高考数学一轮复习 1.3 充要条件课件 文 新人教A版.ppt

一 四种命题及其关系 1 3充要条件 1 四种命题 原命题 若p则q 逆命题 若q则p 否命题 若 p则 q 逆否命题 若 q则 p 2 四种命题的相互关系 一个命题和它的逆否命题是等价的 3 当判断一个命题的真假有困难时 可转化为其等价命题 如逆否命题 来判断真假 在四个命题中 真命题的个数只能为0 2 4 4 当一个命题有大前提 而要求写出其他三个命题时 应保留大前提 大前提不能变动 5 否命题 与 命题的否定 的区别 否命题是对原命题 若p则q 的条件和结论都否定 即 若 p则 q 而原命题 若p则q 的否定是 若p则 q 即只否定原命题的结论 二 充要条件 1 若p q 则称p是q的充分条件 或称q是p的必要条件 2 若q p 则称p是q的必要条件 或称q是p的充分条件 3 若p q 则称p是q的充要条件 1 x 2 是 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 0 x 2或x2 2 答案 a 2 m 是 一元二次方程x2 x m 0有实数解 的 a 充分不必要条件 b 充要条件 c 必要不充分条件 d 既不充分也必要条件 解析 一元二次方程x2 x m 0有实数解的充要条件是 1 4m 0 即m m 是该方程有实数解的充分不必要条件 故选a 答案 a 3 如果x y是实数 那么 x y x y 是 xy 0 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分又不必要条件 x y x y 所以xy 0 x y x y 但反之不能推出 如当x 0 y 2时 有 x y x y 成立 却没有xy 0成立 所以选b 答案 b 解析 由xy 0 x y同正或同负 x y x y 题型1四种命题的关系及真假判断 若log2a 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数 是真命题 例1以下关于命题的说法正确的有 命题 若a 0 则ab 0 的否命题是 若a 0 则ab 0 命题 若x y都是偶数 则x y也是偶数 的逆命题为真命题 命题 若a m 则b m 与命题 若b m 则a m 等价 a b c d 分析 根据四种命题的定义来确定一个原命题的逆命题 否命题 逆否命题 当命题较简单时 可直接判断其真假 若命题本身复杂或不易直接判断时 可利用其逆否命题来判断真假 解析 对于 若log2a 0 log21 则a 1 所以函数f x logax在其定义域内是增函数 因此 是假命题 故 不正确 对于 依据一个命题的否命题的定义可知 该说法正确 对于 原命题的逆命题是 若x y是偶数 则x y都是偶数 是假命题 如1 3 4是偶数 但3和1均为奇数 故 不正确 对于 不难看出 命题 若a m 则b m 与命题 若b m 则a m 互为逆否命题 因此二者等价 所以 正确 综上可知正确的说法有 故选b 答案 b 点评 1 熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键 2 根据 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 这一性质 当一个命题直接判断不易进行时 可转化为判断其等价命题的真假 3 认真仔细读题 必要时举特例 变式训练1命题 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数 的否命题是 a 若f x 是偶函数 则f x 是偶函数 b 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 c 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数 d 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 解析 否命题是既否定条件 又否定结论 因此原命题的否 命题应为 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 故b正确 答案 b a x p 是 x q 的充分不必要条件 b x p 是 x q 的必要不充分条件 c x p 是 x q 的充要条件 d x p 是 x q 的既不充分也不必要条件 