高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用例题与探究 北师大版选修2-2.DOC

高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用例题与探究 北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.复合函数的定积分的求法.(1)“凑型”法 有些定积分的计算题,直接应用积分公式不好求,甚至是不能求,此时应将被积函数进行适当变形后再求解.(2)“变量代换”法 过去在求解数学问题时,我们经常运用变量代换的方法,使问题的基础环境发生转化,其中体现出来的数学思想就是等价转化思想.在求定积分的问题上,变量代换仍有很高的价值,这样的代换主要用于“把不可直接运用积分公式的问题转化成可以直接运用积分公式的问题”.2.分段函数的定积分的求法. 学习函数的时候,函数的解析式有用统一一个式子给出的,也有用分段的形式给出的.在积分的学习中,函数也可以用分段的形式给出.求分段函数定积分可以利用积分的可加性,将区间a,b上的积分按分段函数的段分成几部分积分的和.分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,即是按照原函数分段的情况分即可,无需分得过细.3.任意曲边形面积的计算方法.几种常见的曲边梯形面积的计算方法有几种？计算公式是什么？(1)x型区域(如图所示):由一条曲线y=f(x)(其中f(x)0)与直线x=a,x=b(ab)以及x轴所围成的曲边梯形的面积:s=f(x)dx(如图a);由一条曲线y=f(x)(其中f(x)0)与直线x=a,x=b(ab)以及x轴所围成的曲边梯形的面积:s=|f(x)dx|=-f(x)dx(如图b);由两条曲线y=f(x),y=g(x)(其中f(x)g(x)与直线x=a,x=b(ab)所围成的曲边梯形的面积:s|f(x)-g(x)|dx(如图c); 图a 图b 图c(2)y型区域(如图所示):由一条曲线y=f(x)(其中x0)与直线y=a,y=b(ab)以及y轴所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x)得x=h(y),然后利用s=h(y)dy求出(如图a);由一条曲线y=f(x)(其中x0)与直线y=a,y=b(ab)以及y轴所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x)先求出x=h(y),然后利用s=|h(y)dy|=-h(y)dy求出(如图b);由两条曲线y=f(x),y=g(x)与直线y=a,y=b(ab)所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x),y=g(x)先分别求出x=h1(y),x=h2(y),然后利用s=|h1(y)-h2(y)|dy求出(如图c). 图a 图b 图c高手支招4典例精析【例1】 计算下列定积分.(1)(4x-x2)dx; (2)dx；(3)(x+sinx)dx;(4)cos2xdx.思路分析：由微积分基本定理可知,求定积分的关键是求出被积函数的一个原函数.解：(1)(4x-x2)dx=(2x2-)|3-1=(232)-2x(-1)2=;(2)dx=(-)=-1;(3)(x+sinx)dx=(-cosx)=-cos-(0-1)=+1;(4)-cos2xdx=dx=+sin2x=.【例2】 求函数f(x)=在区间0,3上的积分.思路分析：f(x)在0,3上的积分可按照f(x)的分段标准,分成0,1,1,2,2,3上三段积分的和.解：由积分的性质知,f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx=x3dx+dx+2xdx=x3dx+dx+2xdx=+=+-+=.【例3】 已知函数f(x)=求f(x)dx.思路分析：将0,4上的积分分成0,2,2,4三个区间上的积分.解：f（x）dx=sinxdx+1dx+（x-1）dx=-cosx+x+(-x）=1+(2-)+(4-0)=7-.【例4】 (2006山东青岛二模)已知f(x)=ax2+bx+c(a0),且f(-1)=2,f(0)=0,f（x）dx=-2,求a,b,c的值.思路分析：本题主要考查函数知识间的联系,同时考查了导数、定积分等基本运算能力.解答本题的方法是:根据题设条件,列出方程组,通过解方程组求出a,b,c的值.解：由f(1)=2得,a-b+c=2,又f(x)=2ax+b,f(0)=b=0,而f（x）dx=（ax2+c）dx=(ax3+cx)=a+c,a+c=-2,由得a=6,b=0,c=-4.【例5】 求由曲线y2=x,y=x2所围成图形的面积.思路分析：利用定积分,按照求面积的基本步骤进行.解：如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.由y2=x,y=x2得出交点的横坐标x=0及x=1.所以所求图形的面积为s=dx-x2dx=(-x3）=-=.【例6】 试求曲线y=(+)和直线x=0,x=a,y=0围成的图形(如图)绕x轴旋转一圈所得旋转体的体积.思路分析：虽然曲线y=(+)形式上比较复杂,但图已给定了,根据图形可直接用公式求解.解：因为(-(+2x=+2+,所以v=y2dx=(+2+)dx=a2(-)+2x=a2(e2-e-2)+2a.【例7】 求椭圆(0t2)的面积.思路分析：椭圆是中心对称图形,故只需算出第一象限内的面积,再乘以4就是整个椭圆的面积.解：如图所示,椭圆在第一象限的面积p=ydx=bsintd(acost)= bsint(-asint)dt=absin2tdt=(t-)=.所以s=4p=ab.【例8】 某电厂冷却塔外形如右下图所示,它双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中a、a是双曲线的顶点,c、c是冷却塔上口直径的两个端点,b、b是下底直径的两个端点,已知aa=14 m,cc=18 m,bb=22 m,塔高20 m.(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.(2)求冷却塔的容积.(精确到1 m3,塔壁厚度不计,取3.14)思路分析：应用题是高考数学的一个热点,它能考查我们的理解能力,以及数学建模能力.本题首先要理解题意,建立平面直角坐标系,将其转化为代数问题.解：(1)如图所示,建立直角坐标系xoy,使aa在x轴上,aa的中点为坐标原点o,cc与bb平行于x轴.设双曲线方程为-=1(a0,b0),则a=aa=7.又设b(11,y1),c(9,y2),因为点b、c在双曲线上,所以有=1, =1, 由题意,知y2-y1=20.由,得y1=-12,y2=8,b=7.故双曲线方程为=1;(2)由双曲线方程,得x2=y2+49.设冷却塔的容积为v(m3),则v=x2dy=(y2+49)dy=(y3+49y).经计算,得v4.25103(m3).答:冷却塔的容积为4.25103 m3.高手支招5思考发现1.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足f(x)=f(x)的函数f(x),即找被积函数的原函数.利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出f(x).2.利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数