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向量在立体几何中的简单运用 共线向量定理 对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使a b 共面向量定理 如果两个向量a b不共线 则向量p与向量a b共面的充要条件是存在实数对x y使p xa yb 例1如图棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1 e f g分别是dd1 bd bb1之中点 1 求证ef cf 2 所成角的余弦 a d c b a1 d1 b1 c1 f g e x z y a d c b a1 d1 b1 c1 m n 例2在平行六面体abcd a1b1c1d1中 面abcd 面add1a1为正方形 点m n分别是ad1 bd上的点 1 用向量 表示 2 用基向量 表示 3 证明mn 平面dc1 且 m n a a l l 例3如图 用向量方法证明 a 证明 在l a上取l a 分别在 内作与a不共线的向量m n 如图 l l l x1a y1ml x2a y2n x1 x2 a y1m y2n 0又 a m n不共面 x1 x2 y1 y2 0 l x1a又 l与a不重合 l a a d c b a1 d1 b1 c1 练习 如图所示 已知平行六面体abcd a1b1c1d1中 底面是边长为a的菱形且 c1cb c1cd bcd 60 1 求证 cc1 bd2 当 的值为多少时能使a1c 平面c1bd 并证明之 向量为我们解决立体几何问题提供了有力的工具 以后在遇到几何体中的夹角 距离 垂直 平行问题时要善于将其中转化为向量的夹角 模 垂直 平行问题 利用向量
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