高考数学一轮复习 8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 文 新人教A版.ppt

第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率 直线的方程 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时 我们取x轴作为基准 x轴 与直线l 方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时 规定它的倾斜角为 范围 直线的倾斜角 的取值范围是 正向 向上 0 0 2 直线的斜率 定义 若直线的倾斜角 不是90 则其斜率k 计算公式 若由a x1 y1 b x2 y2 确定的直线不垂直于x轴 则k tan 3 两直线的平行 垂直与其斜率的关系 k1 k2 k1k2 1 4 直线方程的五种形式 y y1 k x x1 y kx b ax by c 0 a2 b2 0 2 必备结论教材提炼记一记 1 过p1 x1 y1 p2 x2 y2 的直线方程 若x1 x2 且y1 y2时 直线垂直于x轴 方程为 若x1 x2 且y1 y2时 直线垂直于y轴 方程为 若x1 x2 0 且y1 y2时 直线即为y轴 方程为 若x1 x2 且y1 y2 0时 直线即为x轴 方程为 x x1 y y1 x 0 y 0 2 直线系方程 与直线ax by c 0平行的直线系方程是ax by m 0 m r且m c 与直线ax by c 0垂直的直线系方程是bx ay m 0 m r 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 直接法 待定系数法 2 数学思想 数形结合 分类讨论 转化与化归 3 记忆口诀 已知两点求斜率已知两点求斜率 横纵坐标分求差 纵标差比横标差 直线斜率就是它 横坐标差若为零 没有斜率不要怕 倾斜角和斜率直线倾斜角斜率 概念不同有关联 倾角非直正切值 直线斜率k出现 两条直线平行不重合的平行线 倾斜角等是必然 倾斜角皆非直角 斜率相等亦出现 两条直线垂直直线垂直看斜率 积负倒数必垂直 斜率为零不存在 两条直线亦垂直 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置 2 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率 3 当直线l1和l2斜率都存在时 若k1 k2 则l1 l2 4 在平面直角坐标系下 任何直线都有点斜式方程 5 任何直线方程都能写成一般形式 解析 1 正确 直线的倾斜角仅反映直线相对于x轴的倾斜程度 不能确定直线的位置 2 错误 当直线的倾斜角为90 时 其斜率不存在 3 错误 当k1 k2时 两直线可能平行 也可能重合 4 错误 当直线与x轴垂直 斜率不存在 时 不能用点斜式方程表示 5 正确 无论依据哪种形式求解 最后直线方程都能写成一般形式 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修2p89练习t2改编 若过点a m 4 与点b 1 m 的直线与直线x 2y 4 0平行 则m的值为 解析 因为直线x 2y 4 0的斜率等于所以过点a m 4 和点b 1 m 的直线的斜率也是解得m 3 答案 3 2 必修2p100t5改编 一条直线经过点a 2 3 并且它的斜率等于直线x y 0的斜率的2倍 则这条直线的方程为 解析 由x y 0 得y x 故所求直线的斜率又该直线过点a 2 3 所以这条直线的方程为y 3 x 2 整理得答案 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 福建高考 已知直线l过圆x2 y 3 2 4的圆心 且与直线x y 1 0垂直 则l的方程是 a x y 2 0b x y 2 0c x y 3 0d x y 3 0 解析 选d 圆x2 y 3 2 4的圆心为 0 3 直线x y 1 0的斜率为 1 且直线l与该直线垂直 故直线l的斜率为1 即直线l是过点 0 3 斜率为1的直线 用点斜式表示为y 3 x 即x y 3 0 2 2015 济南模拟 已知两条直线y ax 2和3x a 2 y 1 0互相平行 则a等于 a 1或 3b 1或3c 1或3d 1或 3 解析 选a 由题意知两条直线的斜率均存在 因为两直线互相平行 所以所以a等于1或 3 3 2013 辽宁高考 已知点o 0 0 a 0 b b a a3 若 oab为直角三角形 则必有 a b a3b b a3 c b a3 b a3 0d b a3 b a3 0 解析 选c 根据直角三角形的直角的位置求解 若以o为直角三角形顶点 则b在x轴上 则a必为0 此时o b重合 不合题意 若 a 则b a3 0 则 b 