高中数学 7.2空间图形的基本关系与公理配套课件 北师大版.pptVIP

第二节空间图形的基本关系与公理 三年9考高考指数 1 理解空间直线 平面位置关系的定义 2 了解可以作为推理依据的公理和定理 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 1 点 线 面的位置关系是本节的重点 也是高考的热点 2 从考查形式看 以考查点 线 面的位置关系为主 同时考查逻辑推理能力和空间想象能力 3 从考查题型看 多以选择题 填空题的形式考查 有时也出现在解答题中 一般难度不大 属低中档题 1 空间图形的基本位置关系 1 空间点与直线的位置关系有两种 和 2 空间点与平面的位置关系有两种 和 点在直线上 点在直 线外 点在平面内 点在平 面外 3 空间两条直线的位置关系有三种 平行直线 在 内 而且没有 的两条直线 相交直线 的两条直线 异面直线 的两条直线 4 空间直线与平面的位置关系有三种 直线在平面内 直线和平面有 公共点 直线和平面相交 直线和平面 公共点 直线和平面平行 直线和平面 公共点 同一个平面 公共点 只有一个公共点 不同在任何一个平面内 无数个 只有一个 没有 5 空间平面与平面的位置关系有两种 平行平面 两个平面 公共点 相交平面 两个平面不重合 并且 公共点 没有 有 即时应用 1 思考 若a b 则a b就一定是异面直线吗 提示 不一定 可能存在平面 使a b 2 思考 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是怎样的 提示 可能平行 可能相交 也可能异面 3 两个不重合的平面可把空间分成 部分 解析 当两平面平行时可分为3部分 当两平面相交时分为4部分 答案 3或4 2 空间图形的公理及等角定理 文字语言 图形语言 符号语言 公理1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线上 都在这个平面内 即直线 公理2 经过不在同一条直线上的三点 一个平面 即可以确定一个平面 若a b c三点不共线 则 一个平面 使a b c 两点 所有的点 在平面内 有且只有 有且只有 l 如果两个不重合的平面 那么它们 一条通过这个点的公共直线 有一个公共点 有且只有 若a a 则 l且a l 平行于同一条直线的两条直线 平行 若a b b c 则 a c 空间中 如果两个角的两条边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 若ao a o bc 则 aob a o b aoc和 a o b 互补 b o 即时应用 1 思考 公理1 2 3的作用分别是什么 你能说出公理2的几个推论吗 提示 公理1的作用 判断直线在平面内 由直线在平面内判断直线上的点在平面内 公理2的作用 确定平面的依据 它提供了把空间问题转化为平面问题的条件 公理3的作用 判定两平面相交 作两平面的交线 证明点共线 公理2的三个推论为 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 经过两条相交直线 有且只有一个平面 经过两条平行直线 有且只有一个平面 2 判断下列说法是否正确 请在括号中填写 或 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 解析 经过不共线的三点可以确定一个平面 不正确 两条平行线可以确定一个平面 正确 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面 正确 命题 中没有说清三个点是否共线 不正确 答案 3 判断下列说法的正误 请在括号中填写 或 如果两个不重合的平面 有一条公共直线a 就说平面 相交 并记作 a 两个不重合的平面 有一个公共点a 就说 相交于过a点的任意一条直线 两个不重合的平面 有一个公共点a 就说 相交于a点 并记作 a 两个不重合的平面abc与dbc相交于线段bc 解析 根据平面的性质公理3可知 对 对于 其错误在于 任意 二字上 对于 错误在于 a上 对于 应为平面abc和平面dbc相交于直线bc 答案 4 平面 相交 在 内各取两点 这四点都不在交线上 这四点能确定 个平面 解析 如果这四点在同一平面内 那么确定一个平面 如果这四点不共面 则任意三点可确定一个平面 所以可确定四个 答案 1或4 3 异面直线所成的角 1 定义 过空间任意一点p分别引两条异面直线a b的平行线l1 l2 这两条相交直线所成的 就是异面直线a b所成的角 如果两条异面直线所成的角是 则称这两条直线互相垂直 2 范围 锐角 或直角 直角 0 即时应用 1 思考 不相交的两条直线是异面直线吗 不在同一平面内的直线是异面直线吗 提示 不一定 因为两条直线没有公共点 这两直线可能平行也可能异面 因为不同在任何一个平面内的直线为异面直线 故该结论不一定正确 2 和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 解析 画出图形分析 图 中 ab cd与异面直线a b都相交 此时ab cd异面 图 中 ab ac与异面直线a b都相交 此时ab cd相交 答案 异面或相交 平面的基本性质及其应用 方法点睛 考查平面基本性质的常见题型及解法 1 判断所给元素 点或直线 