高考数学二轮复习 专题辅导与训练 1.2 向量、不等式、线性规划教学课件.ppt

第二讲向量 不等式 线性规划 主干知识 1 必记公式 1 两个非零向量平行 垂直的充要条件 若a x1 y1 b x2 y2 则 a b a b b 0 a b a b 0 x1y2 x2y1 0 x1x2 y1y2 0 2 向量的夹角公式 设 为a与b a 0 b 0 的夹角 且a x1 y1 b x2 y2 则cos 3 a2 b2 2ab 取等号的条件是当且仅当a b 4 ab a b r 5 a 0 b 0 6 2 a2 b2 a b 2 a b r 当a b时等号成立 2 重要结论 1 若a与b不共线 且 a b 0 则 2 已知 为常数 则a b c三点共线的充要条件是 3 ax2 bx c 0 a 0 恒成立的条件是 4 ax2 bx c 0 a 0 恒成立的条件是 0 1 3 易错提醒 1 忽视向量共线致误 在解决有关向量夹角及共线问题时 忽视向量共线时的方向性导致错误 2 忽略限制条件致误 应用不等式的性质时 要注意限制条件 3 注意符号成立的条件 用基本不等式求最值时 若连续进行放缩 只有各等号成立的条件保持一致时 结论的等号才成立 4 忽略基本不等式求最值的条件致误 利用基本不等式求最值时要注意 一正 二定 三相等 三个条件缺一不可 考题回顾 1 2014 新课标全国卷 设向量a b满足 a b a b 则a b a 1b 2c 3d 5 解析 选a 因为 a b a b 所以a2 b2 2a b 10 a2 b2 2a b 6 联立方程解得a b 1 故选a 2 2014 青岛模拟 在 abc中 ab 2 ac 3 1 则bc 解析 选a 因为 1 且ab 2 所以1 所以在 abc中 即9 4 bc 2 2 2 解得 bc 3 2014 重庆高考 若log4 3a 4b log2 则a b的最小值是 a 6 2b 7 2c 6 4d 7 4 解析 选d log4 3a 4b log2 可得3a 4b ab 且a 0 b 0 即所以 4 2014 广东高考 若变量x y满足约束条件则z 2x y的最大值等于 a 7b 8c 10d 11 解析 选c 作出可行域oabcd是3 4的矩形去掉一个1 2的直角三角形 其中b 2 3 c 4 2 所以当动直线z 2x y经过点c 4 2 时取得最大值10 5 2014 浙江高考 已知函数f x x3 ax2 bx c且09 解析 选c 由f 1 f 2 f 3 得 解得所以f x x3 6x2 11x c 由0 f 1 3 得0 1 6 11 c 3 解得6 c 9 6 2014 浙江高考 若实数x y满足则x y的取值范围是 解析 作出不等式组所表示的区域 如图所示 令z x y 解方程组得c 2 1 解方程组得b 1 0 平移直线z x y 经过点c使得z取最大值 即zmax 2 1 3 当直线z x y经过点b时 z取最小值 即zmin 1 0 1 所以x y的取值范围是 1 3 答案 1 3 7 2014 绍兴模拟 已知a 2 1 b 1 3 若a a b 则实数 的值为 解析 因为a a b 所以a a b 0 所以a2 a b 0 所以 答案 5 热点考向一平面向量的运算及应用 考情快报 典题1 1 2014 绍兴模拟 已知点a b分别在直线x 1 x 3上 o为坐标原点 且 4 当取到最小值时 的值为 a 0b 2c 3d 6 2 已知两个单位向量a b的夹角为60 c ta 1 t b 若b c 0 则t 信息联想 1 看到点a b分别在直线x 1 x 3上 想到 2 看到b c 0 想到 向量 的坐标运算及数量积的求解公式 将c ta 1 t b的两边同时乘以b 规范解答 1 选a 如图所示 设a 1 s b 3 t 因为 4 所以 1 s 3 t 2 s t 所以 s t 2 12 4 s t 4 当且仅当s t 0时取等号 因此取得最小值4时 s t 0 所以 t t 2 12 得t2 3 所以 3 st 3 3 0 故选a 2 由c ta 1 t b得 b c ta b 1 t b2 0 解得t a b cos60 1 t b 2 0 化简得t 1 t 0 所以t 2 答案 2 规律方法 1 向量的有关概念及运算的关注点 1 正确理解相等向量 共线向量 相反向量 单位向量 