用于二次型或可转化为二次型的函数 例 1 2 换元法 例 4 3 基本不等式法 例 3 4 单调性法 例 4 5 分离常数法 例 2 注意 求值域时一定要注意定义域的使用 同时求值域的方法多种多样 要适当选择 2 2012 海口模拟 在实数的原有运算中 我们定义新运算 如下 当a b时 a b a 当a b时 a b b2 设函数f x 1 x x 2 x x 2 2 则函数f x 的值域为 答案 1 y y r y 1 2 4 6 自主解答 函数f x 的定义域为r 所以2x2 2ax a 1 0对x r恒成立 即 x2 2ax a 0恒成立 因此有 2a 2 4a 0 解得 1 a 0 答案 1 0 求解定义域为r或值域为r的函数问题时 都是依据题意 对问题进行转化 转化为不等式恒成立问题进行解决 而解决不等式恒成立问题 一是利用判别式法 二是利用分离参数法 有时还可利用数形结合法 答案 5 函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定 但因函数千变万化 形式各异 值域的求法也各式各样 因此求函数的值域就存在一定的困难 解题时 若方法适当 能起到事半功倍的作用 求函数值域的常用方法有配方法 换元法 分离常数法 基本不等式法 单调性法 以上例2都已讲解 判别式法 数形结合法等 1 数形结合法利用函数所表示的几何意义 借助于图象的直观性来求函数的值域 是一种常见的方法 如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键 答案 10 题后悟道 本题解法二利用了判别式法 利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有y的二次方程a y x2 b y x c y 0 则在a y 0时 若x r 则 0 从而确定函数的最值 再检验a y 0时对应的x的值是否在函数定义域内 以决定a y 0时y的值的取舍 答案 c 求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法 准确记忆常见函数的值域 熟练掌握各种类型函数值域的求法 除前面介绍的几种方法外 还有单调性法 导数法 以后还要讲解 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 d 当a2 1 0 即a 1 a 1舍去 时 有1 0 对x r恒成立 故a 1符合题意 知识能否忆起 一 函数的单调性1 单调函数的定义 f x1 f x2 f x1 f x2 逐渐上升 逐渐 下降 2 单调区间的定义若函数y f x 在区间d上是或 则称函数y f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做y f x 的单调区间 增函数 减函数 区间d 二 函数的最值 f x m f x m f x0 m f x0 m 解析 由函数的奇偶性排除a 由函数的单调性排除b c 由y x x 的图象可知此函数为增函数 又该函数为奇函数 故选d 小题能否全取 1 2012 陕西高考 下列函数中 既是奇函数又是增函数的为 答案 d 答案 d 2 函数y 2k 1 x b在 上是减函数 则 答案 d 4 教材习题改编 f x x2 2x x 2 4 的单调增区间为 f x max 解析 函数f x 的对称轴x 1 单调增区间为 1 4 f x max f 2 f 4 8 答案 1 4 8 答案 1 0 0 1 1 函数的单调性是局部性质从定义上看 函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质 是局部的特征 在某个区间上单调 在整个定义域上不一定单调 2 函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间 所以求解函数的单调区间 必须先求出函数的定义域 对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解 如二次函数 对数函数 指数函数等 如果是复合函数 应根据复合函数的单调性的判断方法 首先判断两个简单函数的单调性 再根据 同则增 异则减 的法则求解函数的单调区间 注意 单调区间只能用区间表示 不能用集合或不等式表示 如有多个单调区间应分别写 不能用并集符号 联结 也不能用 或 联结 对于给出具体解析式的函数 证明其在某区间上的单调性有两种方法 1 结合定义 基本步骤为取值 作差或作商 变形 判断 证明 2 