根据斜率关系可知a2 1 所以a a3 b 1 即b a3 0 以上两种情况皆有可能 故只有c满足条件 4 2015 南昌模拟 已知长方形abcd的三个顶点的坐标分别为a 0 1 b 1 0 c 3 2 求第四个顶点d的坐标为 解析 设第四个顶点d的坐标为 x y 因为ad cd ad bc 所以kad kcd 1 且kad kbc 所以解得所以 第四个顶点d的坐标为 2 3 答案 2 3 考点1直线的倾斜角与斜率 典例1 1 直线xcos y 2 0的倾斜角的范围是 2 2015 苏州模拟 若直线l过点p 1 2 且与以a 2 3 b 3 0 为端点的线段相交 则直线l的斜率的取值范围是 解题提示 1 先求出直线的斜率 再求倾斜角的取值范围 2 先确定直线pa pb的斜率 再数形结合求解 规范解答 1 选b 设直线的倾斜角为 则tan cos 又cos 1 1 所以 tan 又0 且y tan 在 0 及 上均为增函数 故 2 如图 设pa与pb的倾斜角分别为 易求得直线pa的斜率是k1 5 直线pb的斜率是k2 当直线l由pa变化到与y轴平行的位置pc时 它的倾斜角由 增至90 斜率的取值范围为 5 当直线l由pc变化到pb的位置时 它的倾斜角由90 增至 斜率的变化范围是 故斜率的取值范围是 5 答案 5 一题多解 解答本题 你知道几种解法 解答本题 还有如下解法 设直线l的斜率为k 则直线l的方程为y 2 k x 1 即kx y k 2 0 因为a b两点在直线的两侧或其中一点在直线l上 所以 2k 3 k 2 3k 0 k 2 0 即 k 5 4k 2 0 所以k 5或k 即直线l的斜率k的取值范围是 5 答案 5 互动探究 若将本例题 2 中点p的坐标改为p 3 2 则直线l的斜率的取值范围是什么 解析 因为p 3 2 a 2 3 b 3 0 则借助图形可知 直线l的斜率的取值范围为 规律方法 1 已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤 1 求出斜率k的取值范围 若斜率不存在 倾斜角为90 2 利用正切函数的单调性 借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围 2 直线的斜率与倾斜角的关系 1 当 0 且由0增大到 时 k由0增大到 2 当 时 k也是关于 的单调函数 当 在此区间内由 增大到 时 k由 趋近于0 k 0 变式训练 2014 阜阳模拟 直线ax by c 0同时要经过第一 二 四象限 则a b c应满足 a ab 0 bc 0b ab 0 bc 0c ab 0 bc 0d ab 0 bc 0 解析 选a 直线方程变形为y 如图 因为直线同时要经过第一 二 四象限 所以 加固训练 1 已知直线l的倾斜角 满足条件sin cos 则l的斜率为 解析 选c 由sin cos 得sin cos 因为0 180 所以sin 0 cos 0 所以90 180 2 若直线l与直线y 1 x 7分别交于点p q 且线段pq的中点坐标为 1 1 则直线l的斜率为 解析 选b 依题意 可设p x 1 q 7 y 又因为线段pq的中点坐标为 1 1 所以2 x 7 2 1 y 解得x 5 y 3 所以p 5 1 q 7 3 直线l的斜率为 考点2两条直线平行 垂直的关系 典例2 1 若直线l1 ax 2y 6 0与直线l2 x a 1 y a2 1 0平行 则a 2 若直线l3 a 2 x 2 a y 1与直线l4 a 2 x 3a 4 y 2互相垂直 则a的值为 解题提示 1 由两直线的斜率相等 在y轴上的截距不等即可求解 2 由两直线垂直 则两直线的斜率之积等于 1或一条直线的斜率等于0 另一条直线的斜率不存在 求解 规范解答 1 直线l1 ax 2y 6 0的斜率为在y轴上的截距为3 又因为直线l1与直线l2平行 所以直线l2 x a 1 y a2 1 0的斜率存在且等于在y轴上的截距为 a 1 由两直线平行得 解得a 2或a 1 答案 2或 1 2 当a 2时 l3 x l4 y 1 所以l3 l4 当a 时 l3 y 5x l4 x 3 所以l3不垂直于l4 解得a 3 综上可知 a 2或3 答案 2或3 一题多解 解答本题 你知道几种解法 解答本题 还有如下解法 因为直线l3 a 2 x 2 a y 1与直线l4 a 2 x 3a 4 y 2互相垂直 所以 a 2 a 2 2 a 3a 4 0 解上式得 a 2或a 3 答案 2或3 规律方法 由一般式确定两直线位置关系的方法 变式训练 2015 德阳模拟 若直线l1 x ay 1 0与l2 4x 2y 3 0垂直 则a等于 a b 2c 2d 解析 选c 因为直线l1 x ay 1 0与l2 4x 2y 3 0垂直 则1 4 2 a 0 解得 a 2 故选c 加固训练 1 直线l1的斜率为2 l1 l2 直线l2过点 1 1 且与y轴交于点p 则点p的坐标为 