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类型四二次函数与三角形相似1. 已知抛物线y(x2)(xm)(m0)与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧(1)若抛物线过点G(2，2)，求抛物线顶点坐标及对称轴；(2)在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求抛物线表达式；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线过点G(2，2)，2(22)(2m)，解得m4.把m4代入y(x2)(xm)(m0)，得y(x2)(x4)x2x2，抛物线的表达式为yx2x2，即y(x1)2，则抛物线顶点坐标为(1，)，对称轴为直线x1；(2) 存在分两种情况讨论：第1题解图i)当ACBABM时，即AB2ACAM.A(2，0)，C(0，2)，即OAOC2，CAB45，BAM45.如解图，过点M作MNx轴于点N，则ANMN，OAON2ONMN，令M(x，x2)(x0)，又点M在抛物线上，x2(x2)(xm)，x0，x20，又m0，x2m，即M(2m，2m2)AM2(m1)，又AB2ACAM，AC2，ABm2，(m2)222(m1)，解得m22.m0，m22，将m22代入抛物线中，得y(x2)(x22)(x22x44)x2(2)x2.ii)当ACBMBA时，则，AB2CBMA，又CBABAM，ANMBOC90，ANMBOC，OBm，令ONx，NM(x2)，令M(x，(x2)(x0)，又点M在抛物线上，(x2)(x2)(xm)，x0，x20，m0，xm2，M(m2，(m4)，又AB2CBMA，CB，ANm4，MN(m4)，(m2)2.此时方程无解，故此种情况不成立综上所述，当抛物线表达式为yx2(2)x2时，在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与ACB相似2. 如图，抛物线C1：yax2bx4与x轴交于A(3，0)，B两点，与y轴交于点C，点M(，5)是抛物线C1上一点(1)求抛物线C1的表达式；(2)若抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称点分别为点A、B、M.过点M作MEx轴于点E，交直线AC于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由第2题图解：(1)把A(3，0)，M(，5)代入yax2bx4，得，解得，抛物线C1的表达式为yx2x4；(2)令y0，则x2x40，解得x13，x21，B(1，0)，令x0，则y4，C(0，4)由题意，知M(，5)，B(1，0)，A(3，0)，CAACAA，AB2，AE，OA3，OC4，如解图，连接AC、AC，AC交ME于点D，MEx轴，MEy轴，解得DE2，由勾股定理得AC5，DA.第2题解图设P(m，0)，DAPCAB，当m3时，此时点P在点A的左边，若，则有DAPCAB，解得m2，P(2，0)若，则有DAPBAC，解得m，P(，0)当m3时，此时点P在
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