可导函数则可以利用导数证明 对于抽象函数单调性的证明 一般采用定义法进行 a 0 b 0 c 1 d 1 答案 c 若本例中f x 2 x 变为f x log2 x 其他条件不变 则fk x 的单调增区间为 求函数的单调区间的常用方法 1 利用已知函数的单调性 即转化为已知函数的和 差或复合函数 求单调区间 2 定义法 先求定义域 再利用单调性定义 3 图象法 如果f x 是以图象形式给出的 或者f x 的图象易作出 可由图象的直观性写出它的单调区间 4 导数法 利用导数的正负确定函数的单调区间 2 函数f x x 2 x的单调减区间是 a 1 2 b 1 0 c 0 2 d 2 答案 a 例3 1 若f x 为r上的增函数 则满足f 2 m f m2 的实数m的取值范围是 2 2012 安徽高考 若函数f x 2x a 的单调递增区间是 3 则a 答案 1 2 1 2 6 单调性的应用主要涉及利用单调性求最值 进行大小比较 解抽象函数不等式 解题时要注意 一是函数定义域的限制 二是函数单调性的判定 三是等价转化思想与数形结合思想的运用 2 解决分段函数的单调性问题时 应注意 1 抓住对变量所在区间的讨论 2 保证各段上同增 减 时 要注意上 下段间端点值间的大小关系 3 弄清最终结果取并还是交 答案 b 教师备选题 给有能力的学生加餐 2 定义在r上的函数f x 满足 对任意实数m n 总有f m n f m f n 且当x 0时 0 f x 1 1 试求f 0 的值 2 判断f x 的单调性并证明你的结论 解 1 在f m n f m f n 中 令m 1 n 0 得f 1 f 1 f 0 因为f 1 0 所以f 0 1 又f 0 1 所以综上可知 对于任意的x1 r 均有f x1 0 所以f x2 f x1 f x1 f x2 x1 1 0 所以函数f x 在r上单调递减 知识能否忆起 一 函数的奇偶性 f x f x f x f x y轴 原点 二 周期性1 周期函数对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 那么这个就叫做f x 的最小正周期 f x t f x 最小的 正数 最小正数 小题能否全取 1 2012 广东高考 下列函数为偶函数的是 答案 d 答案 b 2 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值是 答案 b 3 教材习题改编 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 则f 8 的值为 a 1b 0c 1d 2解析 f x 为奇函数且f x 4 f x f 0 0 t 4 f 8 f 0 0 4 若函数f x x2 x a 为偶函数 则实数a 解析 法一 f x f x 对于x r恒成立 x a x a 对于x r恒成立 两边平方整理得ax 0 对于x r恒成立 故a 0 法二 由f 1 f 1 得 a 1 a 1 故a 0 答案 0 5 2011 广东高考 设函数f x x3cosx 1 若f a 11 则f a 解析 观察可知 y x3cosx为奇函数 且f a a3cosa 1 11 故a3cosa 10 则f a a3cosa 1 10 1 9 答案 9 1 奇 偶函数的有关性质 1 定义域关于原点对称 这是函数具有奇偶性的必要不充分条件 2 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 反之亦然 3 若奇函数f x 在x 0处有定义 则f 0 0 4 利用奇函数的图象关于原点对称可知 奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同 利用偶函数的图象关于y轴对称可知 偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反 2 若函数满足f x t f x 由函数周期性的定义可知t是函数的一个周期 应注意nt n z且n 0 也是函数的周期 a 是奇函数但不是偶函数b 是偶函数但不是奇函数c 既是奇函数也是偶函数d 既不是偶函数也不是奇函数 答案 a 利用定义判断函数奇偶性的方法 1 首先求函数的定义域 定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件 2 如果函数的定义域关于原点对称 可进一步判断f x f x 或f x f x 是否对定义域内的每一个x恒成立 恒成立要给予证明 否则要举出反例 