题型2充分条件与必要条件的判断 例2若集合p 1 2 3 4 q x 0 x 5 x r 则 分析 先分清命题中的条件和结论 然后判断由条件能否推出结论 由结论能否推出条件 最后根据充分和必要条件的定义加以判断 解析 x p x q 反之不然 故选a 答案 a 点评 判断p是q的什么条件 基本方法是利用定义 从集合的角度理解 小范围可以推出大范围 而大范围不能推出小范围 变式训练2已知a x r 2x 8 b x 1 x m 1 若x b成立的一个充分不必要条件是x a 则实数m的取值范围是 a m 2 b m 2 c m 2 d 2 m 2 解析 若x b成立的一个充分不必要条件是x a 则有a是b的真子集 又a x r 1 x 3 m 1 3 m 2 答案 b 分析 本题有两个思路 1 先求出 p和 q 然后根据 q p求得a的取值范围 2 p是 q的必要不充分条件 等价为 p是q的充分不必要条件 即p q 解析 x2 5x 6 0 x 6 x 1 0 p 1 x 6 p a x x6 例3已知命题p x2 5x 6 0 命题q x2 2x 1 4a2 0 a 0 若 p是 q的必要不充分条件 求实数a的取值范围 题型3充分条件 必要条件的应用 x2 2x 1 4a2 0 x 1 2a x 1 2a 0 又 a 0 q 1 2a x 1 2a q b x x1 2a p是 q的必要不充分条件 b是a的真子集 a 但当a 时 同样满足b是a的真子集 故a的取值范围为 点评 利用充分条件 必要条件可以求参数的值或取值范围 其依据是充分 必要条件的定义 其思维方式是 1 若p是q的充分不必要条件 则p q 但q推不出p 2 若p是q的必要 不充分条件 则q p 但p推不出q 3 若p是q的充要条件 则p q 变式训练3已知p 1 2 q x2 2x 1 m2 0 m 0 若 p是 q的必要而不充分条件 求实数m的取值范围 解析 由题意知 命题 若 p是 q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为 p是q的充分不必要条件 p 1 2 2 1 2 1 3 2 x 10 q x2 2x 1 m2 0 x 1 m x 1 m 0 p是q的充分不必要条件 不等式 1 2的解集是不等式x2 2x 1 m2 0 m 0 解集的真子集 又 m 0 不等式 的解集为 x 1 m x 1 m 或 m 9 实数m的取值范围是 9 1 判断逻辑关系的关键是分清条件和结论 2 判断 p是q的什么条件 的本质是判断命题 若p 则q 及 若q 则p 的真假 3 逻辑关系的判定有四种方法 定义法 若p q 则p是q的充分条件 q是p的必要条件 若p q 则p是q的充要条件 利用原命题和逆否命题的等价性来确定 p q等价于 q p 利用集合的包含关系 记条件p q对应的集合分别为a b 若a b 则p是q的充分条件 q是p的必要条件 若a b 则p是q的充分不必要条件 q是p的必要不充分条件 若a b 则a是b的充要条件 若a b且b a 则p是q的既不充分也不必要条件 利用 的传递性 4 探索充要条件 在探索一个结论成立的充要条件时 一般先探索必要条件 再确定充分条件 也可以利用一些基本的等价关系来探索 解析 函数y cx在r上单调递减 0 c 1 2分 即p 00且c 1 p c 1 3分 又 f x x2 2cx 1在 上为增函数 c 例 12分 已知c 0 且c 1 设p 函数y cx在r上单调递减 q 函数f x x2 2cx 1在 上为增函数 若 p且q 为假 p或q 为真 求实数c的取值范围 即q 00且c 1 q c 且c 1 5分 又 p或q 为真 p且q 为假 p真q假或p假q真 6分 当p真 q假时 c 0且c 1 c c 1 8分 当p假 q真时 c c 1 c 0 c 10分 综上所述 实数c的取值范围是 c c 1 12分 答题流程 第一步 求命题p q对应的参数的范围 第二步 求命题 p q对应的参数的范围 第三步 根据已知条件构造新命题 如本题构造新命题 p真q 假 或 p假q真 第四步 根据新命题 确定参数的范围 第五步 反思回顾 查看关键点 易错点及解题规范 点评 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来 然后转化为集合交 并 补的基本运算 答题时 可依答题模板的格式进行 这样可使答题思路清析 过程完整 老师在阅卷时 