零向量等基本概念 2 牢固掌握两向量平行或垂直的充要条件 并会灵活应用 3 有关向量模长的计算有两种方法 一是转化为向量的数量积 二是把向量转化为坐标的形式 利用代数运算求解 2 求解向量数量积最值问题的两种思路 1 直接利用数量积公式得出等式 依据等式求最值 2 建立平面直角坐标系 通过坐标运算得出函数式 转化为求函数的最值 变式训练 1 2014 四川高考 平面向量a 1 2 b 4 2 c ma b m r 且c与a的夹角等于c与b的夹角 则m a 2b 1c 1d 2 解析 选d 由于a 1 2 b 4 2 所以c ma b m 4 2m 2 又由于c与a的夹角等于c与b的夹角 即cos a c cos b c 也就是即得解得m 2 2 2014 浙江高考 设 为两个非零向量a b的夹角 已知对任意实数t b ta 的最小值为1 a 若 确定 则 a 唯一确定b 若 确定 则 b 唯一确定c 若 a 确定 则 唯一确定d 若 b 确定 则 唯一确定 解析 选b 依题意 对任意实数t b ta 1恒成立 所以 ta 2 b2 2t a b cos 1恒成立 由 b 2 1 cos2 1 所以 b 若 为定值 则 b 唯一确定 3 2014 安徽高考 已知两个不相等的非零向量a b 两组向量x1 x2 x3 x4 x5和y1 y2 y3 y4 y5均由2个a和3个b排列而成 记s x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 smin表示s所有可能取值中的最小值 则下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 s有5个不同的值 若a b 则smin与 a 无关 若a b 则smin与 b 无关 若 b 4 a 则smin 0 若 b 2 a smin 8 a 2 则a与b的夹角为 解析 设a b夹角为 s有以下3种可能 s1 a2 a2 b2 b2 b2 s2 a2 a b a b b2 b2 s3 a b a b a b a b b2 因为s1 s2 s2 s3 a2 b2 2a b a2 b2 2 a b 0 所以s中最小为s3 若a b 则smin s3 b2与 a 无关 故选项 正确 若a b 则smin s3 4a b b2与 b 有关 故选项 不正确 若 b 4 a 则smin s3 4 a b cos b2 4 a b b2 b 2 b2 0 故选项 正确 若 b 2 a 则smin s3 8 a 2cos 4 a2 8 a 2 所以2cos 1 故选项 不正确 答案 加固训练 1 2014 大纲版全国卷 若向量a b满足 a 1 a b a 2a b b 则 b 解析 选b 因为 a 1 a b a 2a b b 所以化简得所以 b 2 2 则 b 2 2014 新课标全国卷 已知a b c是圆o上的三点 若则ab与ac的夹角为 解析 由故o是线段bc的中点 故bc是 o的直径 从而 bac 90 因此与的夹角为90 答案 90 热点考向二不等式的性质与解法 考情快报 典题2 1 已知a b c满足c b a且ac 0 则下列选项中 不一定能成立的是 2 已知函数f x x2 ax b a b r 的值域为 0 若关于x的不等式f x c的解集为 m m 6 则实数c的值为 信息联想 1 看到所给不等式 想到 2 看到不等式f x c的解集为 m m 6 想到 不等式的性质 求出f x c的解 规范解答 1 选c 因为c b a且ac 0 所以a 0 c 0 由b c a 0 即 0 可得故选项a恒成立 因为b a 所以b a 0 又c 0 所以故选项b恒成立 因为c a 所以a c 0 又ac 0 所以故选项d恒成立 当b 2 a 1时 b2 a2 而c 0 所以故选项c不恒成立 2 由题意知f x x2 ax b 因为f x 的值域为 0 所以即所以f x 又因为f x c 所以即 所以 得所以c 9 答案 9 规律方法 确定含参二次不等式的四个分类标准标准一 二次项系数是否为零 目的是讨论不等式是否为二次不等式 标准二 二次项系数的正负 目的是讨论二次函数图象的开口方向 标准三 判别式的正负 目的是讨论对应二次方程是否有解 标准四 讨论两根差的正负 目的是比较根的大小 变式训练 1 2013 重庆高考 