（鲁京津琼专用）2020版高考数学复习第七章不等式微专题八基本不等式的向量形式教案（含解析）.docx_第1页
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微专题八基本不等式的向量形式思维扩展波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位我们知道，a2b22ab(a，bR)以及(a，bR)是两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？由(ab)2|ab|20不难得到a2b22ab，当且仅当ab时等号成立但将(a，bR)简单地类比为就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果注意到(a，bR)2ab(a，bR)，而不等式2ab左右两边都是数量，因而可以比较大小事实上，由(ab)2(ab)24ab|ab|24ab4ab可得2ab，当且仅当ab时等号成立这样，我们就得到如下两个结论：定理1设a，b是两个向量，则a2b22ab，当且仅当ab时等号成立定理2设a，b是两个向量，则2ab，当且仅当ab时等号成立例1若平面向量a，b满足|2ab|3，则ab的最小值是_答案解析方法一由定理1得32|2ab|2(2ab)2(2a)2b24ab2(2ab)4ab8ab，所以ab，当且仅当b2a时等号成立，故ab的最小值是.方法二由定理2得2a(b)2，则ab，当且仅当b2a时等号成立故ab的最小值是.说明本题可推广至一般形式：若平面向量a，b满足：|ab|m(m0)，则当0时，ab的最大值为；当0，求2的最小值解由定理2得022，则22|22|4，故当且仅当，且|时，2取得最小值4.例5设a，b满足a2abb23，求a2abb2的取值范围解由定理1得ab，所以ab，解得ab1.又由定理1得(a)b，所以ab，解得ab3.所以3ab1.因为a2abb2(3ab)ab32ab，所以1a2abb29.以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是
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