注意 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f x 与f x 的关系 只有对各段上的x都满足相同的关系时 才能判断其奇偶性 1 判断下列函数的奇偶性 2 f x 的定义域为r f x 3 x 3x 3x 3 x f x 所以f x 为奇函数 4 f x 的定义域为r 关于原点对称 当x 0时 f x x 2 2 x2 2 f x 当x 0时 f x x 2 2 x2 2 f x 当x 0时 f 0 0 也满足f x f x 故该函数为奇函数 a 2 0 2 b 2 0 2 c 2 2 d 2 0 0 2 例2 1 2012 上海高考 已知y f x x2是奇函数 且f 1 1 若g x f x 2 则g 1 自主解答 1 y f x x2是奇函数 且x 1时 y 2 当x 1时 y 2 即f 1 1 2 2 得f 1 3 所以g 1 f 1 2 1 答案 1 1 2 b 本例 2 的条件不变 若n 2且n n 试比较f n f 1 n f n 1 f n 1 的大小 解 f x 为偶函数 所以f n f n f 1 n f n 1 又 函数y f x 在 0 为减函数 且0 n 1 n n 1 f n 1 f n f n 1 f n 1 f n f n 1 f 1 n 函数奇偶性的应用 1 已知函数的奇偶性求函数的解析式 利用奇偶性关于f x 的方程 从而可得f x 的解析式 2 已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数 常常采用待定系数法 利用f x f x 0产生关于字母的恒等式 由系数的对等性可得知字母的值 3 奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 2 已知定义在r上的奇函数满足f x x2 2x x 0 若f 3 a2 f 2a 则实数a的取值范围是 解析 1 当x0 所以f x x2 x f x ax2 bx 而f x f x 即 x2 x ax2 bx 所以a 1 b 1 故a b 0 2 因为f x x2 2x在 0 上是增函数 又因为f x 是r上的奇函数 所以函数f x 是r上的增函数 要使f 3 a2 f 2a 只需3 a2 2a 解得 3 a 1 答案 1 0 2 3 1 1 周期性常用的结论 对f x 定义域内任一自变量的值x 1 若f x a f x 则t 2a 2 周期性与奇偶性相结合的综合问题中 周期性起到转换自变量值的作用 奇偶性起到调节符号作用 3 设f x 是定义在r上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 2 f x 当x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 解 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为4的周期函数 2 x 2 4 x 4 2 4 x 0 2 f 4 x 2 4 x 4 x 2 x2 6x 8 又 f 4 x f x f x f x x2 6x 8 即f x x2 6x 8 x 2 4 抽象函数是高中数学的难点 大多数同学感觉找不着头绪 对抽象函数的研究往往要通过函数的性质来体现 如函数的奇偶性 单调性和周期性 利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略 下面从5个不同的方面来探寻一些做题的规律 1 抽象函数的定义域抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域 利用代换法得到不等式 组 进行求解 答案 1 3 题后悟道 函数y f g x 的定义域的求法 常常通过换元设t g x 根据函数y f t 的定义域 得到g x 的范围 从而解出x的范围 在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结构 使得分式 对数等都要有意义 2 抽象函数的函数值 典例2 定义在r上的函数f x 满足f x y f x f y 2xy x y r f 1 2 则f 2 a 2b 3c 6d 9 解析 令x y 0 得f 0 0 令x y 1 得f 2 2f 1 2 6 由0 f 2 2 f 2 f 2 8得f 2 2 答案 a 题后悟道 抽象函数求函数值往往要用赋值法 需要结合已知条件 通过观察和多次尝试寻找有用的取值 