是否能确定唯一平面 关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件 此时需要利用公理2及其推论 2 证明点或线共面问题 一般有两种途径 首先由所给条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再证其余的线 或点 在这个平面内 将所有条件分为两部分 然后分别确定平面 再证两平面重合 3 证明点共线问题 一般有两种途径 先由两点确定一条直线 再证其他各点都在这条直线上 直接证明这些点都在同一条特定直线上 4 证明线共点问题 常用的方法是 先证其中两条直线交于一点 再证其他直线经过该点 例1 1 2012 太原模拟 给出以下四个命题 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点a b c d共面 点a b c e共面 则点a b c d e共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 正确命题的个数是 a 0 b 1 c 2 d 3 2 如图 平面abef 平面abcd 四边形abef与abcd都是直角梯形 bad fab 90 bc ad且bc ad be af且be af g h分别为fa fd的中点 证明 四边形bchg是平行四边形 c d f e四点是否共面 为什么 解题指南 1 根据确定平面的公理及推论进行判断 2 证明bc gh平行且相等即可 证明ef ch 由此构成平面 再证点d在该平面上 规范解答 1 选b 假设其中有三点共线 则该直线和直线外的另一点确定一个平面 这与四点不共面矛盾 故其中任意三点不共线 所以 正确 从条件看出两平面有三个公共点a b c 但是若a b c共线 则结论不正确 不正确 不正确 因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上 如空间四边形 2 由题设知 fg ga fh hd 所以gh ad且gh ad 又bc ad且bc ad 故gh bc且gh bc 所以四边形bchg是平行四边形 c d f e四点共面 理由如下 由be af且be af g是fa的中点知 be gf且be gf 所以四边形efgb是平行四边形 所以ef bg 由 知bg ch 所以ef ch 故ec fh共面 又点d在直线fh上 所以c d f e四点共面 互动探究 本例第 2 题的条件不变 如何证明 fe ab dc交于一点 证明 由例题可知 四边形ebgf和四边形bchg都是平行四边形 故可得四边形echf为平行四边形 ec hf 且ec df 四边形ecdf为梯形 fe dc交于一点 设fe dc m m fe fe平面bafe m 平面bafe 同理m 平面badc 又平面bafe 平面badc ba m ba fe ab dc交于一点 反思 感悟 点共线和线共点问题 都可转化为点在直线上的问题来处理 实质上是利用公理3 证明点在两平面的交线上 解题时要注意这种转化思想的运用 变式备选 如图 空间四边形abcd中 e f g h分别是ab ad bc cd上的点 设eg与fh交于点p 求证 p a c三点共线 证明 eg fh p p eg eg平面abc p 平面abc 同理p 平面adc p为平面abc与平面adc的公共点 又平面abc 平面adc ac p ac p a c三点共线 空间中两直线的位置关系 方法点睛 判定直线位置关系的方法空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质及线面平行的性质 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 提醒 在空间中两直线的三种位置关系中 验证异面直线及其所成角是考查的热点 例2 如图 在四面体abcd中 截面pqmn是正方形 则在下列命题中 错误的为 a ac bd b ac 截面pqmn c ac bd d 异面直线pm与bd所成的角为45 解题指南 结合图形 根据有关的知识逐一进行判断 注意本题选择的是错误选项 规范解答 选c 因为四边形pqmn为正方形 所以pq mn 又pq平面adc mn平面adc 所以pq 平面adc 又平面bac 平面dac ac 所以pq ac 同理可证qm bd 由pq ac qm bd pq qm可得ac bd 故a正确 由pq ac可得ac 截面pqmn 故b正确 异面直线pm与bd所成的角等于pm与pn所成的角 故d正确 综上知c错误 反思 感悟 解决此类问题常出现的错误是不善于挖掘题中的条件 不能将问题适当地转化 另外 图形复杂 空间想象力不够 分析问题不到位等 也是常出现错误的原因 变式训练 1 设a b c d是空间四个不同的点 在下列命题中 不正确的是 a 若ac与bd共面 则ad与bc共面 b 若ac与bd是异面直线 则ad与bc是异面直线 c 若ab ac db dc 则ad bc d 若ab ac db dc 则ad bc 解析 选d 对于a 易知点a b c d共面 故ad与bc共面 所以a正确 对于b 假设ad与bc不异面 则可得ac与bd共面 与题意矛盾 故b正确 对于c 如图 e为bc中点 易证得直线bc 平面ade 从而ad bc 故c正确 对于d 