趣味数学高中数学 第11课时 立体几何趣题 球在平面上的投影教学案 新人教版必修1.doc

第11课时 立体几何趣题球在平面上的投影教学要求：明白球在不同光照下的投影教学过程： 放在水平面上的球与水平面切于点a，一束光线投射到球上，那么球的影子的轮廓是什么曲线?切点a与轮廓曲线的关系又是什么? 一、平行光线下球的投影 放在水平面上的半径为r的球与水平面切于点止，与水平面所成角为()的太阳光投射到球上，则球在水平面上的投影是以a为 一个焦点的椭圆分析：显然，当太阳光垂直于水平面，即时，球在水平面上的投影是以为a圆心，r为半径的圆；当时，球在水平面上的投影是以a为一个焦点的椭圆，如图1如图l所示，与球面相切的光线构成一个圆柱面，与球切于圆o，则光线在水平面上的投影，可以看成圆柱面与水平面的交线， 设与水平面平行且与球相切的平面与球相切于点d，与圆柱面的交线为；p为上的任意一点，经过点p的光线为pp，(p，为光线pp与平面的交点)，且与球相切于点c，过点d作与光线平行的直线交水平面于点b，连结pb,易知，pb=pd=pc，pa=pc,即知pa+pb=pp, 又pp =为一定值，则知点p在以a,b为焦点，长轴长为的椭圆上，二、点光源下的球的投影放在水平面上的半径为r的球与水平面切于点a，与水平面距离为h的点光源s(s在球面外)投射到球上，则球在水平面上的投影是以a为一个焦点的圆锥曲线或以a为圆心的圆，且其形状与大小与光源到水平面的距离h及sa与水平面所成角有关1当过点s，球心o的直线与水平面垂时，此时必有h2r球在水平面上的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆(图略)，2当过点s、球心o的直线与水平面不垂直时 若h2r，则球在水平面上的投影是以a为一个焦点的椭圆，如图2如图2所示，与球相切的光线构成一个圆锥面设切点的集合为圆；球与圆锥面及水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆，与水平面的切点为b；p为球在水平面的投影线上的任意一点，过p的光线与球o、的切点分别为d，c，则有pc=pb、pd=pa，易知cd为两圆锥母线之差(为一定值)即pa+pb=cd(定值)，所以，球在水平面上的投影是以a、b为焦点的椭圆. 若h=2r,则球在水平面上的投影是以a为焦点的抛物线，如图3如图3所示，与球o相切的光线构成一个圆锥面设切点的集合为圆ol；过s、o，a的平面与水平面交于ag；圆ol所在的平面与水平面的交线为l；p为球在水平面的投影线上的任意一点，过p与平行的平面与圆锥面交于所以，球在水平面上的投影是以a为焦点，l为准线的抛物线 若h2r，则球在水平面上的投影是以a为一个焦点的双曲线的一支，如图4 如图4所示，与球o相切的光线构成一个圆 锥面设切点的集合为圆02；球ol与圆锥面及 水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆03， 与水平面的切点为月；户为球在水平面的投影线上的任意一点，过户的光线与球o、ol的切点分 别为g、打，则有ph二pb、pg二pa，且易知gh为两圆锥母线之和(为一定值)即pb-pa=ch(定值)，所以，球在水平面上的投影是以a,b为焦点的双曲线的一支 三、小结：当平行光线与水平面垂直时，球 在光线的投射下的轮廓线是一个圆，且球与水平面的切点为这个圆的圆心，当平行光线与水平 面不垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面的切点为一个焦点的椭圆 当点光源s与球心的连线与水平面垂直时，球