挖掘出函数的性质 特别是借助函数的奇偶性和函数的周期性来转化解答 3 抽象函数的奇偶性函数的奇偶性就是要判断 x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系 从而得到函数图象关于原点或y轴对称 结合函数的图形作出进一步的判断 典例3 已知函数f x 对任意x y r 都有f x y f x y 2f x f y 且f 0 0 求证 f x 是偶函数 证明 取x 0 y 0 得2f 0 2f2 0 因为f 0 0 所以f 0 1 再取x 0 得f y f y 2f 0 f y 2f y 所以f y f y 所以函数f x 是偶函数 题后悟道 在利用奇偶函数的定义进行判断时 等式中如果还有其他的量未解决 例如本题中的f 0 还需要令x y取特殊值进行求解 4 抽象函数的单调性与抽象不等式高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点 常出现一些综合性问题 利用导数进行判断求解 并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围 再根据单调性求解或证明抽象不等式问题 结合本节例2 2 学习 5 抽象函数的周期性有许多抽象函数都具有周期性 特别是在求自变量值较大的函数值时 就要考虑寻找函数的周期 从而利用周期把函数值转化为已知求出 题后悟道 判断抽象函数的周期性时 给一个变量赋值是关键 但由于函数的周期性是函数的整体性质 因此另一个变量必须具有任意性 从以上几种类型来看 解答抽象函数问题并不是无计可施 只要我们善于观察 分析 掌握解题规律 把抽象问题形象化 具体化 问题就可以化难为易 迎刃而解 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 f 1 g 0 g 1 2 关于y f x 给出下列五个命题 若f 1 x f 1 x 则y f x 是周期函数 若f 1 x f 1 x 则y f x 为奇函数 若函数y f x 1 的图象关于x 1对称 则y f x 为偶函数 函数y f 1 x 与函数y f 1 x 的图象关于直线x 1对称 若f 1 x f 1 x 则y f x 的图象关于点 1 0 对称 填写所有正确命题的序号 解析 由f 1 x f 1 x 可知 函数周期为2 正确 由f 1 x f 1 x 可知 y f x 的对称中心为 1 0 错 y f x 1 向左平移1个单位得y f x 故y f x 关于y轴对称 正确 两个函数对称时 令1 x 1 x得x 0 故应关于y轴对称 错 由f 1 x f 1 x 得y f x 关于x 1对称 错 故正确的应是 答案 知识能否忆起 一 利用描点法作函数图象其基本步骤是列表 描点 连线 首先 确定函数的定义域 化简函数解析式 讨论函数的性质 奇偶性 单调性 周期性 其次 列表 尤其注意特殊点 零点 最大值点 最小值点 与坐标轴的交点 最后 描点 连线 二 利用基本函数的图象作图1 平移变换 1 水平平移 y f x a a 0 的图象 可由y f x 的图象向 或向 平移单位而得到 2 竖直平移 y f x b b 0 的图象 可由y f x 的图象向 或向 平移单位而得到 2 对称变换 1 y f x 与y f x 的图象关于对称 2 y f x 与y f x 的图象关于对称 左 右 a个 上 下 b个 y轴 x轴 3 y f x 与y f x 的图象关于对称 4 要得到y f x 的图象 可将y f x 的图象在x轴下方的部分以为对称轴翻折到x轴上方 其余部分不变 5 要得到y f x 的图象 可将y f x x 0的部分作出 再利用偶函数的图象关于的对称性 作出x 0时的图象 x轴 原点 y轴 3 伸缩变换 1 y af x a 0 的图象 可将y f x 图象上所有点的纵坐标变为 不变而得到 2 y f ax a 0 的图象 可将y f x 图象上所有点的横坐标变为 不变而得到 纵坐标 原来的a倍 横坐标 小题能否全取 1 一次函数f x 的图象过点a 0 1 和b 1 2 则下列各点在函数f x 的图象上的是 a 2 2 b 1 1 c 3 2 d 2 3 解析 一次函数f x 的图象过点a 0 1 b 1 2 则f x x 1 代入验证d满足条件 答案 d 2 函数y x x 的图象大致是 解析 函数y x x 为奇函数 图象关于原点对称 答案 a 3 教材习题改编 在同一平面直角坐标系中 函数f x ax与g x ax的图象可能是下列四个图象中的 解析 因a 0且a 1 