当四点构成空间四面体时 只能推出ad bc 但二者不一定相等 故d错误 2 2012 宝鸡模拟 若p是两条异面直线l m外的任意一点 则下列命题中假命题的序号是 过点p有且仅有一条直线与l m都平行 过点p有且仅有一条直线与l m都垂直 过点p有且仅有一条直线与l m都相交 过点p有且仅有一条直线与l m都异面 解析 是假命题 因为过点p不存在一条直线与l m都平行 是真命题 因为过点p有且仅有一条直线与l m都垂直 这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合 是假命题 因为过点p也可能没有一条直线与l m都相交 是假命题 因为过点p可以作出无数条直线与l m都异面 答案 异面直线所成的角 方法点睛 1 求异面直线所成的角的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 2 求异面直线所成角的步骤 1 作 通过作平行线 得到相交直线 2 证 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角 3 算 通过解三角形 求出该角 例3 1 如图 已知两个正方形abcd和dcef不在同一平面内 m n分别为ab df的中点 求证 直线me与bn是两条异面直线 2 2012 西安模拟 已知三棱锥a bcd中 ab cd 且直线ab与cd成60 角 点m n分别是bc ad的中点 求直线ab和mn所成的角 解题指南 1 采用反证法证明 2 取ac中点p 连接pm pn 利用三角形中位线性质可得pm ab pn cd 从而得 mpn的大小 然后解三角形可得所求角 规范解答 1 假设直线me与bn共面 则ab平面mben 且平面mben与平面dcef交于en 由已知 两正方形不共面 故ab平面dcef 又ab cd 所以ab 平面dcef 线en为平面mben与平面dcef的交线 所以ab en 又ab cd ef 所以en ef 这与en ef e矛盾 故假设不成立 所以me与bn不共面 它们是异面直线 2 如图 取ac的中点p 连接pm pn 则pm ab 且pm ab pn cd 且pn cd 所以 mpn为ab与cd所成的角 或所成角的补角 则 mpn 60 或 mpn 120 若 mpn 60 因为pm ab 所以 pmn是ab与mn所成的角 或所成角的补角 a b c d m n p 又因为ab cd 所以pm pn 则 pmn是等边三角形 所以 pmn 60 即ab与mn所成的角为60 若 mpn 120 则易知 pmn是等腰三角形 所以 pmn 30 即ab与mn所成的角为30 故直线ab和mn所成的角为60 或30 互动探究 把本例第 2 题中的 直线ab与cd成60 角 改为 ab cd 结果如何 解析 由题意得 mpn 90 mpn是等腰直角三角形 pmn 45 故直线ab和mn所成的角为45 反思 感悟 1 证明两直线为异面直线时可利用结论 过平面内一点与平面外一点的直线 与平面内不过该点的直线为异面直线 也可用反证法 即证明这两直线共面时不成立 2 在求异面直线所成的角时常犯的错误是忽视角的范围 变式备选 在空间四边形abcd中 已知ad 1 bc 且ad bc 对角线求ac和bd所成的角 解析 如图 分别取ad cd ab bd的中点e f g h 连接ef fh hg ge gf 由三角形的中位线定理知 ef ac 且ef ge bd 且ge和ef所成的锐角 或直角 就是ac和bd所成的角 同理 gh ad hf bc 又ad bc ghf 90 gf2 gh2 hf2 1 在 efg中 eg2 ef2 1 gf2 gef 90 即ac和bd所成的角为90 满分指导 求异面直线所成角主观题的规范解答 典例 12分 2011 上海高考改编 已知abcd a1b1c1d1是底面边长为1的正四棱柱 高aa1 2 求 1 异面直线bd与ab1所成角的余弦值 2 四面体ab1d1c的体积 解题指南 1 利用平行平移法得到异面直线所成的角 转化为解三角形的问题 2 利用割补法求体积即可 规范解答 1 连接bd ab1 b1d1 ad1 1分 bd b1d1 异面直线bd与ab1所成角为 ab1d1 或其补角 记 ab1d1 3分由已知条件得ab1 ad1 在 ab1d1中 由余弦定理得cos 6分 异面直线bd与ab1所成角的余弦值为 7分 2 连接ac cb1 cd1 则所求四面体的体积 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 四川高考 l1 l2 l3是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 a l1 l2 l2 l3 l1 l3 b l1 l2 l2 l3 l1 l3 c l1 l2 l2 l3 l1 l2 l3共面 d l1 l2 l3共点 l1 l2 l3共面 解析 选b 对于a 空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行 如图l1 l3可以相交或异面 故命题错误 对于b 由异面直线所成的角可知 l2 l3 则l1与l3所成的角与l1与l2所成的角相等 故 l1 l3 故命题正确 对于c 空间中三条互相平行的直线不一定共面 如三棱柱的三条侧棱不共