a 3 0 b 3 0 c 0 3 d 0 3 解析 选d 因为l1 l2 且l1的斜率为2 所以l2的斜率为2 又因为l2过点 1 1 所以l2的方程为 y 1 2 x 1 即y 2x 3 令x 0得y 3 所以点p的坐标为 0 3 2 已知直线l的倾斜角为直线l1经过点a 3 2 b a 1 且l1与l垂直 直线l2 2x by 1 0与直线l1平行 则a b等于 a 4b 2c 0d 2 解析 选b 依题意得l的斜率为 1 因为l1与l垂直 所以l1的斜率为1 又因为直线l1经过点a 3 2 b a 1 所以kab 1 解得 a 0 由直线l2与直线l1平行 得 1 b 2 所以a b 2 考点3直线的方程知 考情直线方程常与直线垂直 平行 距离等知识交汇考查 考查直线方程的求法以及直线间的位置关系等 题型多为选择题或填空题 明 角度命题角度1 已知两个独立条件求直线方程 典例3 2015 沈阳模拟 若a 1 2 b 5 6 直线l经过ab的中点m且在两坐标轴上的截距相等 则直线l的方程为 解题提示 可以选用直线方程的截距式 也可以选用直线方程的点斜式 规范解答 方法一 设直线l在x轴 y轴上的截距均为a 由题意得m 3 2 若a 0 即l过点 0 0 和 3 2 所以直线l的方程为y x 即2x 3y 0 若a 0 设直线l的方程为因为直线l过点m 3 2 所以所以a 5 此时直线l的方程为 1 即x y 5 0 综上 直线l的方程为2x 3y 0或x y 5 0 方法二 易知m 3 2 由题意知所求直线l的斜率k存在且k 0 则直线l的方程为y 2 k x 3 令y 0 得x 3 令x 0 得y 2 3k 所以3 2 3k 解得k 1或所以直线l的方程为y 2 x 3 或y 2 x 3 即x y 5 0或2x 3y 0 答案 x y 5 0或2x 3y 0 命题角度2 与直线方程有关的最值问题 典例4 2015 苏州模拟 已知直线l过点m 1 1 且与x轴 y轴的正半轴分别交于点a b o为坐标原点 则当 ma 2 mb 2取得最小值时 直线l的方程为 解题提示 利用点斜式表示出直线l的方程 求出a b两点的坐标 根据条件 ma 2 mb 2取得最小值 即可确定直线的斜率 进而求出直线l的方程 规范解答 设直线l的斜率为k 则k 0 直线l的方程为y 1 k x 1 则a b 0 1 k 所以 ma 2 mb 2 1 1 2 12 12 1 1 k 2 2 k2 2 2 4 当且仅当即k 1时 ma 2 mb 2取得最小值4 此时直线l的方程为x y 2 0 答案 x y 2 0 悟 技法1 求直线方程的方法 1 直线法 根据已知条件选择恰当的直线方程形式 直接求出直线方程 2 待定系数法 先根据已知条件设出直线方程 再根据已知条件构造关于待定系数的方程 组 求出待定系数 从而求出直线方程 2 解决直线方程问题的注意点 1 应用 点斜式 和 斜截式 方程时 要注意讨论斜率是否存在 2 应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点 截距是否为0 通 一类1 2015 太原模拟 已知直线l的斜率为1 在y轴上截距为另一条直线x 2y 4 0的斜率的倒数 则直线l的方程为 a y x 2b y x 2c y x d y x 2 解析 选a 因为x 2y 4 0的斜率为 所以直线l在y轴上的截距为2 所以直线l的方程为y x 2 故选a 2 2015 长沙模拟 已知点m是直线l 2x y 4 0与x轴的交点 把直线l绕点m逆时针方向旋转45 得到的直线方程是 a 3x y 6 0b 3x y 6 0c x y 3 0d x 3y 2 0 解析 选a 由已知 得m 2 0 tan 2 0 90 所以45 45 135 则k tan 45 3 故所求直线方程为y 3 x 2 即3x y 6 0 3 2015 合肥模拟 经过点p 1 1 的直线在两坐标轴上的截距都是正值 若使截距之和最小 则该直线的方程为 a x y 0b x y 2 0c x 2y 1 0d x 2y 3 0 解析 选b 设直线的方程为 a 0 b 0 则有所以a b a b 2 2 2 4 当且仅当即a b 2时取 所以直线方程为x y 2 0 4 2015 南充模拟 在平面直角坐标系中 如果x与y都是整数 就称点 x y 为整点 下列命题中正确的是 写出所有正确命题的编号 存在这样的直线 既不与坐标轴平行 又不经过任何整点 如果k与b都是无理数 则直线y kx b不经过任何整点 直线l经过无穷多个整点 当且仅当l经过两个不同的整点 直线y kx b经过无穷多个整点的充分必要条件是 k与b都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 解析 令y x 既不与坐标轴平行又不经过任何整点 所以本命题正确 若k b 则直线y x 经过 1 0 所以本命题错误 设