再对a分类讨论 答案 b 4 教材习题改编 为了得到函数y 2x 3的图象 只需把函数y 2x的图象上所有的点向 平移 个单位长度 答案 右3 5 若关于x的方程 x a x只有一个解 则实数a的取值范围是 答案 0 1 作图一般有两种方法 直接作图法 图象变换法 其中图象变换法 包括平移变换 伸缩变换和对称变换 要记住它们的变换规律 注意 对于左 右平移变换 可熟记口诀 左加右减 但要注意加 减指的是自变量 否则不成立 2 一个函数的图象关于原点 y轴 对称与两个函数的图象关于原点 y轴 对称不同 前者是自身对称 且为奇 偶 函数 后者是两个不同的函数对称 例1 分别画出下列函数的图象 1 y lgx 2 y 2x 2 3 y x2 2 x 1 2 将y 2x的图象向左平移2个单位 图象如图2 画函数图象的一般方法 1 直接法 当函数表达式 或变形后的表达式 是熟悉的基本函数时 就可根据这些函数的特征直接作出 2 图象变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移 翻折 对称得到 可利用图象变换作出 但要注意变换顺序 对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形 并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 1 作出下列函数的图象 其图象如图1所示 实线部分 例2 2012 湖北高考 已知定义在区间 0 2 上的函数y f x 的图象如图所示 则y f 2 x 的图象为 法二 当x 0时 f 2 x f 2 1 当x 1时 f 2 x f 1 1 观察各选项 可知应选b 答案 b 看图说话 常用的方法 1 定性分析法 通过对问题进行定性的分析 从而得出图象的上升 或下降 的趋势 利用这一特征分析解决问题 2 定量计算法 通过定量的计算来分析解决问题 3 函数模型法 由所提供的图象特征 联想相关函数模型 利用这一函数模型来分析解决问题 2 2012 东城模拟 已知函数对任意的x r有f x f x 0 且当x 0时 f x ln x 1 则函数f x 的图象大致为 答案 1 2 2 d 例3 2011 新课标全国卷 已知函数y f x 的周期为2 当x 1 1 时f x x2 那么函数y f x 的图象与函数y lgx 的图象的交点共有 a 10个b 9个c 8个d 1个 自主解答 根据f x 的性质及f x 在 1 1 上的解析式可作图如下 可验证当x 10时 y lg10 1 010时 lgx 1 结合图象知y f x 与y lgx 的图象交点共有10个 答案 a 若本例中f x 变为f x x 其他条件不变 试确定交点个数 解 根据f x 的性质及f x 在 1 1 上的解析式可作图如下 由图象知共10个交点 1 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数 其性质 单调性 奇偶性 周期性 最值 值域 零点 常借助于图象研究 但一定要注意性质与图象特征的对应关系 2 利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时 可以通过函数图象来研究方程的根 方程f x 0的根就是函数f x 图象与x轴的交点的横坐标 方程f x g x 的根就是函数f x 与g x 图象的交点的横坐标 3 已知函数f x 2 x2 g x x 若f x g x min f x g x 那么f x g x 的最大值是 注意 min表示最小值 答案 1 答案 0 1 1 4 1 2013 长春第二次调研 设函数f x x a g x x 1 对于任意的x r 不等式f x g x 恒成立 则实数a的取值范围是 解析 如图作出函数f x x a 与g x x 1的图象 观察图象可知 当且仅当 a 1 即a 1时 不等式f x g x 恒成立 因此a的取值范围是 1 答案 1 a 1 3 b 0 3 c 0 2 d 0 1 答案 d 教师备选题 给有能力的学生加餐 1 设d x y x y x y 0 记 平面区域d夹在直线y 1与y t t 1 1 之间的部分的面积 为s 则函数s f t 的图象的大致形状为 答案 c 2 2012 深圳模拟 已知定义在区间 0 1 上的函数y f x 的图象如图所示 对于满足0 x2 x1 x2f x1 x1f x2 其中正确结论的序号是 把所有正确结论的序号都填上 答案 一 常用幂函数的图象与性质 r x x 0 x x 0 r r 