高考数学总复习 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 新人教A版 .ppt

第七章立体几何 第五节直线 平面垂直的判定及性质 一 直线与平面垂直1 直线和平面垂直的定义直线l与平面 内的一条直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 任意 2 直线与平面垂直的判定与性质 两条相交 直线 平行 a b a b o l b l a a b 它在平面内的射影 1 两条直线和一个平面所成的角相等 这两条直线的位置关系怎样 提示 平行 相交 异面三种情况都有可能 二 平面与平面垂直1 二面角的有关概念 1 二面角 从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角 2 二面角的平面角 在二面角的棱上任一点 以该点为垂足 在两个半平面内分别作的两条射线 这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 3 二面角的范围 0 两个半平面 垂直于棱 2 平面和平面垂直的定义两个平面相交 如果所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 3 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 垂线 交线 l l l a l a 2 垂直于同一平面的两平面是否平行 提示 不一定 可能平行也可能相交 1 设l m n均为直线 其中m n在平面 内 则 l 是 l m且l n 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析 当l 时 l m且l n 但当l m l n时 若m n不是相交直线 则得不到l 答案 a 2 将图1中的等腰直角三角形abc沿斜边bc的中线ad折起得到四面体abcd 如图2 则在四面体abcd中 ad与bc的位置关系是 a 相交且垂直b 相交但不垂直c 异面且垂直d 异面但不垂直解析 由题意知ad bd ad dc 又bd dc d 故ad 平面bcd 又bc 平面bcd 所以ad bc 又ad与bc异面 故选c 答案 c 3 在正方体abcd a1b1c1d1中 b1c与平面dd1b1b所成角的大小是 a 15 b 30 c 45 d 60 4 设 是空间两个不同的平面 m n是平面 及 外的两条不同直线 从 m n n m 中选取三个作为条件 余下一个作为结论 写出你认为正确的一个命题 用代号表示 解析 将 作为条件 构造长方体进行证明 即从长方体的一个顶点出发的两条棱与其对面垂直 这两个对面互相垂直 故 对于 可仿照前面的例子进行证明 答案 或 5 理 设p是60 的二面角 l 内一点 pa pb a b分别为垂足 pa 2 pb 4 则ab的长是 解析 如图所示 pa与pb确定平面 设平面 与l交于点e 则be l ae l bea即为二面角的平面角 5 文 在正三棱锥p abc中 d e分别是ab bc的中点 有下列三个论断 ac pb ac 平面pde ab 平面pde 其中所有正确论断的序号为 解析 取ac中点o 连接po bo 则ac po ac bo 又po bo o 所以ac 平面pob 故ac pb 由ac de知ac 平面pde 显然 不成立 答案 考向探寻 1 直线与平面垂直的判定 2 直线与平面垂直的性质 3 直线与平面垂直的判定与性质的综合应用 典例剖析 1 如图甲 在 abc中 abc 90 pa 平面abc 则图中直角三角形的个数是 1 利用线面垂直的判定 性质寻求图中的垂直关系 2 证明ph ad ph ab即可 由 知ph为四棱锥的高 证四边形abcd为直角梯形 根据公式求体积即可 取pa中点m 证dm 平面pab及ef dm即可 1 解析 pa 平面abc ab ac 平面abc pa ab pa ac pa bc 又cb ab pa ab a cb 平面pab cb pb pab pac pbc abc均为直角三角形 答案 4 2 证明 因为ab 平面pad ph 平面pad 所以ph ab 因为ph为 pad中ad边上的高 所以ph ad 因为ph 平面abcd ab ad a ab ad 平面abcd 所以ph 平面abcd 解 因为pd ad 所以md pa 因为ab 平面pad 所以md ab 因为pa ab a 所以md 平面pab 所以ef 平面pab 1 证明直线和平面垂直的常用方法有 2 当直线和平面垂直时 该直线垂直于平面内的任意一条直线 常用来证明线线垂直 活学活用 1 理 如右图所示 已知pa 矩形abcd所在平面 m n分别是ab pc的中点 1 求证 mn cd 2 若 pda 45 求证 mn 平面pcd 2 如图所示 连接pm cm pda 45 pa ad ap ad 四边形abcd为矩形 ad bc pa bc 又 m为ab的中点 am bm 而 pam cbm 90 pm cm 又 n为pc的中点 mn pc 由 1 知 mn cd pc cd c mn 平面pcd 1 文 如图 已知三棱锥a bpc中 ap pc ac bc m为ab中点 d为pb中点 且 pmb为正三角形 求证 1 md 平面apc 2 bc 平面apc 证明 1 m为ab中点 d为pb中点 md ap 又md 平面apc ap 平面apc md 平面apc 2 pmb为正三角形 d为pb的中点 md pb 又由 1 知md ap ap pb 又已知ap pc pb pc p ap 平面pbc ap bc 又ac bc ac ap a bc 平面apc 考向探寻 1 平面与平面垂直的判定 2 平面与平面垂直的性质 3 平面与平面垂直的判定与性质的综合应用 典例剖析 1 2012 浙江高考 设l是直线 是两个不同的平面a 若l l 则 b 若l l 则 c 若 l 则l d 若 l 则l 2 2012 江苏高考 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 