关于x的不等式x2 2ax 8a20 的解集为 x1 x2 且x2 x1 15 则a 解题提示 直接求出不等式的解集 根据x2 x1 15求出a的值 解析 选a 由题意知 不等式x2 2ax 8a20 的解集为 2a 4a 因为x2 x1 15 所以4a 2a 15 解得a 2 2014 山东高考 已知实数x y满足axln y2 1 c sinx sinyd x3 y3 解析 选d 由ax ay 0y 所以 加固训练 1 2013 安徽高考 已知一元二次不等式f x 则f 10 x 0的解集为 a x xlg2 b x 1 lg2 d x x lg2 解析 选d 由题意知 一元二次不等式f x 而f 10 x 0 所以 1 10 x 即x lg lg2 2 设0 不等式8x2 8sin x cos2 0对x r恒成立 则 的取值范围为 解析 因为不等式8x2 8sin x cos2 0对x r恒成立 所以 64sin2 32cos2 0 即64sin2 32 64sin2 0 解得sin 因为0 所以答案 热点考向三基本不等式的应用 考情快报 典题3 1 2013 山东高考 设正实数x y z满足x2 3xy 4y2 z 0 则当取得最大值时 x 2y z的最大值为 a 0b c 2d 2 2014 深圳模拟 某车间分批生产某种产品 每批的生产准备费用为800元 若每批生产x件 则平均仓储时间为天 且每件产品每天的仓储费用为1元 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 每批应生产产品 a 60件b 80件c 100件d 120件 信息联想 1 看到取得最大值 想到 2 看到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 想到 写 出平均每件产品费用的函数 利用基本不等式求出最值 条件用x y来表示 z 经过变形 转化为基本不等式的问题 规范解答 1 选c 由x2 3xy 4y2 z 0 得z x2 3xy 4y2 所以当且仅当即x 2y时取等号 此时z 2y2 所以x 2y z 2y 2y 2y2 4y 2y2 2y 2 y 当且仅当y 2 y时取等号 2 选b 平均每件产品的费用为当且仅当即x 80时取等号 所以每批应生产产品80件 才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 规律方法 1 利用基本不等式求最值的注意点 1 在运用基本不等式求最值时 必须保证 一正 二定 三相等 凑出定值是关键 2 若两次连用基本不等式 要注意等号的取得条件的一致性 否则就会出错 2 求条件最值问题的两种方法一是借助条件转化为所学过的函数 如一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 借助于函数单调性求最值 二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决 3 结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用 而是需要根据已知条件和基本不等式的 需求 寻找 结合点 即把研究对象化成适用基本不等式的形式 常见的转化方法有 2 若则mx ny mx ny 1 mx ny 字母均为正数 变式训练 1 若正数x y满足x 3y 5xy 则3x 4y的最小值是 解析 选c 因为x 0 y 0 由x 3y 5xy 得所以3x 4y 5 当且仅当x 2y时取等号 所以3x 4y的最小值为5 2 2014 漳州模拟 已知函数f x 4x x 0 a 0 在x 3时取得最小值 则a 解析 由题知 f x 4x x 0 a 0 根据基本不等式4x 当且仅当4x 时取等号 而由题知当x 3时取得最小值 即a 36 答案 36 加固训练 1 已知关于x的不等式2x 7在x a 上恒成立 则实数a的最小值为 解析 选b 由题意可知4 2a 7 得a 即实数a的最小值为故选b 2 2014 南昌模拟 已知log2a log2b 1 则3a 9b的最小值为 解析 因为log2a log2b 1 所以a 0 b 0 ab 2 又3a 9b 2 32 18 当且仅当a 2b时取得等号 答案 18 热点考向四线性规划问题 