知识能否忆起 r r y y 0 y y 0 y y 0 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 1 1 0 减 0 增 0 和 0 减 增 增 二 二次函数1 二次函数的定义形如f x ax2 bx c a 0 的函数叫做二次函数 2 二次函数解析式的三种形式 1 一般式 f x 2 顶点式 f x 3 零点式 f x ax2 bx c a 0 a x m 2 n a 0 a x x1 x x2 a 0 3 二次函数的图象和性质 a 0 a 0 图象 图象特点 动漫演示更形象 见配套课件 超链接 a 0 a 0 性质 定义域 x r 值域 奇偶性 b 0时为偶函数 b 0时既非奇函数也非偶函数 单调性 小题能否全取 1 若f x 既是幂函数又是二次函数 则f x 可以是 a f x x2 1b f x 5x2c f x x2d f x x2解析 形如f x x 的函数是幂函数 其中 是常数 答案 d a 1 3b 1 1c 1 3d 1 1 3 答案 a 3 教材习题改编 已知函数f x ax2 x 5的图象在x轴上方 则a的取值范围是 答案 c 5 如果函数f x x2 a 2 x b x a b 的图象关于直线x 1对称 则函数f x 的最小值为 答案 5 1 幂函数图象的特点 1 幂函数的图象一定会经过第一象限 一定不会经过第四象限 是否经过第二 三象限 要看函数的奇偶性 2 幂函数的图象最多只能经过两个象限内 3 如果幂函数的图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 2 与二次函数有关的不等式恒成立问题 注意 当题目条件中未说明a 0时 就要讨论a 0和a 0两种情况 例1 已知幂函数f x m2 m 1 x 5m 3在 0 上是增函数 则m 自主解答 函数f x m2 m 1 x 5m 3是幂函数 m2 m 1 1 解得m 2或m 1 当m 2时 5m 3 13 函数y x 13在 0 上是减函数 当m 1时 5m 3 2 函数y x2在 0 上是增函数 m 1 答案 1 1 幂函数y x 的图象与性质由于 的值不同而比较复杂 一般从两个方面考查 1 的正负 0时 图象过原点和 1 1 在第一象限的图象上升 1时 曲线下凸 0 1时 曲线上凸 0时 曲线下凸 2 在比较幂值的大小时 必须结合幂值的特点 选择适当的函数 借助其单调性进行比较 准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键 1 1 如图给出4个幂函数大致的图象 则图象与函数对应正确的是 解析 由图 知 该图象对应的函数为奇函数且定义域为r 当x 0时 图象是向下凸的 结合选项知选b 答案 b 2 2013 淄博模拟 若a 0 则下列不等式成立的是 答案 b 例2 已知二次函数f x 有两个零点0和 2 且它有最小值 1 1 求f x 解析式 2 若g x 与f x 图象关于原点对称 求g x 解析式 求二次函数的解析式常用待定系数法 合理选择解析式的形式 并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式 把问题转化为方程 组 求解是解决此类问题的基本方法 2 设f x 是定义在r上的偶函数 当0 x 2时 y x 当x 2时 y f x 的图象是顶点为p 3 4 且过点a 2 2 的抛物线的一部分 1 求函数f x 在 2 上的解析式 2 在下面的直角坐标系中直接画出函数f x 的草图 3 写出函数f x 的值域 2 函数f x 的图象如图 3 由图象可知 函数f x 的值域为 4 例3 已知函数f x x2 2ax 3 x 4 6 1 当a 2时 求f x 的最值 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 二次函数的图象与性质 自主解答 1 当a 2时 f x x2 4x 3 x 2 2 1 由于x 4 6 所以f x 在 4 2 上单调递减 在 2 6 上单调递增 故f x 的最小值是f 2 1 又f 4 35 f 6 15 故f x 的最大值是35 2 由于函数f x 的图象开口向上 对称轴是x a 所以要使f x 在 4 6 上是单调函数 应有 a 4或 a 6 即a 6或a 4 故a的取值范围为 6 4 本例条件不变 求当a 1时 f x 的单调区间 解决二次函数图象与性质问题时要注意 1 抛物线的开口 对称轴位置 定义区间三者相互制约 常见的题型中这三者有两定一不定 