第五章概率论基础.doc

第五章 概率基础学习目的本章介绍概率的基本理论、性质、方法以及一些应用方面的知识。通过本章的学习，要求：1.理解概率的基本定义、性质；2.理解古典概型的特征，随机变量的分布特征及应用场合；3.掌握：古典概型与随机变量的各种计算及其应用。课程内容要点第一节 概率的基本概念一、随机试验与随机事件在相同条件下重复同样的试验所得结果不确定的现象称为随机现象。（一）样本空间从总体中随机抽取一个单位并把结果记录下来称为一次试验。每种试验结果对应着一个样本点，以全部样本点为元素的集合称为样本空间。（二）事件一般地，样本空间的特定子集称为事件。基本事件是指对应样本空间中一个样本点的事件，它是不可再分的。而复合事件是可以由若干个基本事件结合而成的。如果一个事件在每次试验中都必定发生，则称该事件为必然事件。由于样本空间本身作为一个事件，每个样本点都属于它，因此每次试验它都会发生，就是一个必然事件。一个事件如果是零集或空集，就称为不可能事件，通常用来表示。下面我们就来看看事件间的关系和运算：（1） 包含关系 表示事件发生则事件发生；（2） 相等关系 表示且（3） 互不相容 =，表示与不可能同时发生。（4） 逆 与有且只能有一个发生，也就是说不是发生就是发生，则称是的逆事件，记作。 （5） 交（）=和同时发生一般地，可以将此公式推广为：（6） 并（） 给定两个事件和构成一个新的事件=和至少发生一个，也可记为。同样地可以将此公式推广为：（7） 差（）=发生且不发生二、概率（一）概率的定义定义5.1定义在事件域上的一个集合函数称为概率，如果它满足如下三个条件：（），对一切；（）；（）若且两两不相容，则这就是概率的可列可加性或完全可加性。利用概率的基本性质可以推出概率的另外一些重要性质。性质1不可能事件的概率为0，即性质2必然事件的概率为1，即性质3概率具有有限可加性。即若 （二） 概率的基本运算1. 概率具有有限可加性。即若 2.对任何事件A有3.如果，则推论如果，则4.（一般加法公式）若为n个事件，则特别地，当2时，有（三）几个重要的概型1.古典概型在我们所研究的随机现象中有一类最简单的随机现象，这种随机现象的全部可能结果只有有限个，这些事件是两两互不相容的，而且它们发生的概率都相等，我们就把这类随机现象的数学模型称为古典概型。记这些事件为，若事件包含的样本点的个数为个，则其概率为2.几何概型古典概型所能计算的只是有限场合的情况，那些有无限多结果的场合又如何呢？下面我们就用几何方法来解决这个问题。我们先看一些具体的问题。（1）开往某市的汽车开车时间为每个正点一趟，某人到车站乘车，求他等车短于10分钟的概率；（2）一片面积为S的树林中有一块面积为的空地，由空中向空地投掷物品，求投中的概率。（3）在10毫升的自来水中有1个大肠杆菌，现在从中随机取出2毫升自来水在显微镜下观察，试求大肠杆菌的概率。在上述的问题中，其样本空间分别是一、二、三维，分别用长度、面积和体积来衡量。则事件的概率与的位置与形状均无关，而与其长度（或面积、体积）成正比，也就是其中表示长度（或面积、体积）。3.事件的独立性与条件概率（1）事件的独立性若两个随机事件、的发生与否不会相互影响，则称它们相互独立，其定义如下：定义5.2对于任意两个事件、，如果等式成立，则称事件和相互独立。（2）条件概率条件概率研究的是在某一事件发生的条件下，另一事件发生是否会受到影响，影响有多大呢？定义5.3给定一个随机试验，是它的样本空间，对于任意两个事件、，其中，称为在已知事件发生的条件下事件A的条件概率。（3）两个重要公式全概率公式贝叶斯公式 第二节 随机变量及其分布一、随机变量与随机分布的概念正如对随机事件一样，我们所关心的不仅是试验会出现什么结果，更重要的是要知道这些结果将以怎样的概率出现。这样，了解随机现象的规律就变成了解随机变量的所有可能取值及随机变量取值的概率。而这两个特征就可以通过随机变量分布来表现出来。