考情快报 高频考向多维探究 命题角度一已知约束条件 求目标函数最值 典题4 1 2014 武汉模拟 设x y满足约束条件则z 2x 3y的最小值是 a 7b 6c 5d 3 2 2014 温州模拟 若点 x y 位于曲线y x 1 与y 2所围成的封闭区域 则2x y的最小值为 信息联想 1 看到求目标函数z 2x 3y的最小值 想到 2 看到曲线y x 1 与y 2所围成的封闭区域 想到 先画 出可行域 再移动目标函数 观察取得最小值的位置 在直角坐标 系中作出两个函数的图象 观察封闭区域 找到目标函数取得最 小值的位置 规范解答 1 选b 由z 2x 3y得3y 2x z 即作出可行域如图 平移直线 由图象可知当直线经过点b 时 直线的截距最大 此时z取得最小值 由得即b 3 4 代入直线z 2x 3y得z 3 2 3 4 6 选b 2 结合题目可以作出y x 1 与y 2所围成的平面区域 令2x y z 即y 2x z 作出直线y 2x 在封闭区域内平移直线y 2x 当经过点a 1 2 时 z取最小值为 4 答案 4 互动探究 若问题 1 中的条件不变 则z x2 y2的最小值如何 解析 由可行域可知 点o到平面区域的最小值为即zmin 命题角度二解决参数问题 典题5 1 不等式组表示面积为1的直角三角形区域 则k的值为 a 2b 1c 0d 1 2 2014 滨州模拟 设z kx y 其中实数x y满足若z的最大值为12 则实数k 信息联想 1 看到面积为1 想到 2 看到参数k在目标函数中 想到 结合线性约束条件 画出可 行域 根据面积列方程求解 根据不等式组画出可行域 再把目标函数z转化为在y轴上的截距 规范解答 1 选d 作出不等式组表示的平面区域 如图所示 由题意可得a 1 3 c 1 k 所以s abc ac d d为b到ac的距离 解得k1 1 k2 7 又不等式组表示的是三角形区域 所以k2 7舍去 所以k 1 故选d 2 不等式组表示的可行域如图所示 由z kx y可得y kx z 知其在y轴上的截距最大时 z最大 经检验 k 0且直线过点a 4 4 时 z取最大值12 即4k 4 12 所以k 2 答案 2 规律方法 1 平面区域的确定方法平面区域的确定方法是 直线定界 特殊点定域 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集 2 线性目标函数z ax by最值的确定方法线性目标函数z ax by中的z不是直线ax by z在y轴上的截距 把目标函数化为可知是直线ax by z在y轴上的截距 要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值 什么情况下取得最小值 变式训练 1 若变量x y满足约束条件且z 5y x的最大值为a 最小值为b 则a b的值是 a 48b 30c 24d 16 解析 选c 作出可行域如图 结合图形可知 当经过点a 4 4 时 z取最大值16 当经过点b 8 0 时 z取最小值为 8 所以a b 24 故选c 2 设关于x y的不等式组表示的平面区域内存在点p x0 y0 满足x0 2y0 2 求得m的取值范围是 解析 选c 当m 0时 若平面区域存在 则平面区域内的点在第二象限 平面区域内不可能存在点p x0 y0 满足x0 2y0 2 因此m 0 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域 要使可行域内包含y x 1上的点 只需可行域边界点 m m 在直线y x 1的下方即可 即m m 1 解得m 加固训练 1 在平面直角坐标系xoy中 m为不等式组所表示的区域上一动点 则直线om斜率的最小值为 a 2b 1c d 解析 选c 作出可行域如图由图象可知当m位于点d处时 om的斜率最小 由得即d 3 1 此时om的斜率为 2 某旅行社租用a b两种型号的客车安排900名客人旅行 a b两种车辆的载客量分别为36人和60人 租金分别为1600元 辆和2400元 辆 旅行社要求租车总数不超过21辆 且b型车不多于a型车7辆 则租金最少为 a 31200元b 36000元c 36800元d 38400元 解析 选c 设租a型车x辆 b型车y辆时租金为z元 则z 1600 x 2400yx y满足 画出可行域如图 阴影