便于查找得分点 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 p x a q x2 2x 3 0 p是q的必要条件 则a的取值范围是 a a 3 b a 3 c a 1 d a 1 解析 x2 2x 3 0 1 x 3 p是q的必要条件 则a 3 答案 b 2 基础再现 直线x y k 0与圆 x 1 2 y2 2有两个不同交点 的一个充分不必要条件可以是 a 1 k 3 b 1 k 3 c 03 解析 直线x y k 0与圆 x 1 2 y2 2有两个不同交点 等价于 r 即k 1 3 四个选项中 只有 0 3 是 1 3 的真子集 故充分不必要条件是 0 3 故选c 答案 c 3 高度提升 已知a 0 则x0满足关于x的方程ax b的充要条件是 a 存在x0 r ax2 bx a bx0 b 存在x0 r ax2 bx a bx0 c 对任意x r ax2 bx a bx0 d 对任意x r ax2 bx a bx0 解析 设函数f x ax2 bx f x ax b 由已知可得f x0 ax0 b 0 又因为a 0 所以可知x0是函数f x 的极小值点 也是最小值点 由最小值定义可知选项c正确 答案 c 4 高度提升 已知f x 是定义在r上的偶函数 则 f x 是周期函数 的一个充要条件是 a f x cosx b 对任意a r f a x f a x c f 1 x f 1 x d 存在a0 r a0 0 f a0 x f a0 x 解析 f a x f a x 则f 2a x f x f x 故f x 的周期是2a 答案 d 5 能力综合 已知p 0 若 p是 q的必要不充分条件 则实数a的取值范围是 a 1 b 1 3 c 1 d 3 解析 1a 当a3 p是 q的必要不充分条件 即p是q的充分不必要条件 可推出a的取值范围是a 1 答案 c 6 基础再现 已知p x 1 q x a x a 1 0 若p是 q的充分不必要条件 则实数a的取值范围是 解析 q x a x a 1 0 a x a 1 若p是 q的充分不必要条件 即p q 但 q推不出p 则应有 0 a 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 答案 0 7 基础再现 命题 若m 0 则关于x的方程x2 x m 0有实数根 与它的逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数为 解析 先写出原命题的逆命题 否命题 逆否命题 逐一判断 易知原命题和逆否命题为真命题 逆命题和否命题为假命题 答案 2 8 高度提升 在平面直角坐标系xoy中 直线x m 1 y 2 m与直线mx 2y 8互相垂直的充要条件是m 解析 x m 1 y 2 m与mx 2y 8垂直 1 m m 1 2 0 得m 答案 9 能力综合 已知 集合g x y 集合h x y x2 y2 2 命题 x y g 是 命题 x y h 的必要不充分条件 则u的取值范围是 解析 据题意u 0且直线x y u与圆x2 y2 2不相交 则 故u 2 答案 2 10 基础再现 是否存在实数p 使 4x p0 的充分条件 如果存在 求出p的取值范围 是否存在实数p 使 4x p0 的必要条件 如果存在 求出p的取值范围 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 故当 1时 由x0 故p 4 故存在p 4使得 4x p0 的充分条件 不存在实数p 使 4x p0 的必要条件 解析 当x 2或x0 由4x p 0 得x 11 视角拓展 设命题p 函数f x lg ax2 x a 的定义域为r 命题q 不等式3x 9x a对一切正实数x均成立 1 如果p是真命题 求实数a的取值范围 2 如果命题p或q为真命题 命题p且q为假命题 求实数a的取值范围 则ax2 x a 0对任意实数x恒成立 若a 0 显然不成立 若a 0 则解得a 2 故命题p为真命题时a的取值范围为 2 解析 1 由题意 若命题p为真 而3x 9x 3x 2 因为x 0 所以3x 1 所以3x 9x 0 因此a 0 故命题q为真命题时 a 0 又命题p或q为真命题 命题p且q为假命题 则命题p与q一真一假 2 若命题q为真 则3x 9x a对一切正实数x恒成立 若p真q假 则解得a 若p假q真 则解得0 a 2 综上