要注意分类讨论 2 要注意数形结合思想的应用 尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法 3 2013 泰安调研 已知函数f x x2 2ax 1 a在x 0 1 时有最大值2 则a的值为 答案 2或 1 例4 2012 衡水月考 已知函数f x x2 g x x 1 1 若存在x r使f x b g x 求实数b的取值范围 2 设f x f x mg x 1 m m2 且 f x 在 0 1 上单调递增 求实数m的取值范围 二次函数与二次方程 二次不等式统称 三个二次 它们之间有着密切的联系 而二次函数又是 三个二次 的核心 通过二次函数的图象贯穿为一体 因此 有关 三个二次 的问题 数形结合 密切联系图象是探求解题思路的有效方法 4 若二次函数f x ax2 bx c a 0 满足f x 1 f x 2x 且f 0 1 1 求f x 的解析式 2 若在区间 1 1 上 不等式f x 2x m恒成立 求实数m的取值范围 典例 设函数y x2 2x x 2 a 则函数的最小值g a 题后悟道 1 求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型 轴定区间定 见本节例3 轴动区间定 轴定区间动 不论哪种类型 解题的关键是确定对称轴与区间的关系 当含有参数时 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 2 解答本题利用了分类讨论思想 由于区间未确定 不能判定其对称轴x 1是否在 2 a 内 从而要分类讨论 分类讨论应遵循 1 不重不漏 2 标准要统一 层次要分明 3 能不分类的要尽量避免或尽量推迟 决不无原则地讨论 已知函数g x ax2 2ax 1 b a 0 b 1 在区间 2 3 上有最大值4 最小值1 则a b 答案 10 教师备选题 给有能力的学生加餐 1 比较下列各组中数值的大小 解 1 函数y 3x是增函数 故30 8 30 7 2 y x3是增函数 故0 213 0 233 4 先比较0 20 5与0 20 3 再比较0 20 3与0 40 3 y 0 2x是减函数 故0 20 5 0 20 3 y x0 3在 0 上是增函数 故0 20 3 0 40 3 则0 20 5 0 40 3 2 设abc 0 二次函数f x ax2 bx c的图象可能是 答案 d 3 已知函数f x ax2 2x 1 1 试讨论函数f x 的单调性 知识能否忆起 一 根式1 根式的概念 xn a 负数 两个 相反数 2 两个重要公式 a a a a 二 有理数指数幂1 幂的有关概念 3 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 0 没有意义 2 有理数指数幂的性质 1 aras a 0 r s q 2 ar s a 0 r s q 3 ab r a 0 b 0 r q ar s ars arbr 三 指数函数的图象和性质 上方 0 1 动漫演示更形象 见配套课件 超链接 0 减函数 增函数 y 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 r a 9b 7c 10d 9 答案 b 小题能否全取 a 0 b 0 c 0 d 解析 1 2x 0 2x 1 x 0 答案 a 3 已知函数f x 4 ax 1的图象恒过定点p 则点p的坐标是 a 1 5 b 1 4 c 0 4 d 4 0 解析 当x 1时 f x 5 答案 a 4 若函数y a2 3a 3 ax是指数函数 则实数a的值为 解析 a2 3a 3 1 a 2或a 1 舍 答案 2 5 若函数y a2 1 x在 上为减函数 则实数a的取值范围是 1 分数指数幂与根式的关系 分数指数幂与根式可以相互转化 通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算 从而简化计算过程 2 指数函数的单调性是由底数a的大小决定的 因此解题时通常对底数a按01进行分类讨论 指数式的化简与求值 例1 化简下列各式 其中各字母均为正数 指数式的化简求值问题 要注意与其他代数式的化简规则相结合 遇到同底数幂相乘或相除 可依据同底数幂的运算规则进行 一般情况下 宜化负指数为正指数 化根式为分数指数幂 对于化简结果 形式力求统一 例2 2012 四川高考 函数y ax a a 0 且a 1 的图象可能是 自主解答 法一 令y ax a 0 得x 1 即函数图象必过定点 