二、概率分布的类型（一）离散型随机变量分布当试验结果所可能取的值能够一一列举出来时，这种类型的随机变量称为离散型随机变量，其分布就称为离散型随机变量分布。如果随机变量的取值可以一一列出，记为，而相对于所取的概率为，即，称为随机变量的概率分布，它应满足下面关系：则当和已知时，这两组值就完全描述了随机变量的规律，此时把如下的表示方法称为该随机变量的分布列：对于集合中任何一个子集，事件“在中取值”即“”的概率为（二）连续型随机变量的概率密度当随机现象所出现的试验结果不只取可列个值。这时用来描述试验结果的随机变量还是样本点的函数：严格写应是，其中。但是这个随机变量能取某个区间或的一切取值。对于取连续值的随机变量，我们感兴趣的是取值于某个区间的概率，或取值于若干个这种区间的概率。为此引进如下定义：定义5.4是定义于概率空间上的单值实函数，如果对于直线上任一点集，有则称为随机变量，而称为随机变量的概率分布。定义5.5对于随机变量，如果存在一个非负可积函数，使对于任意两个实数，都有，则称X为连续型随机变量，就称为随机变量的密度函数，满足性质：（1）（2）（三）一般场合的分布函数分布函数是概率论中重要的研究工具，可以用于描述包括离散型和连续型在内的一切类型随机变量。定义5.6 设是一个随机变量，是它的分布密度函数，则称函数为随机变量的分布函数。根据定义，具有如下性质：1.针对连续型的随机变量有 2.，3.是关于的单调非减函数4. 5. 左连续性：6. 三、随机变量的数字特征随机变量的数字特征是指能集中反映随机变量概率分布基本特点的数字。常用的随机变量数字特征有数学期望和方差两种。（一）数学期望 1.离散型场合定义5.7. 定义5.8那当变量取值为可列个时，其数学期望定义如下若级数绝对收敛，则将其称为的数学期望，简称为期望或均值，记为。2.连续型场合定义5.9 3.数学期望的基本性质设如下各变量的数学期望存在，c为常数，可以得到关于数学期望的性质：（1） （2） （3） （4）若相互独立，则 （二）方差方差描述的是随机变量的取值相对于它的期望的平均偏离程度。定义5.10 称为的标准差（或标准偏差）。根据期望的性质，可以得到方差的另一个定义式。 因此也可以得到方差的几个基本性质：（1），其中为常数 （2） （3） （4）n个独立随机变量平均值的方差等于各个变量方差平均值的，即 （三）协方差与相关系数定义5.11设两个随机变量和的期望和方差都存在，则称 为和的协方差。下面是协方差的一些性质（假设下面各随机变量的协方差存在，且为常数）（1）与的顺序无关，即（2）若和独立，则证明：由于如果和独立，则于是有（3）（4）（5）（6）定义5.12设随机变量和的方差都存在，且都不为0，则称 为和的相关系数。同样我们可以列出相关系数的一些性质：（1）（2）的充要条件是为常数。第三节 几种常见的概率分布一、离散型分布（一）两点分布在一次试验中，事件出现的概率为，不出现的概率为，若以记事件出现的次数，则仅取0，1两个值，相应的概率分布为，这个分布称为两点分布，也称为伯努利分布。两点分布的数学期望为 由于则其方差为 （二）二项分布二项分布是离散型分布中较为重要的一种，是上述伯努利试验重复进行的结果。在重独立的伯努利试验中，重复进行次试验，若记事件为“试验成功”，其概率为，以记事件出现的次数，则它是一个随机变量，可能取的值为，其对应的二项分布给出： 简记作。二项式分布的期望值及方差如下： （三）超几何分布在产品的抽样检查中经常遇到以下实际问题，要对件产品进行无放回抽样检查，若这批产品中有件次品，现从整批产品中随机抽出件产品，则在这件产品中出现的次品数是随机变量，它取值，其概率分布为超几何分布。 （四）泊松分布实践证实泊松分布对某一类随机现象有很贴切的描述，这类现象成为“泊松试验”，它具有两个总要的特征：第一，所考察的事件在任意两个长度相等的区间里发生一次的机会均等。第二，所考察的事件在任何一个区间里发生与否和在其他区间里发生与否没有相互影响，即是独立的。定义5.13若随机变量可取一切非负整数值，且， 其中，则称服从泊松分布。简记作。 