a1b1 a1c1 d e分别是棱bc cc1上的点 点d不同于点c 且ad de f为b1c1的中点 求证 平面ade 平面bcc1b1 直线a1f 平面ade 1 解析 设 a 若直线l a 且l l 则l l 因此 不一定平行于 故a错误 由于l 故在 内存在直线l l 又因为l 所以l 故 所以b正确 若 在 内作交线的垂线l 则l 此时l在平面 内 因此c错误 已知 若 a l a 且l不在平面 内 则l 且l 因此d错误 答案 b 2 证明 因为abc a1b1c1是直三棱柱 所以cc1 平面abc 又ad 平面abc 所以cc1 ad 又ad de cc1 de 平面bcc1b1 cc1 de e 所以ad 平面bcc1b1 因为ad 平面ade 所以平面ade 平面bcc1b1 因为a1b1 a1c1 f为b1c1的中点 所以a1f b1c1 因为cc1 平面a1b1c1 且a1f 平面a1b1c1 所以cc1 a1f 又因为cc1 b1c1 平面bcc1b1 cc1 b1c1 c1 所以a1f 平面bcc1b1 由 1 知ad 平面bcc1b1 所以a1f ad 又ad 平面ade a1f 平面ade 所以a1f 平面ade 1 证明平面和平面垂直的方法 利用定义证明 只需判定两平面所成的二面角为直二面角即可 利用线面垂直的判定定理 此种方法要注意平面内的两条直线必须相交 2 面面垂直的性质应用技巧 两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 这是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 两个相交平面同时垂直于第三个平面 那么它们的交线也垂直于第三个平面 活学活用 2 如图所示 已知矩形abcd中 ab 10 bc 6 将矩形沿对角线bd把 abd折起 使a移到a1点 且a1在平面bcd上的射影o恰好在cd上 1 求证 bc a1d 2 求证 平面a1bc 平面a1bd 证明 1 a1在平面bcd上的射影o在cd上 a1o 平面bcd 又bc 平面bcd bc a1o 又bc co a1o co o bc 平面a1cd 又a1d 平面a1cd bc a1d 2 abcd为矩形 a1d a1b 由 1 知a1d bc a1b bc b a1d 平面a1bc 又a1d 平面a1bd 平面a1bc 平面a1bd 理 考向探寻 1 与平行 垂直有关的综合问题 2 与垂直 平行有关的折叠 探索性问题 3 求二面角的大小 典例剖析 1 求证 aa1 bc 2 求aa1的长 3 求二面角a bc a1的余弦值 解答此题可按以下思路进行 1 先证cb dd1 bc ad 进而证得bc 平面ad1a1d 从而可得结论 2 延长a1d1到g 使gd1 ad 可求得ag及a1g 再利用勾股定理求解 3 作出二面角的平面角 用通过解三角形求解 1 证明 如图 取bc b1c1的中点分别为d和d1 连接a1d1 dd1 ad a1d ad1 由条件可知 bc ad b1c1 a1d1 由上可得ad 平面bb1c1c a1d1 平面bb1c1c 由此得ad a1d1 即ad a1d1确定平面ad1a1d 又因为dd1 bb1 bb1 bc 所以dd1 bc 又ad bc ad dd1 d 所以bc 平面ad1a1d 又aa1 平面ad1a1d 故bc aa1 2 解 延长a1d1到g点 使gd1 ad 连接ag 则ad gd1 所以四边形agd1d为平行四边形 所以ag dd1 又dd1 bb1 所以ag bb1 由于bb1 平面a1b1c1 所以ag 平面a1b1c1 又a1g 平面a1b1c1 所以ag a1g 由条件可知 a1g a1d1 d1g 3 ag 4 所以aa1 5 活学活用 3 三棱锥p abc中 pc ac bc两两垂直 bc pc 1 ac 2 e f g分别是ab ac ap的中点 1 求证 平面gfe 平面pcb 2 求二面角b ap c的正切值 1 证明 因为e f g分别是ab ac ap的中点 所以ef bc gf cp 因为ef gf 平面pcb 所以ef 平面pcb gf 平面pcb 又ef gf f 所以平面gfe 平面pcb 文 考向探寻 1 与垂直 平行有关的综合问题 2 与平行 垂直有关的折叠 探索性问题 3 求直线与平面所成角的大小 典例剖析 解答此题可按以下思路进行 1 先证c1b1 平面a1d1da 再利用线面平行的性质证ef a1d1 证明ba1 b1c1 ba1 b1f即可 2 作出直线与平面所成的角 通过解三角形求解 因为bb1 平面a1b1c1d1 所以bb1 b1c1 又因为b1c1 b1a1 所以b1c1 平面abb1a1 所以b1c1 ba1 在矩形abb1a1中 f是aa1的中点 tan a1b1f tan aa1b 即 a1b1f aa1b 故ba1 b1f 所以ba1 平面b1c1ef 1 求线面角的方法根据线面角的定义作出直线与平面所成的角 然后通过解三角形的方法求出该角 其具体步骤是 作 证 求 2 解决垂直的综合问题时要注意三种垂直相互转化 具体为 活学活用 3 ab为圆o的直径 点e f在圆上 ab ef 矩形abcd所在平面与圆o所在平面互相垂直 已知ab 2 ef 1 1 求证 bf 平面daf 2 求bf与平面abcd所成的角 3 若ac与bd相交于点m 求证 me 平面daf 1 证明 ab为圆o的直径 bf af 又 平面abcd 圆o面 且平面abcd 圆o面 ab da ab da 圆面o bf 圆面o da bf da af a 所以bf 平面adf 1 ef 平面abc 证明 因为ab 平面bcd cd 平面bcd 所以ab cd 又 bcd中 bcd 90 所以bc cd 因为ab bc b 所以cd 平面abc 2分 1 证明 取ad的中点g 连pg bg bd pad为等边三角形 pg ad 2分又 平面pad 平面abcd pg 平面abcd 在 abd中 dab 60 ad ab abd为等边三角形 bg ad 5分又pg bg g