2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.7三角函数的应用教学案新人教A版必修第一册.docx

5.7 三角函数的应用(教师独具内容)课程标准：1.会用三角函数解决简单的实际问题.2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型教学重点：用三角函数解决一些具有周期变化规律的实际问题教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型.【知识导学】知识点一函数yAsin(x)(A0，0)中，A，的物理意义(1)简谐运动的振幅就是A.(2)简谐运动的周期T.(3)简谐运动的频率f.(4)x称为相位(5)x0时的相位称为初相知识点二三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术知识点三建立函数模型的一般步骤【新知拓展】运用三角函数模型解决问题的几种类型(1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：yAsin(x)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质(2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性(3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)当函数yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时，周期T，频率f.()(2)函数f(x)Asin(x)的图象的两条相邻对称轴间的距离为一个周期()答案(1)(2)2做一做(1)某人的血压满足函数式f(t)24sin(160t)110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为()A60 B70 C80 D90(2)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A2 s B s C0.5 s D1 s(3)电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I5sin，则当t s时，电流I为_答案(1)C(2)D(3) A题型一 三角函数在物理中的应用例1交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E220sin来表示，求：(1)开始时的电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间解(1)当t0时，E110(V)，即开始时的电压为110 V.(2)T(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 V，当100t，即t s时第一次获得最大值金版点睛三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；(2)求t5 s时，该物体的位置解(1)设位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为xAsin(t)(A0，0,02)，则由振幅为3 cm，周期为3 s，可得A3，T3，得.又物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时，当t0时，x3sin3，sin1.02，从而所求的函数关系式是x3sin3cost.(2)令t5，得x3cos1.5，故t5 s时，该物体在O点左侧且距O点1.5 cm处题型二 三角函数模型的简单实际应用例2在美国波士顿，估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)3sin12，其中t表示某天的序号，t0表示1月1日，以此类推(1)问哪一天白昼最长？哪一天最短？(2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？解(1)白昼时间最长的一天，即D(t)取得最大值的一天，此时t170，对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，t353时，D(t)取得最小值，即12月20日白昼最短(2)D(t)10.5，即3sin1210.5，所以sin，t0,365，所以49t0，0)(1)根据图中数据求函数解析式；(2)从7月1日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰？解(1)由图象可知ymax900，ymin700，且Abymax，Abymin，所以A100，b800，且T12，所以.将(7,900)看作函数图象的第二个特殊点，得7.所以.因此所求的函数解析式为y100sin800.(2)由图可知，每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰，又6.所以从7月1日开始，每隔6天，种群数量就出现一个高峰或一个低谷.题型三 数据拟合问题例3已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0t24，记yf(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，yf(t)的图象可近似地看成是函数yAcostb的图象(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多长时间可供冲浪者进行活动？解(1)由表中数据可知，T12，所以.又t0时，y1.5，所以Ab1.5；t3时，y1.0，得b1.0，所以振幅为，函数解析式为ycost1(0t24)(2)因为y1时，才对冲浪爱好者开放，所以ycost11，cost0，2kt2k(kZ)，即12k3t12k3(kZ)又0t24，所以0t3或9t15或21t24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9t15.金版点睛建立三角函数拟合模型的注意事项(1)在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数(2)在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题(3)在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题设yf(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0t24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数yf(t)的图象可近似地看成函数ykAsin(t)的图象下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()Ay123sint，t0,24By123sin，t0,24Cy123sint，t0,24Dy123sin，t0,24答案A解析对表中数据作近似处理，得下表：t03691215182124y1215129121512912可见k12，A3，且T12，所以.又t3时，y15，代入选项检验得正确答案为A.1如图是函数yAsin(x)2(A0，0，|)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是()AA3，T， BA1，T，CA1，T， DA1，T，答案C解析由图象，知A1，则T，.由2k，kZ，得2k，kZ.令k0，得.2动点A(x，y)在圆心为原点的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周已知时间t0时，点A的坐标是，则当0t12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是()A0,1 B1,7C7,12 D0,1和7,12答案D解析由已知可得该函数的最小正周期为T12，则.又当t0时，A的坐标为，此函数为ysin，t0,12，可解得此函数的单调递增区间是0,1和7,123一种波的波形为函数ysinx的图象，若其在区间0，t上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是()A5 B6 C7 D8答案C解析函数ysinx的周期T4且x3时y1取得最大值，因此t7.4如图所示是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是_答案y2sin解析设函数解析式为yAsin(t)，则A2，由图象可知T2(0.50.1)，0.1.函数的解析式为y2sin.5已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin，t0，)用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振