1 0 符合条件的只有选项c 法二 当a 1时 y ax a是由y ax向下平移a个单位 且过 1 0 排除选项a b 当0 a 1时 y ax a是由y ax向下平移a个单位 因为0 a 1 故排除选项d 答案 c 1 与指数函数有关的函数的图象的研究 往往利用相应指数函数的图象 通过平移 对称变换得到其图象 2 一些指数方程 不等式问题的求解 往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 a 关于y轴对称b 关于x轴对称c 关于原点对称d 关于直线y x对称 2 方程2x 2 x的解的个数是 2 方程的解可看作函数y 2x和y 2 x的图象交点的横坐标 分别作出这两个函数图象 如图 由图象得只有一个交点 因此该方程只有一个解 答案 1 a 2 1 例3 指数函数的性质及应用 答案 0 0 答案 2 求解与指数函数有关的复合函数问题 首先要熟知指数函数的定义域 值域 单调性等相关性质 其次要明确复合函数的构成 涉及值域 单调区间 最值等问题时 都要借助 同增异减 这一性质分析判断 最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决 3 1 2012 福州质检 已知a 20 2 b 0 40 2 c 0 40 6 则 a a b cb a c bc c a bd b c a 2 2012 上海高考 已知函数f x e x a a为常数 若f x 在区间 1 上是增函数 则a的取值范围是 解析 1 由0 20 40 6 即b c 因为a 20 2 1 b 0 40 2b 综上 a b c 2 结合函数图象求解 因为y eu是r上的增函数 所以f x 在 1 上单调递增 只需u x a 在 1 上单调递增 由函数图象可知a 1 答案 1 a 2 1 2 对于含ax a2x的表达式 通常可以令t ax进行换元 但换元过程中一定要注意新元的范围 换元后转化为我们熟悉的一元二次关系 若0 a 1 函数y a2x 2ax 1在 1 1 上的最大值是14 则a的值为 教师备选题 给有能力的学生加餐 0 b a 其中不可能成立的关系式有 a 1个b 2个c 3个d 4个 a b 0 0 a b b a 0 a b 答案 b 知识能否忆起 1 对数的概念 1 对数的定义 如果 那么数x叫做以a为底n的对数 记作 其中叫做对数的底数 叫做真数 当a 10时叫常用对数 记作x 当a e时叫自然对数 记作x ax n a 0且a 1 n x logan a lgn lnn 2 对数的常用关系式 a b c d均大于0且不等于1 loga1 logaa 对数恒等式 alogan 换底公式 0 1 n logad 3 对数的运算法则 如果a 0 且a 1 m 0 n 0 那么 loga m n logamn n r logam logan nlogam logam logan 2 对数函数的概念 1 把y logax a 0 a 1 叫做对数函数 其中x是自变量 函数的定义域是 2 函数y logax a 0 a 1 是指数函数y ax的反函数 函数y ax与y logax a 0 a 1 的图象关于对称 0 y x 3 对数函数的图象与性质 0 r 1 0 1 0 y 0 y 0 y 0 y 0 增函数 减函数 小题能否全取 答案 c 2 函数y loga 3x 2 a 0 a 1 的图象经过定点a 则a点坐标是 解析 当x 1时y 0 答案 c 3 函数y lg x a 是偶函数 在区间 0 上单调递增b 是偶函数 在区间 0 上单调递减c 是奇函数 在区间 0 上单调递减d 是奇函数 在区间 0 上单调递增解析 y lg x 是偶函数 由图象知在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 答案 b 5 2012 北京高考 已知函数f x lgx 若f ab 1 则f a2 f b2 解析 由f ab 1得ab 10 于是f a2 f b2 lga2 lgb2 2 lga lgb 2lg ab 2lg10 2 答案 2 1 在运用性质logamn nlogam时 要特别注意条件 在无m 0的条件下应为logamn nloga m n n 且n为偶数 2 对数值取正 负值的规律 当a 1且b 1 或00 当a 1且01时 logab0 对数函数的单调性和a的值有关 因而 在研究对数函数的单调性时 要按01进行分类讨论 例1 求解下列各题 对数式的化简与求值 对数式的化简与求值的常用思路 1 先利