二、连续型分布（一）均匀分布定义5.14如果随机变量具有如下的密度函数： 则称服从区间上的均匀分布，记为。（二）正态分布正态分布在概率论与数理统计乃至随机过程的理论及应用中，都占有特别重要的地位。定义5.15若随机变量的密度函数为： 其中，与均为常数，称随机变量服从参数为，的正态分布，简记为。正态分布的期望，方差为特别地，当时，分布称为标准正态分布，记为，相应的密度函数和分布函数分别记为和。， ， 有了标准正态分布后，就可以将任意一个服从一般正态分布的随机变量转化成标准正态分布，转换公式为 一般地，对于服从标准正态分布的随机变量，其变量在任何一个区间上的概率可以表示为 对于负的，可以由下式得到： 同样，对于服从一般正态分布的随机变量，取值在某一个区间上的概率都可以通过标准正态分布求得。 第四节大数定律与中心极限定理一、大数定律人们在长期实践中发现，事件发生的频率具有稳定性，也就是说，随着试验次数的增多，事件发生的频率将稳定于一个确定的常数。大数定律：设为独立同分布的随机变量，其期望为，方差为，即，。则对任意的正数，有 大数定律说明，当充分大时，独立同分布的一系列随机变量，其平均数与它们共同的期望值之间的偏差，可以有很大的把握被控制在任意给定的范围之内。如果我们对一个随机变量重复独立地观测次（例如对某个物体的未知重量作次测量），则其频率的稳定也可以由大数定律来描述，即设是次伯努利试验中事件A出现的次数，而是事件A在每次试验中出现的概率，则对任意，都有 该结论称为伯努利大数定律，它提供了用频率代替概率的理论依据。二、中心极限定理中心极限定理：设随机变量序列相互独立且同分布，该分布存在有限的期望和方差，即，。则当趣于无穷大时，近似服从正态分布，即。从以上的结论，我们可以得到这样的推论，即设随机变量，当趋于无穷大时，则近似服从。这样在大样本下，服从二项分布的随机变量，可以借助正态分布的有关理论来解决。.考核知识点与考核要求一、概率的基本概念1、识记：（1）随机事件的定义（2）概率的定义、性质（3）古典概型、几何概型（4）事件的独立性2、领会：（1）概率的计算（2）全概率和贝叶斯公式的原意义3、应用：（1）条件概率的计算（2）全概率公式和贝叶斯公式的计算二、随机变量及其分布1、识记：（1）随机变量的分布（离散和连续）（2）分布函数的性质（3）随机变量的数字特征2、领会：（1）离散型和连续型随机变量的区别（2）随机变量期望和方差的意义3、应用：（1）会求随机变量的分布函数（2）会求随机变量的期望、方差（3）会求随机变量间的协方差以及相关系数三、几种重要的分布1、识记：（1）两点分布、二项分布、超几何分布以及泊松分布的定义（2）均匀分布、正态分布的定义2、领会：（1）各种分布的适用条件（2）各种分布的意义3、应用：（1）熟练运用各种分布的公式求解实际问题（2）各种分布的期望、方差的计算四、大数定律与中心极限定理1、识记：（1）大数定律的定义（2）中心极限定理的定义2、领会：（1）大数定律的意义（2）中心极限定理的意义3、应用：（1）运用大数定律求解实际问题（2）运用中心极限定理求接实际问题.习题详解 一选择题1.D 2.B 3.D 4.A 5.A 6.C 7.B 8.A 9.B 10.D 11.A 12.A 13.C 14.C二计算题1解：（1） 110.150.85（2）因为所以0.15+0.35+0.30.8（3）由于，即，则0.350.150.22解：该实验是从个球中，无放回地把球一个个取出来，相当于排队，求第个位置排的是红球的概率。因为个球共有种排法，故样本点总数。设第次取出的球是红球，则对事件包含的样本点的个数为：先从个红球中任取一个放在第个位置，然后把其余个球排在剩下的位置上，总共有。所以3.解：记表示“报名表是第I区考生的”，表示“第次抽到的报名表是男生表”，则先抽到的一份是女生表的概率是根据全概率公式（5.1.14），有4解：由概率密度的性质及其定义，有0.25即得到联立方程为得到从而 那么 0.06255解：根据分布函